綜合與實(shí)踐專題2幾何中的綜合與實(shí)踐類(lèi)型1課題活動(dòng)類(lèi)1．[2025·無(wú)錫]某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組為測(cè)量物體的高度，開(kāi)展了如下綜合與實(shí)踐活動(dòng)．【活動(dòng)主題】測(cè)量物體的高度【測(cè)量工具】卷尺，標(biāo)桿【活動(dòng)過(guò)程】活動(dòng)1：測(cè)量校內(nèi)旗桿的高度該小組在校內(nèi)進(jìn)行了旗桿高度的測(cè)量活動(dòng)(示意圖1)．在點(diǎn)F處豎立標(biāo)桿EF，直立在點(diǎn)Q處的小軍從點(diǎn)P處看到標(biāo)桿頂E和旗桿頂M在同一條直線上．已知旗桿底端N與F，Q在同一條直線上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，F(xiàn)N＝16m.(1)求旗桿MN的高度；活動(dòng)2：測(cè)量南禪寺妙光塔的高度南禪寺妙光塔，簡(jiǎn)稱“妙光塔”，始建于北宋雍熙年間，是無(wú)錫著名的文物保護(hù)單位之一，該小組為全面了解本土歷史文物，決定走出校園去測(cè)量妙光塔的高度．他們到達(dá)妙光塔后，發(fā)現(xiàn)塔頂A和塔底中心B均無(wú)法到達(dá)．經(jīng)研究，設(shè)計(jì)并實(shí)施了如下測(cè)量活動(dòng)(示意圖2)．在地面一條水平步道上的點(diǎn)F處豎立標(biāo)桿EF，直立在點(diǎn)Q處的小軍從點(diǎn)P處看到標(biāo)桿頂E和塔頂A在同一條直線上．小軍沿FQ的方向走到點(diǎn)Q′處，此時(shí)標(biāo)桿E′F′豎立于F′處，從點(diǎn)P′處看到標(biāo)桿頂E′和塔頂A在同一條直線上．已知AB，EF，PQ，E′F′和P′Q′在同一平面內(nèi)，點(diǎn)B，F(xiàn)，Q，F(xiàn)′，Q′在同一條直線上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，F(xiàn)Q＝1.2m，F(xiàn)′Q′＝2.2m，QQ′＝30m.(2)求妙光塔AB的高度．解：(1)如圖1，PH⊥MN于點(diǎn)H，交EF于點(diǎn)G，則四邊形PQFG，PQNH均為矩形，∴HN＝GF＝PQ＝1.4m，GP＝QF＝2m，HP＝NQ＝NF＋FQ＝16＋2＝18(m)，∴EG＝EF－GF＝2.8－1.4＝1.4(m)，由題意知EF∥MN，∴∠M＝∠GEP，∠MHP＝∠EGP，∴△MHP∽△EGP，(2)如圖2，P′I⊥AB于點(diǎn)I，交EF于點(diǎn)M，交E′F′于點(diǎn)M′，∵PQ＝P′Q′＝1.4m，∴點(diǎn)P在線段P′I上，四邊形PQFM，PQBI，P′Q′F′M′，P′Q′BI均為矩形，∴IP＝BQ，MP＝FQ＝1.2m，M′P′＝F′Q′＝2.2m，IB＝MF＝M′F′＝PQ＝P′Q′＝1.4m，∴EM＝E′M′＝2.8－1.4＝1.4(m)，2．[2024·山東]【實(shí)踐課題】測(cè)量湖邊觀測(cè)點(diǎn)A和湖心島上鳥(niǎo)類(lèi)棲息點(diǎn)P之間的距離【實(shí)踐工具】皮尺、測(cè)角儀等測(cè)量工具【實(shí)踐活動(dòng)】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點(diǎn)B.測(cè)量A，B兩點(diǎn)間的距離以及∠PAB和∠PBA，測(cè)量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°.畫(huà)出示意圖，如圖1.【問(wèn)題解決】(1)計(jì)算A，P兩點(diǎn)間的距離；(參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)【交流研討】甲小組回班匯報(bào)后，乙小組提出了另一種方案：如圖2，選擇合適的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使得A，D，E在同一條直線上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，當(dāng)F，D，P在同一條直線上時(shí)，只需測(cè)量EF即可．(2)乙小組的方案用到了_____；(填序號(hào))①解直角三角形②三角形全等【教師評(píng)價(jià)】甲、乙兩小組的方案都很好，對(duì)于實(shí)際測(cè)量，要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)地形狀況選擇可實(shí)施的方案．解：(1)(示例)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，∴AH＝AB·cos79°≈60×0.19＝11.4(米)，BH＝AB·sin79°≈60×0.98＝58.8(米)．∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，∴∠APB＝180°－79°－64°＝37°，類(lèi)型2

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)類(lèi)3．[2025·山西]項(xiàng)目學(xué)習(xí)項(xiàng)目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個(gè)景點(diǎn)，主體設(shè)計(jì)包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于內(nèi)欄墻，兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見(jiàn)底．從正上方看，外欄墻呈正八邊形，內(nèi)欄墻呈圓形．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)圍繞“景物的測(cè)量與計(jì)算”開(kāi)展項(xiàng)目學(xué)習(xí)活動(dòng)，形成了如下活動(dòng)報(bào)告．項(xiàng)目主題景物的測(cè)量與計(jì)算驅(qū)動(dòng)問(wèn)題如何測(cè)量?jī)?nèi)欄墻圍成泉池的直徑活動(dòng)內(nèi)容利用視圖，三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)進(jìn)行測(cè)量與計(jì)算活動(dòng)過(guò)程方案說(shuō)明圖1為該景點(diǎn)俯視圖的示意圖，點(diǎn)A，D是正八邊形中一組平行邊的中點(diǎn)，BC為圓的直徑圖中點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上．圖2為測(cè)量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄墻分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，外欄墻AE與DF均與水平地面垂直，且AE＝DF.BE，CF均表示步道的寬，BE＝CF.圖中各點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．活動(dòng)過(guò)程數(shù)據(jù)測(cè)量在點(diǎn)A處測(cè)得，點(diǎn)B和點(diǎn)C的俯角分別為∠DAB＝37°，∠DAC＝8.5°，AD＝26米．圖中墻的厚度均忽略不計(jì)計(jì)算……交流展示……請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計(jì)算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．解：由題意得∠AEF＝90°，四邊形AEFD為矩形，∴EF＝AD＝26，AD∥EF，∴∠ABE＝∠DAB＝37°，∠ACE＝∠DAC＝8.5°，設(shè)BE＝CF＝x米，則CE＝(26－x)米，BC＝(26－2x)米，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠AEB＝90°，tan∠ABE＝，∴AE＝BE·tan∠ABE＝x·tan37°，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，tan∠ACE＝，∴AE＝CE·tan∠ACE＝(26－x)·tan8.5°，∴x·tan37＝(26－x)·tan8.5°，解得x＝，∴BC＝26－2×≈17(米)，答：內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長(zhǎng)約為17米．類(lèi)型3

操作實(shí)踐及解決問(wèn)題類(lèi)4．[2025·山東]【問(wèn)題情境】2025年5月29日“天問(wèn)二號(hào)”成功發(fā)射，開(kāi)啟了小行星伴飛取樣探測(cè)的新篇章．某校航天興趣小組受到鼓舞，制作了一個(gè)航天器模型，其中某個(gè)部件使用3D打印完成，如圖1.【問(wèn)題提出】部件主視圖如圖2所示，由于l的尺寸不易直接測(cè)量，需要設(shè)計(jì)一個(gè)可以得到l的長(zhǎng)度的方案，以檢測(cè)該部件中l(wèi)的長(zhǎng)度是否符合要求．【方案設(shè)計(jì)】興趣小組通過(guò)查閱文獻(xiàn)，提出了鋼柱測(cè)量法．測(cè)量工具：游標(biāo)卡尺、若干個(gè)底面圓半徑相同的鋼柱(圓柱)．操作步驟：如圖3，將兩個(gè)鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合．示意圖如圖4，⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D.用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CC′的長(zhǎng)度y.【問(wèn)題解決】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的長(zhǎng)度要求是1.9cm～2.1cm.(1)求∠BAO的度數(shù)；(2)已知鋼柱的底面圓半徑為1cm，現(xiàn)測(cè)得y＝7.52cm.根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該部件l的長(zhǎng)度是否符合要求；(參考數(shù)據(jù)：≈1.73)【結(jié)果反思】(3)本次實(shí)踐過(guò)程借助圓柱將不可測(cè)量的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為可測(cè)量的長(zhǎng)度，能將圓柱換成其他幾何體嗎？如果能，寫(xiě)出一個(gè)；如果不能，說(shuō)明理由．解：(1)∵⊙O分別與AC，AD相切于點(diǎn)B，D，∴AB＝AD，∴Rt△OBA≌Rt△ODA(HL)，∠OAB＝∠OAD＝∠CAD＝30°；(3)能，將圓柱換成正方體(答案不唯一)．如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，用游標(biāo)卡尺測(cè)量出CF的長(zhǎng)度y.∴BC＝BD＝a.∵∠CAD＝60°，5．[2025·自貢]如圖1，自貢彩燈公園內(nèi)矗立著一座高塔，它見(jiàn)證過(guò)自貢燈會(huì)的輝煌歷史．小蕊參加了測(cè)量該塔高度的課外實(shí)踐活動(dòng)，小組同學(xué)研討完測(cè)量方案后，活動(dòng)如下．(1)制作工具如圖2，在矩形木板HIJK上O點(diǎn)處釘上一顆小鐵釘，系上細(xì)繩，繩的另一端系小重物G，過(guò)點(diǎn)O畫(huà)射線QM∥HK.測(cè)量時(shí)豎放木板，當(dāng)重垂線OG∥HI時(shí)，將等腰直角三角尺ACB的直角頂點(diǎn)C緊靠鐵釘，繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，通過(guò)OB邊瞄準(zhǔn)目標(biāo)N，測(cè)量∠MOB可得仰角度數(shù)．采用同樣方式，可測(cè)俯角度數(shù)．測(cè)量時(shí)，QM是否水平呢？小蕊產(chǎn)生了疑問(wèn)．組長(zhǎng)對(duì)她說(shuō)：“因?yàn)镺G始終垂直于水平面，滿足OG⊥QM就行．”求證：OG⊥QM；(2)獲取數(shù)據(jù)如圖3，同學(xué)們利用制作的測(cè)量工具，在該塔對(duì)面高樓上進(jìn)行了測(cè)量．已知該樓每層高3米，小蕊在15樓陽(yáng)臺(tái)P處測(cè)得塔底U的仰角為5.1°，在25樓對(duì)應(yīng)位置D處測(cè)得塔底U的俯角為9.1°，塔頂T的仰角為14.5°.如圖4，為得到仰角與俯角的正切值，小蕊在練習(xí)本上畫(huà)了一個(gè)Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm.在邊WZ上取兩點(diǎn)X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，則tan5.1°≈____，tan9.1°≈____，tan14.5°≈____；(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)(3)計(jì)算塔高請(qǐng)根據(jù)小蕊的數(shù)據(jù)，計(jì)算該塔高度；(結(jié)果取整數(shù))(4)反思改進(jìn)小蕊的測(cè)量結(jié)果與該塔實(shí)際高度存在2米的誤差．為減小誤差，小組同學(xué)想出了許多辦法．請(qǐng)你也幫小蕊提出兩條合理的改進(jìn)建議(總字?jǐn)?shù)少于50字)．解：(1)證明：∵四邊形HIJK為矩形，∴∠H＝90°，∵QM∥HK，∴∠IQM＝∠H＝90°.又∵OG∥HI，∴∠MOG＝∠IQM＝90°，∴OG⊥QM；(2)0.09；0.16；0.26；(3)如圖，延長(zhǎng)DR交TU于點(diǎn)F，延長(zhǎng)PS交TU于點(diǎn)E，則∠DFE＝∠PEF＝∠DFT＝∠DPE＝90°，∴四邊形DPEF為矩形，∴DP＝EF，DF＝PE，由題意可得DP＝(25－15)×3＝30(米)，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，(4)提出合理建議為：①多次測(cè)量取平均值；②取角的正切值用分?jǐn)?shù)．(答案不唯一)6．[2025·河北]綜合與實(shí)踐【情境】要將矩形鐵板切割成相同的兩部分，焊接成直角護(hù)板(如圖1)，需找到合適的切割線．【模型】已知矩形ABCD(數(shù)據(jù)如圖2所示)．作一條直線MN，使MN與BC所夾的銳角為45°，且將矩形ABCD分成周長(zhǎng)相等的兩部分．【操作】嘉嘉和淇淇嘗試用不同方法解決問(wèn)題．【探究】根據(jù)以上描述，解決下列問(wèn)題．(1)圖2中，矩形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)______；(2)在圖3的基礎(chǔ)上，用尺規(guī)作圖作出直線MN(作出一條即可，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；(3)根據(jù)淇淇的作圖過(guò)程，請(qǐng)說(shuō)明圖4中的直線MN符合要求．【拓展】操作和探究中蘊(yùn)含著一般性結(jié)論，請(qǐng)繼續(xù)研究下面的問(wèn)題．(4)如圖5，若直線PQ將矩形ABCD分成周長(zhǎng)相等的兩部分，分別交邊AD，BC于點(diǎn)P，Q，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥PQ于點(diǎn)H，連接CH.①當(dāng)∠PQC＝45°時(shí)，求tan∠BCH的值；②當(dāng)∠BCH最大時(shí)，直接寫(xiě)出CH的長(zhǎng)．解：(1)10；(2)(示例)如圖1所示，以點(diǎn)E為圓心、EO為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)M，連接MC并向兩邊延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)N，直線MN即為所求作；(3)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC.∵BG＝AB＝1，∴∠AGB＝45°，CG＝3，∵AN＝MG，∴四邊形AGMN是平行四邊形，∴MN∥AG，∴∠NMG＝∠AGB＝45°.∴BM＝DN，∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN，∴MN把矩形ABCD分成了周長(zhǎng)相等的兩部分，∴直線MN符合要求；②如圖3所示，連接BD交PQ于點(diǎn)O，∵PQ把矩形ABCD分成了周長(zhǎng)相等的兩部分，∴點(diǎn)O為BD和PQ的中點(diǎn)，∵BH⊥PQ，∴點(diǎn)H在以BO為直徑的⊙L上，當(dāng)CH與⊙L相切時(shí)，∠BCH最大，∵AB＝1，AD＝4，過(guò)點(diǎn)L作LT⊥BC，∴∠BTL＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴TL∥CD，∴△BLT∽△BDC，類(lèi)型4

多學(xué)科融合類(lèi)7．[2025·鼓樓區(qū)一模]【立竿見(jiàn)影】如圖1，在平地上豎立一根直竿OA，太陽(yáng)每天東升西落，直竿在陽(yáng)光下的影子隨之變化．研究表明，南京地區(qū)的影端軌跡(直竿影子頂端的軌跡)在春分日、秋分日是正東西向的直線，在其它時(shí)候是雙曲線的一支，日期與軌跡形狀的對(duì)應(yīng)情況如圖2所示．在老師指導(dǎo)下，鼓樓區(qū)的幾位同學(xué)在學(xué)校進(jìn)行了如下探索．(1)某一天甲同學(xué)在操場(chǎng)上觀測(cè)到竿影頂端的3處標(biāo)記點(diǎn)，位置如圖1所示，則他的這次觀測(cè)大約在_____季節(jié)；(填“春夏”或“秋冬”)(2)4月20日，乙同學(xué)從10：00到14：00每隔10min標(biāo)記一次影端的位置．①當(dāng)天的影端軌跡最接近圖2中的哪條線？②他選用了兩處標(biāo)記點(diǎn)確定出正東西方向，請(qǐng)指出他確定方向的方案和道理；(3)如圖3，丙同學(xué)在實(shí)驗(yàn)室中用燈光模擬出“在春分日，直竿OA的影端軌跡為正東西向的直線l”，丁同學(xué)提出：在地平面上放置一個(gè)