綜合與實踐問題綜合與實踐問題特征：這類問題是近幾年中考試題的一類新問題，主要考查學(xué)生基礎(chǔ)

知識的掌握情況，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識與方法在解決實際問題、創(chuàng)新應(yīng)用及跨學(xué)

科探究等方面的能力.類型：（1）統(tǒng)計分析類.（2）問題情境類.（3）模型探究類.（4）實踐操作類.（5）學(xué)科融合類.（6）項目學(xué)習(xí)類.解題策略：綜合與實踐問題沒有固定的解題模式，注重系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知

識，根據(jù)問題的特點，靈活解決.類型之一統(tǒng)計分析類1.

［2024?廣西］課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y＝

x2＋2ax＋a－3的最值問題展開探究.【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法.（1）老師給出a＝－4，求二次函數(shù)y＝x2＋2ax＋a－3的最小值.①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；②求當(dāng)x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值

時，y的最小值.記錄結(jié)果，并整理成下表：a…－4－2024…x…*20－2－4…y的最小值…*－9－3－5－15…注：*為②的計算結(jié)果.【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀?/p>

的發(fā)現(xiàn).”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取x＝－a，就能得到y(tǒng)的

最小值.”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時，y

的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.”解：（1）①把a(bǔ)＝－4代入y＝x2＋2ax＋a－3，得y＝x2＋2?（－4）x＋

（－4）－3＝x2－8x－7；

∴y＝x2－8x－7；②∵y＝x2－8x－7＝（x－4）2－23，∴當(dāng)x＝4時，y有最小值為－23.解：（1）①把a(bǔ)＝－4代入y＝x2＋2ax＋a－3，得y＝x2＋2?（－4）x＋

（－4）－3＝x2－8x－7；

∴y＝x2－8x－7；②∵y＝x2－8x－7＝（x－4）2－23，∴當(dāng)x＝4時，y有最小值為－23.（2）請結(jié)合函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝x2＋2ax＋a－3，解釋甲同學(xué)的說法是否合

理？解：（2）∵y＝x2＋2ax＋a－3＝（x＋a）2－a2＋a－3，∵拋物線的開口向上，∴當(dāng)x＝－a時，y有最小值；∴甲的說法合理.解：（2）∵y＝x2＋2ax＋a－3＝（x＋a）2－a2＋a－3，∵拋物線的開口向上，∴當(dāng)x＝－a時，y有最小值；∴甲的說法合理.

解：（3）正確；∵y＝x2＋2ax＋a－3＝（x＋a）2－a2＋a－3，∴當(dāng)x＝－a時，y有最小值為－a2＋a－3，

2.

［2024?安徽］綜合與實踐.【項目背景】無核柑橘是安徽省西南山區(qū)特產(chǎn)，該地區(qū)某村有甲、乙兩塊成齡無核柑橘

園.在柑橘收獲季節(jié)，班級同學(xué)前往該村開展綜合實踐活動，其中一個項

目是：在日照、土質(zhì)、空氣濕度等外部環(huán)境基本一致的條件下，對兩塊柑

橘園的優(yōu)質(zhì)柑橘情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，為柑橘園的發(fā)展規(guī)劃提供一些參考.【數(shù)據(jù)收集與整理】從兩塊柑橘園采摘的柑橘中各隨機(jī)選取200個.在技術(shù)人員指導(dǎo)下，測量每

個柑橘的直徑，作為樣本數(shù)據(jù).柑橘直徑用x（單位：cm）表示.將所收集

的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行如下分組：組別ABCDEx3.5≤x＜4.54.5≤x＜5.55.5≤x＜6.56.5≤x＜7.57.5≤x≤8.5整理樣本數(shù)據(jù)，并繪制甲、乙兩園樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖，部分信息

如下：甲園樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)分布直方圖圖1乙園樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)分布直方圖圖2（1）求圖1中a的值.解：（1）由題意，得a＝200－（15＋70＋50＋25）＝40.解：（1）由題意，得a＝200－（15＋70＋50＋25）＝40.

故乙園樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.乙園樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)分布直方圖圖2（3）下列結(jié)論一定正確的是

.（填正確結(jié)論的序號）①兩園樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均在C組；②兩園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)均在C組；③兩園樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)的差相等.①

（3）【解析】由統(tǒng)計圖可知，兩園樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均在C組，故①

正確；甲園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)在B組，乙園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)在C組，故②結(jié)論錯誤；兩園樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)的差不一定相等，故③結(jié)論錯誤.故答案為①.（3）【解析】由統(tǒng)計圖可知，兩園樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)均在C組，故①

正確；甲園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)在B組，乙園樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)在C組，故②結(jié)論錯誤；兩園樣本數(shù)據(jù)的最大數(shù)與最小數(shù)的差不一定相等，故③結(jié)論錯誤.故答案為①.（4）結(jié)合市場情況，將C，D兩組的柑橘認(rèn)定為一級，B組的柑橘認(rèn)定為

二級，其他組的柑橘認(rèn)定為三級，其中一級柑橘的品質(zhì)最優(yōu)，二級次之，

三級最次.試估計哪個園的柑橘品質(zhì)更優(yōu)，并說明理由.根據(jù)所給信息，請完成以上所有任務(wù).（4）解：乙園的柑橘品質(zhì)更優(yōu)，理由如下.由樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得，乙園一級柑橘所占比例大于甲園，因此

可以認(rèn)為乙園的柑橘品質(zhì)更優(yōu).（4）解：乙園的柑橘品質(zhì)更優(yōu)，理由如下.由樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得，乙園一級柑橘所占比例大于甲園，因此

可以認(rèn)為乙園的柑橘品質(zhì)更優(yōu).類型之二問題情境類3.

綜合與實踐.某數(shù)學(xué)小組為了了解汽車的速度和制動非安全距離的關(guān)系，通過查詢資料

獲得以下信息：材料一：由于人的反應(yīng)和慣性的作用，行駛中的汽車從發(fā)現(xiàn)情況到剎車停

止前還要繼續(xù)向前行駛一段距離才能停下，這段距離稱為制動非安全距

離.從發(fā)現(xiàn)情況到剎車起作用的路程稱為反應(yīng)距離，這段距離普通人反應(yīng)

時間為0.2秒.從剎車起作用到最后停止的距離稱為制動距離.材料二：某公司設(shè)計了一款新型汽車，現(xiàn)在對它的制動性能（車速不超過

150

km/h）進(jìn)行測試，測得數(shù)據(jù)如表：車速x/（km/h）0306090120150制動距離y/m07.819.234.252.875（1）以車速x為橫坐標(biāo)，制動距離y為縱坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出材料二表

中各組數(shù)值所對應(yīng)的點，并用平滑曲線連接這些點.解：（1）如答圖所示.

答圖解：（1）如答圖所示.答圖探究任務(wù)：

解：（2）設(shè)y與x的關(guān)系式為y＝ax2＋bx，∵經(jīng)過點（30，7.8），（60，19.2），

（3）若在該款新型汽車的某次測試中，通過測量剎車痕跡得到它的制動

距離約為40?m，請通過計算估計該款汽車開始剎車時的速度.

解得x1＝100，x2＝－200（不合題意，舍去），答：制動距離約為40?m時該款汽車開始剎車時的速度約為100?km/h.

整理得x2＋100x－20?000＝0，解得x1＝100，x2＝－200（不合題意，舍去），答：制動距離約為40?m時該款汽車開始剎車時的速度約為100?km/h.

解：（4）有碰撞危險，理由如下.

∴有碰撞危險.4.

［2024?濰坊］在光伏發(fā)電系統(tǒng)運(yùn)行時，太陽能板與水平地面的夾角會

對太陽輻射的接收產(chǎn)生直接影響.某地區(qū)工作人員對日平均太陽輻射量y

（單位：kW?h?10－1?m－2?d－1）和太陽能板與水平地面的夾角x°

（0≤x≤90）進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如圖1所示的散點圖，已知該散點圖可用

二次函數(shù)刻畫.圖1

解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c.將（0，40），（10，45），（30，49）代入，

圖1

∴太陽能板與水平地面的夾角為30度時，日平均太陽輻射量最大.

圖2

答圖∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，

∴HN＝HF＋FN＝4＋a，

如答圖，過點A作AP⊥GM交于點P，延長NF交AP于點H，令FH＝a，答圖∴AH＝a，AN＝2AH＝2a，

∴HN＝HF＋FN＝4＋a，

圖2

延長AN交GM與點J，∵∠AJG＝∠AGJ，∴AJ＝AG.

圖2類型之三模型探究類5.

綜合與實踐.【問題背景】某課外科學(xué)活動小組研究一個小球在一條足夠長且平直的軌

道上的運(yùn)動問題.如圖，軌道起始段（AC段）絕對光滑，不存在阻力；剩

余部分（CB段）粗糙，存在恒定的摩擦力，會使小球速度逐漸減小直至

停止.

圖1

圖2

40解：任務(wù)2：①設(shè)v＝kt＋b，把（4，10），（16，4）代入，

∴行進(jìn)的總路程為140?cm.

解：任務(wù)3：假設(shè)存在這節(jié)軌道，且小球第m秒行駛至軌道起點，則第

（m＋1）秒行駛至軌道終點，

9.75，

解得m＝4，

起點剛好為C點（符合題意），∴軌道起點與點A之間的距離為40?cm.

圖1

∵AD∥x軸，

圖1（2）如圖2，把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E.

當(dāng)點E落在y

軸上，且點B的坐標(biāo)為（1，2）時，求k的值.圖2（2）解：∵點B（1，2）在直線y＝ax上，∴a＝2，∴y＝2x，∴點A的橫坐標(biāo)為1，點C的縱坐標(biāo)為2.

∵把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E，

如答圖1，過點D作DH⊥y軸于點H，過點B作BF⊥y軸于點F，答圖1答圖1∵AD∥x軸，∴H，A，D三點共線，∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EBF＝90°，∵AD∥x軸，∴H，A，D三點共線，∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EBF＝90°，圖2∴∠HED＝∠EBF.

∵∠DHE＝∠EFB＝90°，∴△DHE

∽△EFB，

由答圖1，知HF＝DC，

答圖1【深入探究】

圖3（3）解：∵把矩形ABCD沿BD折疊，點C的對應(yīng)點為E，當(dāng)點E，A重

合，∴AC⊥BD.

∵四邊形ABCD為矩形，∴四邊形ABCD為正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°，

BP⊥AC.

又BC∥x軸，∴直線y＝ax為第一、三象限的夾角平分線，∴y＝x.當(dāng)⊙O過點B時，如答圖2所示，過點D作DH∥x軸交y軸于點H，答圖2答圖2∵AD∥x軸，∴H，A，D三點共線.

∵AD∥x軸，∴H，A，D三點共線.

圖3

∵AB∥y軸，∴△DHO∽△DAB，

∴HO＝HD＝4，∴HA＝HD－AD＝4－2＝2，∴A（2，4），圖3∴k＝2×4＝8.當(dāng)⊙O過點A時，根據(jù)A，C關(guān)于直線OD對稱知，⊙O必過點C，如答圖3所示，連AO，CO，過點D作DH∥x軸交y軸于點H.

∴k＝2×4＝8.當(dāng)⊙O過點A時，根據(jù)A，C關(guān)于直線OD對稱知，⊙O必過點C，如答圖3所示，連AO，CO，過點D作DH∥x軸交y軸于點H.

答圖3∵AO＝OC＝AC，∴△AOC為等邊三角形.∵OP⊥AC，

∵AB∥y軸，∴△DHO∽△DAB，

圖3

∴當(dāng)⊙O與△ABC的邊有交點時，k的取值范圍為6≤k≤8.圖3類型之四實踐操作類7.

［2024?貴州］綜合與實踐.小星學(xué)習(xí)解直角三角形知識后，結(jié)合光的折射規(guī)律進(jìn)行了如下綜合性

學(xué)習(xí).【實驗操作】第一步：將長方體空水槽放置在水平桌面上，一束光線從水槽邊沿A處投

射到底部B處，入射光線與水槽內(nèi)壁AC的夾角為∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中點E處時，停止注水.（直線

NN′為法線，AO為入射光線，OD為折射光線.）【測量數(shù)據(jù)】如圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，O，N，N′在同一平面內(nèi)，測得AC＝

20?cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°.【問題解決】根據(jù)以上實驗操作和測量的數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求BC的長；解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝20?cm.解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝20?cm.（2）求B，D之間的距離.（結(jié)果精確到0.1?cm；參考數(shù)據(jù)：

sin

?32°≈0.53，

cos

?32°≈0.85，tan?32°≈0.62）

∴NB＝ON＝10?cm.又∵∠DON＝32°，∴DN＝ON?tan∠DON＝10?tan?32°≈10×0.62＝6.2?cm，∴BD＝BN－DN＝10－6.2＝3.8（cm）.8.

［2024?南通］綜合與實踐.九年級某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動.【特例探究】（1）如圖1、圖2、圖3是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表

分析兩腰之和與兩腰之積.

圖1

圖2

圖3圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖1160°244圖2145°

2

2圖3130°?

?

?

請補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想.已知△ABC的角平分線AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式寫

出兩腰之和AB＋AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系：

?

?.

AB＋AC＝

2AB?AC?

cos

α

等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表（1）【解析】如答圖1，答圖1∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

（1）【解析】如答圖1，答圖1∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

猜想：AB＋AC＝2AB?AC?

cos

α證明：如答圖2，答圖2∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

證明：如答圖2，答圖2∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.

∴AB＋AC＝2AB?AC?

cos

α.∴AB＋AC＝2AB?AC?

cos

α.【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD＝1，∠BAC＝60°，用等式寫出兩邊之

和AB＋AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

證明：如答圖3，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，過點C作CG⊥AB于點G，答圖3

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，

∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，

【拓展運(yùn)用】

圖4（3）補(bǔ)全圖形如答圖4所示.答圖4設(shè)∠A＝α.（3）補(bǔ)全圖形如答圖4所示.答圖4設(shè)∠A＝α.∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝α，∴∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2α.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2α.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴α＋2α＋2α＝180°，解得α＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°.圖4如答圖5，過點E作EF⊥AB于點F，EH⊥BC于點H，過點N作

NG⊥AB于點G.

答圖5∵S△BMN＝S△BEM＋S△BEN，如答圖5，過點E作EF⊥AB于點F，EH⊥BC于點H，過點N作

NG⊥AB于點G.

答圖5∵S△BMN＝S△BEM＋S△BEN，

∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴BM?BN?

sin

?72°＝（BM＋BN）?EH，

∴EH＝BE?

sin

?36°，

圖4∵BE為定長，

sin

?36°和

sin

?72°為定值，

類型之五學(xué)科融合類9.

［2024?蘭州］單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置.某興趣小組利用擺

球和擺線進(jìn)行單擺相關(guān)的實驗探究，并撰寫實驗報告如下：實驗主題探究擺球運(yùn)動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高

后松手，擺球開始做往復(fù)運(yùn)動.（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B

處，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5

cm；當(dāng)擺球運(yùn)動至

點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA.

（點O，A，B，C，D，

E在同一平面內(nèi)）實驗圖示

圖1

圖2解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長.（結(jié)果精確到0.1?cm；參考數(shù)據(jù)：

sin

?37°≈0.60，

cos

?37°≈0.80，tan?37°≈0.75，

sin

?64°≈0.90，

cos

?64°≈0.44，tan?64°≈2.05）

解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5?cm，

∴OD≈10?cm，OB≈22.78?cm.在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78?cm，∠COA＝37°，

整理，得OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），則ED＝OE－OD≈8.2?cm.類型之六項目學(xué)習(xí)類10.

【項目式學(xué)習(xí)】【項目主題】安全用電，防患未然.【項目背景】近年來，隨著電動自行車保有量不斷增多，火災(zāi)風(fēng)險持續(xù)上

升.據(jù)悉，約80％