欽州市2025年秋季學期高一年級期末教學質量監(jiān)測數學（試卷滿分：150分，考試時間：120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，用0.5mm的黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，請將答題卡上交．4．本卷主要命題范圍：北師大版必修第一冊第一章至第六章、第八章．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.函數的定義域為（）A. B. C. D.2.命題“，”否定是（）．A.， B.，C.， D.，3.（）．A.2 B.1 C. D.4.函數的零點所在的區(qū)間為（）．A. B. C. D.5.已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的值為（）．A. B. C. D.6.某商場“國慶節(jié)”期間搞促銷活動，規(guī)定：如果顧客購物的總金額不超過500元，不享受折扣優(yōu)惠；如果顧客的購物總金額超過500元，那么超過500元的部分享受折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表計算．享受折扣的購物金額折扣優(yōu)惠超過500元不超過1000元的部分10％超過1000元的部分20％王先生在商場獲得的折扣優(yōu)惠金額為130元，則王先生購物實際付款（）．A.1270元 B.1440元 C.1350元 D.1250元7.已知函數圖象恒過點A，若點A在函數的圖象上，則（）．A. B. C. D.8.已知函數，若關于x的方程有3個不等的實數根，則實數t的取值范圍為（）．A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.“體育強則中國強，國運興則體育興”，為備戰(zhàn)奧運會，運動員們都在積極參加集訓．已知某射擊運動員在一次集訓中10次射擊的分數分別為：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，則這組數據的（）．A.平均數為8 B.眾數為9C.第60百分位數為8 D.方差為2.410.下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（）．A. B. C. D.11.已知，，則下列不等式恒成立的是（）．A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設集合，則集合A的真子集個數為______．13.已知冪函數，則______．14.若函數為奇函數，則的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知全集，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．16.中國AI大模型正處于一個技術進步、市場規(guī)模增長的爆發(fā)式發(fā)展階段．為了解中國AI大模型用戶的年齡分布，A公司調查了200名中國AI大模型用戶，統(tǒng)計他們的年齡（都在內），按照、、、、進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求m的值；（2）現要再對關于“AI大模型的使用體驗”進行問卷調查，如果按照年齡進行分層抽樣，要抽取一個容量為20的樣本，則年齡在內的用戶要抽取多少人？（3）估計這200名中國AI大模型用戶年齡平均數（各組數據以該組區(qū)間的中點值作代表）．17已知函數．（1）證明在上單調遞增；（2）設，若在上滿足恒成立，求實數k的取值范圍．18.已知函數為指數函數，且在定義域內單調遞增．（1）求函數的解析式；（2）若關于x方程有兩個不同的實數根，求實數k的取值范圍．19.已知函數在上的最大值與最小值之和為3．（1）求a的值；（2）求的解集；（3）若函數的圖象經過點，求．欽州市2025年秋季學期高一年級期末教學質量監(jiān)測數學（試卷滿分：150分，考試時間：120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，用0.5mm的黑色字跡簽字筆將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，請將答題卡上交．4．本卷主要命題范圍：北師大版必修第一冊第一章至第六章、第八章．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數解析式有意義可得出關于的不等式組，即可解得函數的定義域.【詳解】對于函數，有，解得且，故函數的定義域為.故選：B.2.命題“，”的否定是（）．A， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】利用存在量詞命題的否定直接判斷得解.【詳解】命題“，”是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以所求否定是：，.故選：A3.（）．A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據對數運算法則即可求解.【詳解】.故選：D.4.函數的零點所在的區(qū)間為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據給定條件，利用零點存在性定理直接判斷即可.【詳解】函數在R上單調遞增，，所以函數的零點所在的區(qū)間為.故選：D5.已知關于x的一元二次不等式的解集為，則的值為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得和為二次函數的兩個根，分別代入二次函數后聯立即可求解.【詳解】設，由題意得和為的兩個根，則有：，即，，即，聯立，解得，故.故選：C.6.某商場“國慶節(jié)”期間搞促銷活動，規(guī)定：如果顧客購物的總金額不超過500元，不享受折扣優(yōu)惠；如果顧客的購物總金額超過500元，那么超過500元的部分享受折扣優(yōu)惠，折扣優(yōu)惠按下表計算．享受折扣的購物金額折扣優(yōu)惠超過500元不超過1000元的部分10％超過1000元的部分20％王先生在商場獲得的折扣優(yōu)惠金額為130元，則王先生購物實際付款（）．A.1270元 B.1440元 C.1350元 D.1250元【答案】A【解析】【分析】設顧客購物總金額為元，求出購物優(yōu)惠金額的函數關系，再由給定條件求得答案.【詳解】設顧客購物總金額為元，購物實際付款為元，當時，；當時，，優(yōu)惠金額；當時，，優(yōu)惠金額為，而王先生在商場獲得的折扣優(yōu)惠金額為130元，，因此，解得，所以王先生購物實際付款（元）.故選：A7.已知函數的圖象恒過點A，若點A在函數的圖象上，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得真數時有定點，求出定點的坐標后代入到即可求.【詳解】若過定點，則有，即，又，故，點在函數的圖象上，則有，解得.故選：C.8.已知函數，若關于x方程有3個不等的實數根，則實數t的取值范圍為（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出分段函數的圖象，因為有3個不等的實數根，故直線與的圖象有3個交點，進而可得實數t的取值范圍.【詳解】當時，，當時，是開口向下，對稱軸為的二次函數，最大值在時取，即最大值為2，=1，則的圖象如下：若使有3個不等的實數根，則與的圖象有2個交點，且與的圖象有1個交點，此時有，綜上，實數t的取值范圍為，故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.“體育強則中國強，國運興則體育興”，為備戰(zhàn)奧運會，運動員們都在積極參加集訓．已知某射擊運動員在一次集訓中10次射擊的分數分別為：5，6，7，8，9，9，8，8，10，10，則這組數據的（）．A.平均數為8 B.眾數為9C.第60百分位數為8 D.方差為2.4【答案】AD【解析】【分析】將10次射擊的分數由小到大排列，依次求出平均數、眾數、第60百分位數、方差并判斷.【詳解】10次射擊的分數由小到大排列為：5，6，7，8，8，8，9，9，10，10，對于A，平均數，A正確；對于B，眾數為8，B錯誤；對于C，由，得第60百分位數，C錯誤；對于D，方差為，D正確.故選：AD10.下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（）．A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用函數解析式直接確定單調性即可.【詳解】對于A，函數在上單調遞增，A是；對于B，函數在上單調遞減，B不是；對于C，函數在上單調遞增，C是；對于D，函數在上單調遞減，D不是.故選：AC11.已知，，則下列不等式恒成立的是（）．A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】使用基本不等式計算選項，C選項額外使用1的代換，D選項額外使用換元法即可.詳解】對于A：，由基本不等式得，故，當且僅當時等號成立，故A錯誤；對于B：由基本不等式得，當且僅當時等號成立，故B正確；對于C：，當且僅當時等號成立，故C正確；對于D：由題意得，則，當且僅當時等號成立，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設集合，則集合A的真子集個數為______．【答案】15【解析】【分析】先將集合用列舉法表示，再使用子集計算公式結合真子集的概念即可求解.【詳解】由題意得集合，共有4個元素，所以集合A的子集有個，真子集需除去集合本身，故集合A的真子集個數為15個.故答案為：15.13.已知冪函數，則______．【答案】8【解析】【分析】利用冪函數的定義求出解析式，進而求出函數值.【詳解】由冪函數，得，解得，，所以.故答案為：814.若函數為奇函數，則的值為______．【答案】0【解析】【分析】使用奇函數定義即可解的值，進而求得的值.【詳解】若為奇函數，則有，，，則有，即，整理得，則，解得，當時，，令，解得或，此時定義域為關于原點對稱，符合為奇函數，故符合題意.故.故答案為：0四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.已知全集，集合，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入到集合，再結合交集的運算即可求解；（2）由題意得是集合的真子集，結合集合間的關系計算即可求出a的取值范圍.【小問1詳解】若，則，則有.【小問2詳解】由“”是“”的充分不必要條件，得集合是集合的真子集，即，解得，故實數的取值范圍是.16.中國AI大模型正處于一個技術進步、市場規(guī)模增長的爆發(fā)式發(fā)展階段．為了解中國AI大模型用戶的年齡分布，A公司調查了200名中國AI大模型用戶，統(tǒng)計他們的年齡（都在內），按照、、、、進行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求m的值；（2）現要再對關于“AI大模型的使用體驗”進行問卷調查，如果按照年齡進行分層抽樣，要抽取一個容量為20的樣本，則年齡在內的用戶要抽取多少人？（3）估計這200名中國AI大模型用戶年齡的平均數（各組數據以該組區(qū)間的中點值作代表）．【答案】（1）（2）8人（3）歲【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖得所有矩形面積和為1，即可計算的值；（2）先計算年齡在內的頻率，進而可估計樣本中年齡在內的人數；（3）由頻率分布直方圖計算平均數，取各區(qū)間中點值乘以頻率后再相加即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得所有矩形面積和為1，即，解得【小問2詳解】年齡在內的頻率為，則抽取的樣本中該區(qū)間人數為人.【小問3詳解】設這200名中國AI大模型用戶年齡的平均數為，由頻率分布直方圖計算平均數，即.故這200名中國AI大模型用戶年齡的平均數為歲17.已知函數．（1）證明在上單調遞增；（2）設，若在上滿足恒成立，求實數k的取值范圍．【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據增減性定義，設出，求證即可證明在上單調遞增；（2）由題意得，結合二次函數的圖象與性質即可求得，進而得到實數k的取值范圍.【小問1詳解】，設，則，易得，故，即當時，，，所以在上單調遞增.【小問2詳解】由在恒成立，則有當時，，，易得是開口向上的二次函數，對稱軸為，故在上單調遞增，所以，即，故實數k的取值范圍是18.已知函數為指數函數，且在定義域內單調遞增．（1）求函數的解析式；（2）若關于x的方程有兩個不同的實數根，求實數k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由是指數函數可得其系數為1，結合單調遞增即可求的值；（2）設，原式轉化為二次函數，由題意得有兩個正實數根，進而可求k的取值范圍.【小問1詳解】由函數為指數函數得，解得或，因為在定義域內單調遞增，有，故，故的解析式為.【小問2詳解】設，原式轉化為，則有，若方程有兩個不同的實數根，單調遞增，且，所以有兩個不