重慶市長(zhǎng)壽區(qū)2025-2026學(xué)年高一上期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，且，則（）A.-1 B.1 C.±1 D.22.《三國(guó)演義》是中國(guó)古典四大名著之一．《三國(guó)演義》中曾寫道“臥龍鳳雛，得一可安天下”，據(jù)此分析“得到臥龍或鳳雛”是“安天下”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.已知不等式對(duì)滿足的所有正實(shí)數(shù)，都成立，則正數(shù)的最大值為（）A. B.1 C. D.24.函數(shù)在區(qū)間上的圖像可能是（）A. B.C. D.5.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：）間的關(guān)系為，其中是正的常數(shù)，如果在前消除了的污染物，那么污染物還剩81%時(shí)，需要（）小時(shí)？A.9 B.10 C.11 D.126.為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）B.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）C.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）D.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）7.已知函數(shù)，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的乘積為（）A. B. C. D.8.如圖，已知摩天輪的半徑為60米，其中心距地面的距離為70米，摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每36分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處.則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)12分鐘后點(diǎn)距離地面（）A.40米 B.110米 C.米 D.米二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知是實(shí)數(shù)，則下列命題為真命題的有（）A.“”是“”的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充分條件D.“”是“”的必要條件10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；D.若恒成立，則.11.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)镽B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的值域?yàn)镈.在區(qū)間上單調(diào)遞減第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著許多有趣的數(shù).定義：若一個(gè)位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方的和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一位正整數(shù)中的自戀數(shù)組成集合，集合，則的非空子集個(gè)數(shù)為______.13.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且滿足，為奇函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③為周期函數(shù)；④為偶函數(shù).其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______.14.已知，且，是在內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，則______________；______________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)m取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．16.兩次購(gòu)買同一種物品，通常有兩種不同的策略．策略①不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量相同策略②不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的金額相同已知某人兩次購(gòu)買同一種物品，第一次、第二次購(gòu)買時(shí)的價(jià)格分別為，設(shè)采用策略①時(shí)，兩次購(gòu)買的數(shù)量均為；采用策略②時(shí)，兩次購(gòu)買的金額均為．（1）請(qǐng)問，采用哪種策略更經(jīng)濟(jì)？說(shuō)明理由；（2）設(shè)，且，根據(jù)（1）中你的結(jié)論，求的最小值．17.已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求；（2）若，解關(guān)于的不等式．18.定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)，都有，則稱函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心．已知函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，有唯一的對(duì)稱中心．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（3）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域恰為，求的值．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?；?）若，都有，求的取值范圍．重慶市長(zhǎng)壽區(qū)2025-2026學(xué)年高一上期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，且，則（）A.-1 B.1 C.±1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件判斷出，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，最后結(jié)合集合元素的互異性求解.【詳解】因?yàn)椋?，即中的所有元素都必須屬于，又因?yàn)?，，，所以，即，得出或，?dāng)時(shí)，，則，，滿足，當(dāng)時(shí)，，則，，不滿足集合元素的互異性，綜上所述，.故選：B.2.《三國(guó)演義》是中國(guó)古典四大名著之一．《三國(guó)演義》中曾寫道“臥龍鳳雛，得一可安天下”，據(jù)此分析“得到臥龍或鳳雛”是“安天下”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義求解.【詳解】“臥龍鳳雛，得一可安天下”的邏輯為：得到臥龍或鳳雛中的任意一個(gè)，就可以安天下，則“得到臥龍或鳳雛”是“安天下”的充分條件；但是原句中未提及“安天下必須得到臥龍或鳳雛”，即安天下可能通過(guò)其他途徑實(shí)現(xiàn)，則“得到臥龍或鳳雛”不是“安天下”的必要條件；則“得到臥龍或鳳雛”是“安天下”的充分不必要條件.故選：B.3.已知不等式對(duì)滿足的所有正實(shí)數(shù)，都成立，則正數(shù)的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用立方和公式和均值不等式先求出，轉(zhuǎn)變成解，便可解得正數(shù)的最大值.【詳解】因?yàn)閷?duì)滿足的所有正實(shí)數(shù)，都成立，可得對(duì)滿足的所有正實(shí)數(shù)，都成立.由得，即.由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，則.則有，即，則，解得.所以正數(shù)故選：B.4.函數(shù)在區(qū)間上的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，探討其奇偶性及的大小排除選項(xiàng)并得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則函數(shù)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)AB；又，則，排除選項(xiàng)D，選項(xiàng)C符合題意.故選：C.5.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：）間的關(guān)系為，其中是正的常數(shù)，如果在前消除了的污染物，那么污染物還剩81%時(shí)，需要（）小時(shí)？A.9 B.10 C.11 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算，可得答案.【詳解】由題意可得當(dāng)時(shí)，污染物消除了，即剩余，因此，代入公式，可得，解得.當(dāng)污染物剩余時(shí)，，代入公式可得，解得，由，且，則，解得.故選：B.6.為了得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）B.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）C.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）D.向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象平移和伸縮變換，可得結(jié)論.【詳解】把的圖象上所有的點(diǎn)向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)解析式為，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)解析式為.故選：A.7.已知函數(shù)，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且其圖象關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的乘積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)的最小正周期為T，結(jié)合在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，可確定的范圍，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，求出，即可確定，繼而確定，根據(jù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】設(shè)的最小正周期為T，在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即；又的圖象關(guān)于點(diǎn)和直線對(duì)稱，則，且，兩式相減，可得，則結(jié)合，可得，故，，此時(shí)，解得結(jié)合，可得時(shí)，；時(shí)，；①當(dāng)時(shí)，，則，符合題意，由時(shí)，可得，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，故的最大值與最小值的乘積為；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，由時(shí)，可得，則當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故的最大值與最小值的乘積為；綜上可知，的最大值與最小值的乘積為.故選：A8.如圖，已知摩天輪的半徑為60米，其中心距地面的距離為70米，摩天輪按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每36分鐘轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最高點(diǎn)處.則摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)12分鐘后點(diǎn)距離地面（）A.40米 B.110米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】設(shè)函數(shù)的表達(dá)式，即可根據(jù)周期以及最值點(diǎn)求解參數(shù)值，進(jìn)而得函數(shù)表達(dá)式，代入即可求解.【詳解】設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)離地面距離的函數(shù)為，由題意得：，，，，又，即，故，，所以，所以，即摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)12分鐘后點(diǎn)距離地面40米.故選:A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知是實(shí)數(shù)，則下列命題為真命題的有（）A.“”是“”的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充分條件D.“”是“”的必要條件【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件概念結(jié)合具體的不等式性質(zhì)和特殊值及基本不等式即可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，此時(shí)，故“”是“”的充分條件，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，滿足，而，則“”不是“”的必要條件，B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，所以是“”的充分條件，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，滿足，但是不滿足，所以“”不是“”的必要條件，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是；C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；D.若恒成立，則.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，可判定A正確；根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得判定B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，求得，可判定C正確，轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，由A項(xiàng)，可得，所以，又由在上單調(diào)遞減，可得，又因?yàn)椋院瘮?shù)的值域是，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，即，所以函?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以C正確；對(duì)于D，若恒成立，即恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，則滿足，解得，所以D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)镽B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的值域?yàn)镈.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A，由值域結(jié)合分母不為0判斷；對(duì)B，由判斷；對(duì)C，換元，由反比例函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；對(duì)D，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，則，分母恒不為0，所以定義域?yàn)镽，A正確；對(duì)于B：因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，則在上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋珻錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，，且在單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著許多有趣的數(shù).定義：若一個(gè)位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方的和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱這個(gè)數(shù)是自戀數(shù).已知所有一位正整數(shù)中的自戀數(shù)組成集合，集合，則的非空子集個(gè)數(shù)為______.【答案】15【解析】【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合集合交集的定義、非空子集個(gè)數(shù)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，，，故，故的非空子集個(gè)數(shù)為.故答案為：.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，為奇函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③為周期函數(shù)；④為偶函數(shù).其中正確結(jié)論的序號(hào)是_______.【答案】①③【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)對(duì)稱性，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而判斷各結(jié)論正誤，求出結(jié)果即可.【詳解】由，令，即，得，等價(jià)于；由為奇函數(shù)，得，所以，即函數(shù)周期為2，所以③正確；由和周期為2，可得，即，所以①正確；由函數(shù)周期為2，可知，，因?yàn)?，所以，所以②錯(cuò)誤；由函數(shù)周期為2，可知，由①可知，所以，所以④錯(cuò)誤；故答案為：①③.14.已知，且，是在內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，則______________；______________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合兩角和與差的余弦公式、正弦的二倍角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，若，因?yàn)椋苑匠虩o(wú)解；若，因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，，所以，.故答案為：；四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)得出再列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，解出即可；（2）分和兩種情況討論，根據(jù)列出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組，解出即可.【小問1詳解】不等式，變形為，通分得：，等價(jià)于，解得，故集合.因?yàn)?，根?jù)集合的性質(zhì)可知：,所以，解得：，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，解得，?dāng)時(shí)，且，所以，此時(shí)不等式組無(wú)解.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.16.兩次購(gòu)買同一種物品，通常有兩種不同的策略．策略①不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量相同策略②不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的金額相同已知某人兩次購(gòu)買同一種物品，第一次、第二次購(gòu)買時(shí)的價(jià)格分別為，設(shè)采用策略①時(shí)，兩次購(gòu)買的數(shù)量均為；采用策略②時(shí)，兩次購(gòu)買的金額均為．（1）請(qǐng)問，采用哪種策略更經(jīng)濟(jì)？說(shuō)明理由；（2）設(shè)，且，根據(jù)（1）中你的結(jié)論，求的最小值．【答案】（1）答案見解析；（2）2.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列式表示兩種策略，再作差比較大小即可；（2）將給定等式變形為，再利用（1）的結(jié)論求出最小值.【小問1詳解】采用策略①，兩次購(gòu)買物品的數(shù)量均為，則兩次的平均價(jià)格為；采用策略②，兩次購(gòu)買的金額均為，購(gòu)買物品的數(shù)量依次為，則兩次平均價(jià)格為，又，于是當(dāng)時(shí)，兩次購(gòu)買的平均價(jià)格相等，采用策略①與采用策略②一樣經(jīng)濟(jì)；當(dāng)時(shí)，，采用策略②比采用策略①更經(jīng)濟(jì).【小問2詳解】由（1）知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，由，得，即，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以的最小值為2.17.已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求；（2）若，解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和奇偶性，可求得參數(shù)；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以.【小問2詳解】由（1）知，所以在上單調(diào)遞增，所以由可得，所以，即，解得，所以不等式解集為.18.定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)，都有，則稱函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心．已知函數(shù)為中心對(duì)稱函數(shù)，有唯一的對(duì)稱中心．（1）求函數(shù)的定義域；（2）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（3）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域恰為，求的值．【答案】（1）（2）（