乘除何以相通？——八年級數(shù)學(xué)《分式的乘除》單元起始課教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容分析

從《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》視角審視，本節(jié)課隸屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的“數(shù)與式”主題，是學(xué)生從數(shù)的運(yùn)算邁向式的運(yùn)算、從整式過渡到分式的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。知識技能圖譜清晰：核心概念為分式的乘法法則與除法法則，關(guān)鍵技能是能正確、熟練地進(jìn)行分式乘除運(yùn)算，并將結(jié)果化為最簡形式，認(rèn)知要求達(dá)到“理解”和“應(yīng)用”層級。它在單元知識鏈中承上啟下：上承分式基本性質(zhì)與約分，下啟分式的乘方、加減及混合運(yùn)算，是構(gòu)建完整分式運(yùn)算體系的基石。過程方法路徑上，課標(biāo)強(qiáng)調(diào)的模型思想、運(yùn)算能力和推理能力在本課有鮮明體現(xiàn)。我們計劃將“法則的歸納”轉(zhuǎn)化為學(xué)生從具體數(shù)字運(yùn)算到一般字母表示的數(shù)學(xué)探究活動，引導(dǎo)其經(jīng)歷“觀察特例—提出猜想—符號表示—驗(yàn)證解釋”的完整過程，親歷法則的“再發(fā)現(xiàn)”。素養(yǎng)價值滲透方面，本課是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的絕佳載體。在探索“何以分式的乘除與分?jǐn)?shù)的乘除形式一致”的過程中，蘊(yùn)含了從特殊到一般、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，這不僅是數(shù)學(xué)之美，更是理性精神的彰顯；而運(yùn)算過程中對符號、約分嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，則是培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致、規(guī)范科學(xué)態(tài)度的契機(jī)。

基于“以學(xué)定教”原則進(jìn)行學(xué)情研判。已有基礎(chǔ)與障礙：學(xué)生已熟練掌分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算、整式的乘除運(yùn)算及因式分解，這為類比學(xué)習(xí)提供了堅實(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”。然而，潛在障礙亦存：一是從“數(shù)”到“式”的抽象飛躍，學(xué)生可能對字母表示的普遍性心存疑慮；二是在運(yùn)算過程中，符號處理、因式分解與約分的綜合運(yùn)用容易出錯，特別是當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時，如何“看成一個整體”進(jìn)行約分是思維難點(diǎn)。過程評估設(shè)計：將通過課堂設(shè)問（如“你認(rèn)為分式乘法與分?jǐn)?shù)乘法最大的不同是什么？”）、巡視觀察學(xué)生探究過程、分析隨堂練習(xí)中的典型錯誤等方式，動態(tài)把握學(xué)生對算理的理解深度與算法的掌握程度。教學(xué)調(diào)適策略：針對上述診斷，對抽象思維較弱的學(xué)生，提供更多從具體數(shù)值例子到一般式子的“腳手架”，并鼓勵其用語言復(fù)述算理；對運(yùn)算易出錯的學(xué)生，設(shè)計“錯例診斷”環(huán)節(jié)，強(qiáng)化運(yùn)算程序與規(guī)范；對學(xué)有余力者，則引導(dǎo)其思考法則的合理性證明或探索更復(fù)雜的變形問題。二、教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：學(xué)生能夠理解并自主歸納出分式乘除法的運(yùn)算法則，明確其與分?jǐn)?shù)乘除法則的一致性及內(nèi)在邏輯；能準(zhǔn)確敘述法則的符號語言表達(dá)，并理解將除法轉(zhuǎn)化為乘法的原理；最終能依據(jù)法則，規(guī)范、熟練地進(jìn)行分式乘除運(yùn)算，并自覺將結(jié)果化為最簡分式。

能力目標(biāo)：學(xué)生通過經(jīng)歷從具體到抽象的探究過程，提升數(shù)學(xué)抽象與符號表征能力；在運(yùn)算過程中，能綜合運(yùn)用因式分解、約分等技能，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心能力；通過小組討論與錯例辨析，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流與批判性思維能力。

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：學(xué)生在類比、猜想、驗(yàn)證的活動中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探索的樂趣與嚴(yán)謹(jǐn)性，形成敢于猜想、樂于探究的科學(xué)態(tài)度；在合作學(xué)習(xí)中，學(xué)會傾聽、表達(dá)與互助，感受團(tuán)隊協(xié)作的價值。

科學(xué)（學(xué)科）思維目標(biāo)：重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的類比思維與化歸思想。引導(dǎo)其將分式乘除問題化歸為熟悉的分?jǐn)?shù)運(yùn)算問題，將除法運(yùn)算化歸為乘法運(yùn)算，并能運(yùn)用“從特殊到一般”的歸納方法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。

評價與元認(rèn)知目標(biāo)：學(xué)生能夠依據(jù)“步驟清晰、過程完整、結(jié)果最簡”的運(yùn)算量規(guī)，對自我或同伴的解題過程進(jìn)行初步評價；能在課堂小結(jié)時，反思本課學(xué)習(xí)的關(guān)鍵步驟與思維方法，梳理“遇到新問題如何轉(zhuǎn)化為舊知識”的策略。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：分式乘除運(yùn)算法則的理解與應(yīng)用。確立依據(jù)在于：從課標(biāo)看，該法則是“數(shù)與式”主題下必須掌握的核心“大概念”，是后續(xù)進(jìn)行分式混合運(yùn)算、解分式方程、研究函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)算基礎(chǔ)；從學(xué)業(yè)評價看，分式運(yùn)算是中考的高頻考點(diǎn)，且常以綜合題形式出現(xiàn)，直接考查學(xué)生的運(yùn)算能力與代數(shù)變形能力。

教學(xué)難點(diǎn)：一是法則探究過程中，如何實(shí)現(xiàn)從具體數(shù)值運(yùn)算到抽象符號表示的思維跨越；二是運(yùn)算過程中，對分子、分母是多項(xiàng)式時的正確處理，特別是準(zhǔn)確、徹底地進(jìn)行因式分解與約分。預(yù)設(shè)依據(jù)源于學(xué)情：八年級學(xué)生的抽象概括能力尚在發(fā)展，符號意識有待強(qiáng)化；同時，因式分解的熟練度與“整體觀”的缺乏，易導(dǎo)致約分不徹底或錯誤。突破方向在于搭建循序漸進(jìn)的探究階梯和強(qiáng)化“先分解，后約分”的程序性訓(xùn)練。四、教學(xué)準(zhǔn)備清單1.教師準(zhǔn)備1.1媒體與教具：多媒體課件，包含生活情境導(dǎo)入動畫、探究活動指引、分層練習(xí)題及動態(tài)演示約分過程。1.2學(xué)習(xí)材料：設(shè)計并印制《分式的乘除》學(xué)習(xí)任務(wù)單（含探究記錄區(qū)、分層練習(xí)區(qū)、反思區(qū)）。1.3環(huán)境預(yù)設(shè)：黑板劃分為“法則發(fā)現(xiàn)區(qū)”、“運(yùn)算示范區(qū)”、“我的疑問區(qū)”三部分。2.學(xué)生準(zhǔn)備2.1知識回顧：復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法則、因式分解（提公因式、公式法）及整式乘法。2.2學(xué)具：準(zhǔn)備好筆、練習(xí)本及數(shù)學(xué)教材。五、教學(xué)過程第一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)

1.情境創(chuàng)設(shè)：同學(xué)們，假設(shè)我們班要舉辦一個科學(xué)小實(shí)驗(yàn)展示會，需要配制一種特定濃度的溶液。已知原溶液的濃度是(2x)/(x+1)克/毫升，現(xiàn)在需要量取(3y)/2毫升原溶液進(jìn)行稀釋。大家想想看，我們?nèi)绾斡嬎闼〕龅娜苜|(zhì)質(zhì)量呢？（稍作停頓）對，這涉及到濃度與體積的乘法。這是一個我們生活中可能遇到的真實(shí)數(shù)學(xué)問題。

1.1問題提出：但這里出現(xiàn)的(2x)/(x+1)和(3y)/2不是我們熟悉的分?jǐn)?shù)，而是分式。那么，分式與分式之間該如何進(jìn)行乘除運(yùn)算呢？它的運(yùn)算規(guī)則會和分?jǐn)?shù)一樣嗎？這就是我們今天要共同探究的核心問題：“乘除何以相通？”——探尋分式與分?jǐn)?shù)在乘除運(yùn)算上的內(nèi)在聯(lián)系。

1.2路徑明晰：我們將沿著“回顧舊知—大膽類比—動手驗(yàn)證—總結(jié)法則—靈活應(yīng)用”的路線展開探索。首先，請大家喚醒我們最牢固的記憶：分?jǐn)?shù)的乘除法則是怎樣的？讓我們一起說出來。第二、新授環(huán)節(jié)任務(wù)一：從“數(shù)”到“式”的類比猜想教師活動：首先，教師板書兩組算式：①2/3×4/5=?②2/3÷4/5=?請學(xué)生口答并回顧法則。接著，教師將數(shù)字替換為字母，寫出：a/b×c/d=?a/b÷c/d=?“瞧，當(dāng)我們把具體的數(shù)字換成抽象的字母，分?jǐn)?shù)的法則就變成了分式的可能形式。那么，這兩個問號后面應(yīng)該填什么呢？誰愿意根據(jù)剛才的類比，當(dāng)?shù)谝粋€‘猜想家’？”教師鼓勵學(xué)生大膽說出猜想，并將其板書在“法則發(fā)現(xiàn)區(qū)”。學(xué)生活動：快速口答分?jǐn)?shù)運(yùn)算結(jié)果與法則。觀察教師的改寫過程，進(jìn)行類比思考。部分學(xué)生能主動提出猜想：“是不是a/b×c/d=ac/bd，a/b÷c/d=a/b×d/c=ad/bc？”其他學(xué)生傾聽、思考，表示認(rèn)同或提出疑問。即時評價標(biāo)準(zhǔn)：1.能否準(zhǔn)確、流暢地復(fù)述分?jǐn)?shù)乘除法則。2.能否主動進(jìn)行類比，并提出合理的猜想。3.在傾聽同伴猜想時，是否表現(xiàn)出思考與判斷。形成知識、思維、方法清單：★復(fù)習(xí)鞏固：分?jǐn)?shù)乘除法法則。乘法：分子乘分子，分母乘分母；除法：除以一個數(shù)等于乘它的倒數(shù)。這是所有類比思維的起點(diǎn)?！P(guān)鍵思維：類比猜想。數(shù)學(xué)中，我們常根據(jù)兩個對象之間的相似性，從一個已知對象的性質(zhì)去推測另一個對象的性質(zhì)。這是一種重要的發(fā)現(xiàn)方法。教師提示：“但猜想不一定總是對的，接下來我們需要做什么？對，驗(yàn)證！”任務(wù)二：舉例驗(yàn)證猜想的合理性教師活動：“光猜想可不行，我們需要證據(jù)。如何驗(yàn)證我們猜想的‘分式法則’是合理的呢？”引導(dǎo)學(xué)生提出驗(yàn)證策略：用具體的數(shù)字代替字母，代入分式進(jìn)行計算。教師示范：取a=2,b=3,c=4,d=5，按照猜想計算(2/3)×(4/5)，結(jié)果與直接算分?jǐn)?shù)乘法一致?！斑@只是特例，能說服所有人嗎？請大家在任務(wù)單上，自己再另選兩組不同的數(shù)（特別是包含負(fù)數(shù)的情況），分別對乘法和除法法則進(jìn)行驗(yàn)證?！毖惨曋笇?dǎo)，關(guān)注學(xué)生取值是否多樣、計算是否準(zhǔn)確。學(xué)生活動：理解驗(yàn)證的必要性。跟隨教師示范，理解驗(yàn)證方法。獨(dú)立在任務(wù)單上選取不同的數(shù)值（如包含分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等），代入字母分式，按照猜想法則進(jìn)行計算，并與直接數(shù)值運(yùn)算結(jié)果對比。小組內(nèi)交換驗(yàn)證例子，確認(rèn)猜想是否始終成立。即時評價標(biāo)準(zhǔn)：1.能否理解舉例驗(yàn)證的目的與方法。2.舉例是否具有多樣性（正數(shù)、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)）。3.計算過程是否準(zhǔn)確、規(guī)范。形成知識、思維、方法清單：★探究方法：特殊值驗(yàn)證法。當(dāng)面對一個關(guān)于一般形式的猜想時，代入具體的、特殊的數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，是判斷其合理性的有效手段?！族e警示：驗(yàn)證的完備性。舉例驗(yàn)證可以增強(qiáng)我們對猜想的信心，但不能作為絕對的證明。因?yàn)橛邢薜睦訜o法覆蓋所有情況（比如分母為零的情況）。教師可設(shè)問：“我們驗(yàn)證了這么多例子都成立，是不是就可以百分百確定法則正確了？想想看，有沒有什么情況是我們的例子沒覆蓋到的？”任務(wù)三：借助“形式定義”理解算理教師活動：在學(xué)生驗(yàn)證熱情高漲時，教師提出更深層問題：“為什么這些例子都成立？背后有沒有更根本的道理？別忘了，分式本質(zhì)上是兩個整式相除。我們可以從這點(diǎn)出發(fā)來想一想?！币詀/b÷c/d為例，教師引導(dǎo)：根據(jù)除法的定義，a/b÷c/d就是求一個量，使得它乘以c/d等于a/b。我們可以設(shè)這個量為x，即x·(c/d)=a/b?！澳敲?，如何解這個關(guān)于x的‘方程’呢？大家結(jié)合分?jǐn)?shù)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)想想?！眴l(fā)學(xué)生兩邊同時乘以d/c來求解，從而得到x=(a/b)×(d/c)。“看，這樣我們就從除法的定義出發(fā)，自然地‘推出’了除法轉(zhuǎn)化為乘法的規(guī)則?！睂W(xué)生活動：聆聽教師的引導(dǎo)，理解從定義出發(fā)的推理視角。跟隨教師的步驟，思考如何利用等式性質(zhì)求解x。感受從“驗(yàn)證”到“說理”的思維進(jìn)階，理解法則背后的邏輯依據(jù)，而不僅僅是記憶形式。即時評價標(biāo)準(zhǔn)：1.能否跟隨教師的引導(dǎo)，理解從定義出發(fā)的推理思路。2.是否表現(xiàn)出對算理探究的興趣，而不僅僅滿足于算法結(jié)果。形成知識、思維、方法清單：★算理根源：分式的本質(zhì)與等式性質(zhì)。分式A/B可看作A÷B。除法法則“除以一個分式等于乘以它的倒數(shù)”可以通過設(shè)未知數(shù)、利用等式性質(zhì)（兩邊同乘倒數(shù)）嚴(yán)格推導(dǎo)。這賦予了法則邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，超越了經(jīng)驗(yàn)歸納?！鴮W(xué)科思想：化歸。將分式的除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，是化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡單的化歸思想典型體現(xiàn)。任務(wù)四：歸納與表述運(yùn)算法則教師活動：經(jīng)過猜想、驗(yàn)證與說理，教師邀請學(xué)生共同完成法則的正式歸納。“現(xiàn)在，我們可以自信地將黑板上的‘猜想’變成‘結(jié)論’了。誰能用最精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言，幫大家總結(jié)一下分式乘法和除法的運(yùn)算法則？”引導(dǎo)學(xué)生用文字語言和符號語言兩種方式表述。教師完善板書，并用彩筆突出“分子、分母是多項(xiàng)式時，先分解因式，后約分”的關(guān)鍵步驟提示。強(qiáng)調(diào)：“法則到手，但用好它，我們還得掌握‘說明書’——接下來的運(yùn)算程序?！睂W(xué)生活動：踴躍參與法則的歸納與表述。嘗試用“分式乘以分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母”等語言進(jìn)行概括。同時，準(zhǔn)確寫出符號表達(dá)式。聆聽教師對關(guān)鍵步驟的強(qiáng)調(diào)，做好筆記。即時評價標(biāo)準(zhǔn)：1.歸納的法則是否完整、準(zhǔn)確。2.符號表達(dá)是否規(guī)范。3.是否關(guān)注到教師強(qiáng)調(diào)的運(yùn)算關(guān)鍵步驟。形成知識、思維、方法清單：★核心知識：分式乘除法法則（符號語言）。乘法：(A/B)×(C/D)=(AC)/(BD)(B、D不為零)。除法：(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(AD)/(BC)(B、C、D不為零)。★核心程序：運(yùn)算步驟。①定符號；②除法變乘法；③對多項(xiàng)式分子、分母進(jìn)行因式分解；④約去分子與分母的公因式；⑤結(jié)果化為最簡分式或整式。任務(wù)五：典例研討與程序內(nèi)化教師活動：出示例題：計算(1)(4x3y)/(3z2)·(6z^4)/(2xy2)；(2)(a24)/(a24a+4)÷(a+2)/(a2)?！胺▌t清楚了，步驟明白了，現(xiàn)在真刀真槍試一試。請大家先獨(dú)立完成，注意每一步的規(guī)范?！毖惨曋?，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的符號處理、因式分解的準(zhǔn)確性以及約分的徹底性。選取有代表性的解答（包括正確和典型錯誤）進(jìn)行投影展示。學(xué)生活動：獨(dú)立完成兩道例題的計算。完成后，與同桌交換檢查，討論異同。觀看投影展示，對比自己的解題過程，積極辨認(rèn)正確做法，指出錯誤所在并分析原因。即時評價標(biāo)準(zhǔn)：1.解題過程是否遵循既定步驟，書寫是否規(guī)范。2.因式分解與約分是否準(zhǔn)確、徹底。3.在互評中能否清晰指出問題并提供正確思路。形成知識、思維、方法清單：★運(yùn)算規(guī)范：步驟性與整體性。展示規(guī)范的解題板演，強(qiáng)調(diào)過程完整?！湫湾e誤預(yù)警：①符號錯誤，尤其在處理負(fù)號時；②約分不全，僅約數(shù)字部分而忽略字母或因式；③對多項(xiàng)式整體性認(rèn)識不足，如將(a24)錯誤約分。教師點(diǎn)評時需重點(diǎn)剖析：“同學(xué)們看，這個錯誤是不是很像我們小時候算分?jǐn)?shù)時，把‘分子分母同除以一個數(shù)’變成了‘同時去掉相同的數(shù)字’？在分式里，我們要約去的是‘相同的整式因式’，必須先把它們‘找’出來——也就是因式分解。”任務(wù)六：辨析深化與概念辨析教師活動：提出辨析問題鏈，推動思維深化：1.“分式乘除運(yùn)算的結(jié)果一定要化成最簡形式嗎？為什么？”（強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)簡潔美和確定性）2.“計算過程中，是先約分還是先做乘法？哪種更簡便？”（引導(dǎo)學(xué)生對比體驗(yàn)，優(yōu)化策略）3.“(xy)與(yx)互為相反數(shù)，它們在約分時如何處理？”（引出符號處理技巧：提負(fù)號轉(zhuǎn)化）。組織學(xué)生簡短討論，并總結(jié)優(yōu)化策略。學(xué)生活動：思考教師提出的辨析問題，結(jié)合自己的計算經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行回答或討論。理解“先約分、后相乘”的優(yōu)化策略。掌握處理互為相反數(shù)的因式時，通過提取負(fù)號轉(zhuǎn)化為相同因式再約分的方法。即時評價標(biāo)準(zhǔn)：1.對問題的回答是否切中要害，體現(xiàn)對運(yùn)算本質(zhì)的理解。2.能否接納并應(yīng)用運(yùn)算的優(yōu)化策略。形成知識、思維、方法清單：▲優(yōu)化策略：先約分，后相乘。這可以簡化運(yùn)算過程，提高準(zhǔn)確率和效率。▲難點(diǎn)技巧：相反數(shù)因式的處理。當(dāng)分子、分母出現(xiàn)互為相反數(shù)的因式時，可通過提取負(fù)號（如：yx=(xy)）將其轉(zhuǎn)化為相同因式后再約分，同時注意符號的變化。教師可幽默提示：“這對‘雙胞胎’長得有點(diǎn)像但脾氣相反，給它們其中一個戴上個‘小帽子’（負(fù)號），就能變得一模一樣，然后愉快地‘約掉’了。”第三、當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練

設(shè)計分層訓(xùn)練體系，學(xué)生在任務(wù)單上完成?；A(chǔ)層（全員必做）：直接應(yīng)用法則的計算題，如(3a2b/5c)×(10c2/9ab3)。綜合層（多數(shù)學(xué)生完成）：分子分母為簡單多項(xiàng)式，需先分解因式，如(x29)/(x2+4x+4)÷(x3)/(x+2)。挑戰(zhàn)層（學(xué)有余力選做）：①涉及多個分式乘除的連續(xù)運(yùn)算；②與簡單實(shí)際問題結(jié)合的情境題；③開放題：自行設(shè)計兩個分式，使它們的乘積等于一個指定的整式。

反饋機(jī)制：學(xué)生完成后，開展“同伴互評”，依據(jù)步驟規(guī)范性、結(jié)果最簡化等標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行核對。教師巡視收集共性疑問，選取有代表性的解答（尤其是綜合層和挑戰(zhàn)層的不同解法）進(jìn)行投影講評。重點(diǎn)講評綜合層題目中因式分解與約分的完整性，分析挑戰(zhàn)層題目中的運(yùn)算策略。對于開放題，展示學(xué)生精彩的設(shè)計，并給予肯定：“這個設(shè)計巧妙，既用到了平方差公式，結(jié)果又簡潔，很有想法！”第四、課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化總結(jié)與元認(rèn)知反思。知識整合：“請同學(xué)們用一分鐘時間，在腦海或本子上畫一個簡單的思維導(dǎo)圖，梳理本節(jié)課我們從哪里出發(fā)，經(jīng)歷了什么，最終獲得了哪些核心成果？”邀請學(xué)生分享，教師板書關(guān)鍵詞形成網(wǎng)絡(luò)。方法提煉：“回顧探索過程，我們用了哪些‘法寶’來攻克‘分式乘除’這個新堡壘？（類比、猜想、驗(yàn)證、從定義推理、化歸）以后遇到新的運(yùn)算規(guī)則學(xué)習(xí)，你會怎么入手？”作業(yè)布置：公布分層作業(yè)（詳見第六部分），并預(yù)告下節(jié)課：“今天我們把乘除‘拆開’學(xué)會了，如果它們‘聯(lián)手’出現(xiàn)，再加上加減法，我們該如何應(yīng)對？下節(jié)課我們將進(jìn)入分式的四則混合運(yùn)算，敬請期待?！绷?、作業(yè)設(shè)計

基礎(chǔ)性作業(yè)（必做）：教材對應(yīng)章節(jié)后的基礎(chǔ)練習(xí)題，重點(diǎn)鞏固運(yùn)算法則和基本運(yùn)算步驟，確保全體學(xué)生掌握核心知識與技能。

拓展性作業(yè)（建議完成）：1.編寫一道包含兩個步驟的分式乘除混合運(yùn)算題，并給出完整解答過程。2.解決一個簡單的實(shí)際應(yīng)用問題，例如：“一塊長方形花園面積為(x24)/(x+1)平方米，寬為(x+2)/(x2)米，求它的長?！?/p>

探究性/創(chuàng)造性作業(yè)（選做）：1.探究：當(dāng)x取何值時，分式[(x+1)/(x2)]÷[(x21)/(x24)]的值為1？2.數(shù)學(xué)小論文（雛形）：以“類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的力量”為題，結(jié)合本節(jié)課及以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)（如整數(shù)運(yùn)算律推廣到有理數(shù)），談?wù)勀愕捏w會，字?jǐn)?shù)不限。七、本節(jié)知識清單及拓展

★1.分式乘法法則：分式乘以分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。符號語言：(A/B)×(C/D)=(AC)/(BD)(B≠0,D≠0)。要點(diǎn)：運(yùn)算的最終結(jié)果必須是最簡分式。

★2.分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。符號語言：(A/B)÷(C/D)=(A/B)×(D/C)=(AD)/(BC)(B≠0,C≠0,D≠0)。理解：“顛倒相乘”的本質(zhì)是乘以除式的倒數(shù)。

★3.運(yùn)算通用步驟：①確定結(jié)果的符號；②將除法運(yùn)算統(tǒng)一為乘法運(yùn)算；③對分子、分母中的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；④約去分子與分母中的所有公因式；⑤將結(jié)果寫成最簡分式或整式的形式?？谠E：“一化、二乘、三約、四簡”。

▲4.類比思想的應(yīng)用：分?jǐn)?shù)與分式在形式、基本性質(zhì)和乘除運(yùn)算上具有高度相似性。學(xué)習(xí)新知識時，主動尋找并聯(lián)系已知的類似結(jié)構(gòu)（如分?jǐn)?shù)），是高效的認(rèn)知策略。

▲5.因式分解的核心作用：在分式乘除運(yùn)算中，因式分解是將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為乘積形式的關(guān)鍵步驟，是準(zhǔn)確、徹底約分的前提。不進(jìn)行因式分解，往往無法進(jìn)行約分。

▲6.約分的本質(zhì)與限度：約分的本質(zhì)是“消去分子和分母的非零公因式”。約分必須徹底，直至分子與分母沒有公因式（1除外）。約分是對“整體因式”的操作，不能只約部分字母或數(shù)字。

▲7.相反數(shù)因式的處理技巧：若分子、分母出現(xiàn)互為相反數(shù)的因式，如(ab)與(ba)，可通過提取負(fù)號進(jìn)行轉(zhuǎn)化：ba=(ab)。約分后，注意保留負(fù)號。

▲8.運(yùn)算律的適用性：在分式乘除運(yùn)算中，乘法交換律、結(jié)合律仍然適用。這可用于簡化多個分式連乘的運(yùn)算順序。

▲9.與分?jǐn)?shù)運(yùn)算的差異意識：分式運(yùn)算最終結(jié)果的形式可能是一個多項(xiàng)式，而分?jǐn)?shù)運(yùn)算結(jié)果通常仍是一個數(shù)。同時，分式中字母的取值有更多限制（分母不為零），需時刻保持定義域意識。八、教學(xué)反思

（一）目標(biāo)達(dá)成度分析：從當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練與小結(jié)反饋來看，大部分學(xué)生能準(zhǔn)確敘述法則并完成基礎(chǔ)運(yùn)算，知識目標(biāo)基本達(dá)成。能力目標(biāo)上，通過任務(wù)一至三的完整探究鏈，學(xué)生親身經(jīng)歷了“再發(fā)現(xiàn)”的過程，類比與歸納能力得到鍛煉；但在綜合運(yùn)算中，部分學(xué)生因式分解不熟練導(dǎo)致卡殼，運(yùn)算能力的精準(zhǔn)與自動化仍需后續(xù)練習(xí)加強(qiáng)。情感與思維目標(biāo)在探究活動中有所滲透，課堂氣氛積極，學(xué)生提問“為什么可以這樣類比”正是思維深化的表現(xiàn)。

（二）環(huán)節(jié)有效性評估：導(dǎo)入環(huán)節(jié)的生活情境引發(fā)了真實(shí)興趣，成功搭建了從分?jǐn)?shù)到分式的認(rèn)知橋梁。新授環(huán)節(jié)的六個任務(wù)層層遞進(jìn)，邏輯清晰。其中，任務(wù)二（驗(yàn)證）到任務(wù)三（說理）的過渡是關(guān)鍵轉(zhuǎn)折，部分學(xué)生在此處表現(xiàn)出從“經(jīng)驗(yàn)認(rèn)