56應(yīng)用一元一次方程追趕小明課件北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)匯報(bào)人：xxxYOUR01課程介紹與目標(biāo)主題概述追趕問(wèn)題定義追趕問(wèn)題是指兩個(gè)或多個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)物體試圖追上另一個(gè)物體的問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題通常涉及速度、時(shí)間和距離的關(guān)系，需要通過(guò)建立方程來(lái)求解。方程應(yīng)用背景在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到需要解決追趕問(wèn)題的情況，例如跑步比賽、汽車(chē)追逐等。通過(guò)應(yīng)用一元一次方程，我們可以更準(zhǔn)確地解決這些問(wèn)題。學(xué)習(xí)目標(biāo)說(shuō)明通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生將能夠借助“線(xiàn)段圖”分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程解決實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展分析和解決問(wèn)題的能力。課件結(jié)構(gòu)預(yù)覽本課件將依次介紹追趕問(wèn)題的定義、方程應(yīng)用背景、學(xué)習(xí)目標(biāo)，然后深入講解一元一次方程的基礎(chǔ)、解法和應(yīng)用，最后通過(guò)實(shí)例進(jìn)行鞏固練習(xí)。課前知識(shí)回顧一元一次方程是指只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為1的整式方程。它是解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要工具，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要地位。一元一次方程基礎(chǔ)解一元一次方程通常包括去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟。掌握這些步驟，能準(zhǔn)確求解方程，解決實(shí)際問(wèn)題。方程解法步驟例如，已知小明的速度是80m/min，爸爸的速度是180m/min，小明先出發(fā)5min，求爸爸追上小明所需時(shí)間，可通過(guò)列方程求解?；A(chǔ)應(yīng)用舉例學(xué)生需要掌握等式的基本性質(zhì)、整式的運(yùn)算等預(yù)備知識(shí)，這將有助于更好地理解和應(yīng)用一元一次方程解決追趕問(wèn)題。預(yù)備知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)資源說(shuō)明教材章節(jié)參考本課程內(nèi)容對(duì)應(yīng)北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第五章相關(guān)章節(jié)，同學(xué)們可重點(diǎn)關(guān)注一元一次方程應(yīng)用部分，深入學(xué)習(xí)借助方程解決追趕問(wèn)題的方法。工具使用指南在學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們可使用直尺繪制線(xiàn)段圖分析路程關(guān)系，利用計(jì)算器輔助計(jì)算，還能借助教材和筆記記錄重點(diǎn)知識(shí)，提升學(xué)習(xí)效率。課堂互動(dòng)方式課堂上會(huì)組織小組討論，大家可交流解題思路；也有提問(wèn)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)主動(dòng)發(fā)言；還會(huì)安排情景模擬，讓大家親身體驗(yàn)追趕問(wèn)題，積極參與互動(dòng)。評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)介紹評(píng)估將從課堂表現(xiàn)、作業(yè)完成情況和測(cè)試成績(jī)?nèi)矫孢M(jìn)行。課堂積極發(fā)言、作業(yè)準(zhǔn)確率高、測(cè)試成績(jī)優(yōu)異者，將獲得更好的評(píng)估結(jié)果。激發(fā)興趣環(huán)節(jié)01020304現(xiàn)實(shí)生活例子在生活中，跑步比賽中運(yùn)動(dòng)員的相互追趕、汽車(chē)在公路上超車(chē)等，都涉及到一元一次方程在追趕問(wèn)題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。問(wèn)題引入故事小明以一定速度上學(xué)，一段時(shí)間后爸爸發(fā)現(xiàn)他忘帶課本，便加速去追。大家思考爸爸能否追上小明，何時(shí)追上，這就是我們要解決的問(wèn)題。預(yù)期成果說(shuō)明通過(guò)學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握用一元一次方程解決追趕問(wèn)題的方法，能準(zhǔn)確分析數(shù)量關(guān)系、建立方程并求解，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。學(xué)生參與提示希望同學(xué)們?cè)谡n堂討論中積極發(fā)表見(jiàn)解，大膽提出疑問(wèn)；情景模擬時(shí)認(rèn)真投入；練習(xí)環(huán)節(jié)主動(dòng)思考，與同學(xué)相互交流，共同進(jìn)步。02一元一次方程基礎(chǔ)方程概念復(fù)習(xí)變量與常數(shù)在一元一次方程里，變量代表未知量，會(huì)隨條件改變，像追趕問(wèn)題里的時(shí)間、路程等；常數(shù)則是固定數(shù)值，如速度。理解它們能助于構(gòu)建方程。等式性質(zhì)等式性質(zhì)是解方程基礎(chǔ)，等式兩邊加、減、乘、除同一個(gè)非零數(shù)，等式仍成立。利用此性質(zhì)可對(duì)一元一次方程變形求解。解法概述解一元一次方程一般先去分母、去括號(hào)，接著移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，最后將系數(shù)化為1。按步驟操作能準(zhǔn)確求出方程解。常見(jiàn)錯(cuò)誤避免解方程時(shí)，要避免移項(xiàng)不變號(hào)、去分母漏乘等錯(cuò)誤。仔細(xì)計(jì)算，嚴(yán)格按步驟操作，可減少此類(lèi)錯(cuò)誤發(fā)生。方程建模原理把實(shí)際的追趕問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，需分析已知和未知量，如小明和爸爸的速度、時(shí)間、路程關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型。實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化建立方程關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系，如追趕問(wèn)題中，快者路程與慢者路程的關(guān)系，依據(jù)此列出含未知數(shù)的等式。建立方程關(guān)鍵設(shè)定參數(shù)要結(jié)合問(wèn)題實(shí)際，通常設(shè)關(guān)鍵未知量為未知數(shù)，像設(shè)追趕時(shí)間為未知數(shù)，方便后續(xù)列方程求解。參數(shù)設(shè)定方法驗(yàn)證能確保方程解的正確性，將解代入原方程和實(shí)際問(wèn)題中檢驗(yàn)，若符合條件，解才有效，可避免錯(cuò)誤結(jié)果。驗(yàn)證重要性解方程技巧移項(xiàng)操作移項(xiàng)操作是解方程的重要步驟，需把含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)一邊，常數(shù)項(xiàng)移到另一邊，移項(xiàng)要變號(hào)，以簡(jiǎn)化方程，便于后續(xù)求解。合并同類(lèi)項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)能將方程化簡(jiǎn)，把含有相同未知數(shù)且次數(shù)相同的項(xiàng)合并，通過(guò)系數(shù)相加，使方程更簡(jiǎn)潔，為求解未知數(shù)做準(zhǔn)備。求解未知數(shù)求解未知數(shù)是解方程的核心，在移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)后，依據(jù)等式性質(zhì)，將未知數(shù)系數(shù)化為1，從而得出未知數(shù)的值。檢查正確性檢查解的正確性十分必要，把求得的未知數(shù)的值代入原方程，看等號(hào)兩邊是否相等，以此驗(yàn)證解是否符合方程。基礎(chǔ)練習(xí)演示通過(guò)簡(jiǎn)單例子解析，可清晰展示解方程步驟。如給出一個(gè)一元一次方程，逐步進(jìn)行移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、求解未知數(shù)和檢查，讓學(xué)生熟悉流程。簡(jiǎn)單例子解析學(xué)生嘗試時(shí)，先讀題理解題意，設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程，接著按移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等步驟求解，最后檢查結(jié)果。學(xué)生嘗試步驟教師指導(dǎo)要關(guān)注學(xué)生思路，引導(dǎo)正確設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系，及時(shí)糾正移項(xiàng)變號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)計(jì)算等錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生思考。教師指導(dǎo)要點(diǎn)針對(duì)學(xué)生問(wèn)題，教師詳細(xì)解答，強(qiáng)調(diào)解題關(guān)鍵步驟和思路，幫助學(xué)生理解錯(cuò)誤原因，提升解方程能力。問(wèn)題解答03追趕問(wèn)題定義場(chǎng)景描述小明追趕故事小明上學(xué)時(shí)忘帶語(yǔ)文課本，以80m/min的速度出發(fā)，5分鐘后爸爸發(fā)現(xiàn)，便以180m/min的速度去追他，引發(fā)了后續(xù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題探討。速度距離關(guān)系速度、距離之間存在緊密聯(lián)系，如在追趕場(chǎng)景中，速度快的人在相同時(shí)間內(nèi)走過(guò)的距離更遠(yuǎn)，可通過(guò)速度與時(shí)間乘積來(lái)計(jì)算距離。時(shí)間因素考慮在追趕問(wèn)題里，時(shí)間是關(guān)鍵因素。不同出發(fā)時(shí)間會(huì)影響追趕結(jié)果，需結(jié)合速度和距離去分析時(shí)間對(duì)整個(gè)過(guò)程的作用。問(wèn)題目標(biāo)明確本問(wèn)題目標(biāo)是求出爸爸追上小明所用時(shí)間，通過(guò)分析速度、距離和時(shí)間關(guān)系，利用一元一次方程來(lái)解決該問(wèn)題。關(guān)鍵變量識(shí)別01020304速度變量設(shè)定可設(shè)爸爸速度為180m/min，小明速度為80m/min，速度變量的準(zhǔn)確設(shè)定是構(gòu)建方程解決追趕問(wèn)題的基礎(chǔ)。距離變量設(shè)定距離變量可設(shè)定為小明家到學(xué)校1000m，以及爸爸和小明各自行走的路程，它們之間存在一定等量關(guān)系。時(shí)間變量設(shè)定設(shè)爸爸追上小明用的時(shí)間為未知數(shù)，同時(shí)要考慮小明提前出發(fā)的5分鐘，時(shí)間變量設(shè)定對(duì)建立方程很重要。未知量確定此問(wèn)題中未知量為爸爸追上小明所用時(shí)間，確定未知量后，可依據(jù)已知條件構(gòu)建方程求解。問(wèn)題類(lèi)型分類(lèi)同向追趕同向追趕是追趕問(wèn)題中的常見(jiàn)類(lèi)型，比如爸爸追小明。在這種情況下，兩人速度不同，快者在后追慢者，要抓住追上時(shí)兩人路程的等量關(guān)系來(lái)分析問(wèn)題。相向而行相向而行與同向追趕不同，兩人相對(duì)而行，最終相遇。像兩人在跑道兩端同時(shí)起跑，此時(shí)兩人的路程之和等于總路程，這是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。不同起始點(diǎn)不同起始點(diǎn)會(huì)讓追趕問(wèn)題更復(fù)雜。比如小明先出發(fā)一段距離，爸爸再去追。需考慮起始的路程差，結(jié)合速度和時(shí)間來(lái)建立數(shù)量關(guān)系。復(fù)雜情況簡(jiǎn)介復(fù)雜情況包含多種因素，如多人追趕、速度變化等。解決時(shí)要綜合分析各變量，借助線(xiàn)段圖等工具理清數(shù)量關(guān)系，逐步建立方程求解。建模初步思考建立關(guān)系式要依據(jù)題目中的速度、時(shí)間和距離等信息。例如爸爸追小明，根據(jù)兩人的速度和時(shí)間，找到路程之間的相等關(guān)系，這是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)。關(guān)系式建立根據(jù)建立的關(guān)系式可預(yù)測(cè)方程形式。若涉及速度差和時(shí)間，方程可能是速度差乘時(shí)間等于路程差等形式，為后續(xù)解方程做準(zhǔn)備。方程形式預(yù)測(cè)組織學(xué)生討論能激發(fā)思維。讓學(xué)生交流對(duì)問(wèn)題的看法，分享思路，互相啟發(fā)，培養(yǎng)合作能力和分析問(wèn)題的能力。學(xué)生討論環(huán)節(jié)教師總結(jié)引導(dǎo)很重要。教師要梳理學(xué)生的討論結(jié)果，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)和解題方法，幫助學(xué)生加深理解，掌握解決追趕問(wèn)題的技巧。教師總結(jié)引導(dǎo)04方程建模過(guò)程具體問(wèn)題分析小明案例描述在生活場(chǎng)景中，小明要去追趕前方的目標(biāo)。比如小明得知朋友提前出發(fā)去圖書(shū)館，他隨后動(dòng)身追趕，這一過(guò)程涉及速度、距離和時(shí)間的變化。已知條件列出已知小明的行走速度，朋友提前出發(fā)的時(shí)長(zhǎng)和朋友的行走速度，同時(shí)清楚圖書(shū)館與他們出發(fā)地的距離，這些是解決問(wèn)題的重要依據(jù)。未知量定義未知量可以定義為小明追上朋友所需的時(shí)間，或者小明追上朋友時(shí)所走的距離，這兩個(gè)未知量是解決追趕問(wèn)題的關(guān)鍵因素。關(guān)系表達(dá)式根據(jù)速度、時(shí)間和距離的關(guān)系，可得出小明行走的距離等于他的速度乘以時(shí)間，朋友行走的距離等于其速度乘以總時(shí)間，這是建立方程的基礎(chǔ)。建立方程步驟速度差是解決追趕問(wèn)題的重要數(shù)據(jù)，用小明的速度減去朋友的速度，得到的速度差能反映出小明相對(duì)于朋友多前進(jìn)的速度。速度差計(jì)算小明追趕朋友過(guò)程中，朋友行走的時(shí)間比小明多提前出發(fā)的時(shí)長(zhǎng)，以此建立時(shí)間上的等式關(guān)系，為構(gòu)建方程提供重要支撐。時(shí)間等式結(jié)合速度差、時(shí)間等式以及距離關(guān)系，構(gòu)建出一元一次方程，方程中包含未知量和已知條件，是解決問(wèn)題的核心步驟。方程構(gòu)建對(duì)方程進(jìn)行去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等操作，將方程化為最簡(jiǎn)形式，方便求解未知量，得出最終結(jié)果。簡(jiǎn)化方程解方程演示移項(xiàng)操作移項(xiàng)操作是解方程的重要步驟。將方程中的某一項(xiàng)從等號(hào)的一邊移到另一邊時(shí)，要改變符號(hào)。比如把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)一側(cè)，含未知數(shù)的項(xiàng)移到另一側(cè)，方便后續(xù)計(jì)算。合并步驟合并步驟是在移項(xiàng)后進(jìn)行的。把同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行合并，將含未知數(shù)的項(xiàng)合并成一項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)也合并成一項(xiàng)，使方程變得更簡(jiǎn)潔，為求解未知數(shù)做準(zhǔn)備。求解未知數(shù)求解未知數(shù)是方程的核心目標(biāo)。在合并同類(lèi)項(xiàng)后，通過(guò)等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)，就可以得到未知數(shù)的值，從而解決方程問(wèn)題。驗(yàn)證解正確驗(yàn)證解是否正確十分必要。將求得的未知數(shù)的值代入原方程，分別計(jì)算等號(hào)兩邊的值，如果兩邊相等，說(shuō)明解是正確的，反之則需要重新檢查計(jì)算過(guò)程。模型應(yīng)用擴(kuò)展01020304參數(shù)變化分析參數(shù)變化分析能讓我們更深入理解方程。當(dāng)速度、時(shí)間、距離等參數(shù)改變時(shí)，方程的形式和結(jié)果也會(huì)變化，通過(guò)分析這些變化能掌握不同情況下的解題方法。類(lèi)似問(wèn)題類(lèi)比類(lèi)似問(wèn)題類(lèi)比有助于拓展思維。把“追趕小明”問(wèn)題與其他追及、相遇問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比，找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，能提高解決同類(lèi)問(wèn)題的能力。生活應(yīng)用示例生活應(yīng)用示例能讓我們感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性。如汽車(chē)追及、隊(duì)伍行進(jìn)等問(wèn)題都可以用一元一次方程解決，讓我們明白數(shù)學(xué)在生活中無(wú)處不在。思考題設(shè)置思考題設(shè)置能激發(fā)同學(xué)們的探索精神。提出一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，如改變條件或增加限制，讓同學(xué)們思考如何建立方程求解，提升思維能力。05實(shí)例解析與練習(xí)標(biāo)準(zhǔn)例子講解問(wèn)題陳述以小明忘帶課本，爸爸去追他為例。小明以80m/min速度出發(fā)5min后，爸爸以180m/min速度追，問(wèn)題是爸爸追上小明用了多長(zhǎng)時(shí)間及此時(shí)距學(xué)校多遠(yuǎn)。建模過(guò)程先明確已知，小明速度80m/min，先出發(fā)5min，爸爸速度180m/min。設(shè)爸爸追上小明用x分鐘，利用兩人路程相等關(guān)系，列方程180x=80×(5+x)。解方程步驟先對(duì)180x=80×(5+x)展開(kāi)，得180x=400+80x，接著移項(xiàng)180x-80x=400，合并同類(lèi)項(xiàng)得100x=400，解得x=4。結(jié)果解釋解得x=4，意味著爸爸追上小明用了4分鐘。此時(shí)小明走了(5+4)×80=720m，距學(xué)校1000-720=280m。變體例子分析若小明提前或推遲出發(fā)，設(shè)提前a分鐘出發(fā)，那么方程變?yōu)?80x=80×(a+x)，需重新根據(jù)新時(shí)間關(guān)系求解。起始時(shí)間變化若爸爸或小明速度改變，如爸爸變?yōu)関1m/min，小明變?yōu)関2m/min，則方程為v1x=v2×(5+x)，要按新速度修改方程求解。速度調(diào)整情況若有多個(gè)人追趕小明，如新增一人速度v3，可根據(jù)不同人出發(fā)時(shí)間和速度關(guān)系，找到路程相等的等式來(lái)列方程解決。多物體追趕解題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，如路程相等。設(shè)未知數(shù)時(shí)優(yōu)先設(shè)所求問(wèn)題，列方程后要仔細(xì)運(yùn)算，算完記得驗(yàn)證結(jié)果與實(shí)際是否相符。技巧強(qiáng)調(diào)課堂互動(dòng)練習(xí)小組討論題組織同學(xué)們分組討論類(lèi)似小明追趕問(wèn)題的情境，如不同速度、不同起始時(shí)間的兩人追及問(wèn)題，探討如何找等量關(guān)系和列方程。學(xué)生展示請(qǐng)各小組代表上臺(tái)展示討論結(jié)果，講解分析問(wèn)題思路、建立方程過(guò)程及求解方法，鍛煉表達(dá)與思維能力。教師反饋教師對(duì)學(xué)生展示進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，肯定優(yōu)點(diǎn)，指出不足，強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)和解題要點(diǎn)，幫助學(xué)生深化理解。錯(cuò)誤糾正針對(duì)學(xué)生展示中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如等量關(guān)系找錯(cuò)、方程列錯(cuò)等，詳細(xì)講解錯(cuò)誤原因并給出正確解法。鞏固練習(xí)題目給出基礎(chǔ)追及問(wèn)題，如兩人同地同向出發(fā)，已知速度和追及路程求時(shí)間，讓學(xué)生鞏固基本解題方法。簡(jiǎn)單練習(xí)題設(shè)置起始時(shí)間不同、速度有變化的追及問(wèn)題，增加題目復(fù)雜性，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力。中等難度題提出涉及多物體、復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過(guò)程的追及問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)精神，拓展思維深度和廣度。挑戰(zhàn)性問(wèn)題給出練習(xí)題答案的關(guān)鍵步驟和思路提示，方便學(xué)生自我檢查和糾正，加深對(duì)知識(shí)的掌握。答案提示06總結(jié)與評(píng)估知識(shí)點(diǎn)回顧建模核心建模核心在于借助“線(xiàn)段圖”清晰呈現(xiàn)追趕問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，以路程、速度和時(shí)間的基本公式為基礎(chǔ)，找出等量關(guān)系，進(jìn)而建立一元一次方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。解法總結(jié)解此類(lèi)追趕問(wèn)題的一元一次方程，一般先設(shè)未知數(shù)，再依據(jù)等量關(guān)系列方程，接著通過(guò)移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等步驟求解方程，最后對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)。問(wèn)題要點(diǎn)解決追趕問(wèn)題，要明確速度、時(shí)間和路程三個(gè)關(guān)鍵量，注意出發(fā)時(shí)間、地點(diǎn)和方向等條件，準(zhǔn)確找出等量關(guān)系，比如追上時(shí)兩人路程相等。技巧歸納解題技巧在于合理利用線(xiàn)段圖分析問(wèn)題，快速確定等量關(guān)系；設(shè)未知數(shù)時(shí)盡量使方程易于求解；計(jì)算過(guò)程中仔細(xì)進(jìn)行移項(xiàng)和合并同類(lèi)項(xiàng)操作。成果評(píng)估01020304自檢問(wèn)題同學(xué)們可自檢是否能借助線(xiàn)段圖分析追趕問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，是否會(huì)設(shè)未知數(shù)、列方程，能否正確求解方程并檢驗(yàn)答案的合理性。小測(cè)驗(yàn)題小測(cè)驗(yàn)包含如“小明和爸爸同向而行，已知各自速度和出發(fā)時(shí)間，求爸爸追上小明的時(shí)間”等題目，考查對(duì)知識(shí)的掌握程度。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)評(píng)分依據(jù)答題的準(zhǔn)確性、完整性和步驟規(guī)范性。方程列對(duì)、求解正確且步驟完整