第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.3.2對數(shù)的運(yùn)算

一、教學(xué)目標(biāo)理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的化簡和證明.能熟練應(yīng)用換底公式進(jìn)行化簡和計(jì)算.能理解、應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對實(shí)際問題進(jìn)行分析，提升數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：準(zhǔn)確運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算、求值、化簡，并掌握化簡求值.難點(diǎn)：能根據(jù)指對數(shù)的互化推導(dǎo)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式.

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境回顧：前面的學(xué)習(xí)，我們知道了指對數(shù)互化，你們來說一說？（學(xué)生討論）接著我們研究了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).答：指數(shù)式與對數(shù)式的互化：ax=N?x=loga

N指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：（1）a（2）a（3）ab想一想：引入對數(shù)之后，自然應(yīng)研究對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).師生活動(dòng)：師生互動(dòng)，生生討論、交流；師揭示課題.設(shè)計(jì)意圖：教師以回顧引發(fā)學(xué)生思考，從指數(shù)與對數(shù)之間的關(guān)系、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)中，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、沿著同樣的學(xué)習(xí)路徑研究對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以此順利揭示本節(jié)課題.（二）探究新知任務(wù)1：探究對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).思考：計(jì)算下面兩組式子，判斷他們有什么關(guān)系？

（1）lg（100×110×1）lg100+lg1師生活動(dòng)：1.先獨(dú)立計(jì)算；2.小組內(nèi)交流討論；3.以小組為單位進(jìn)行匯報(bào).提示：嘗試從計(jì)算結(jié)果出發(fā)，能否發(fā)現(xiàn)他們之間的關(guān)系呢？總結(jié)：當(dāng)?shù)讛?shù)相同的時(shí)候，兩個(gè)正數(shù)的對數(shù)之和等于兩個(gè)正數(shù)積的對數(shù).各抒已見：我們能否利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)得出相應(yīng)的對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)呢？提示：從指數(shù)冪運(yùn)算的角度進(jìn)行推導(dǎo).答：設(shè)M=am，N=an，因?yàn)閍m根據(jù)對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系可得logaM=m故loga思考：此推導(dǎo)方法是從指數(shù)冪運(yùn)算的角度出發(fā)，還有其他推導(dǎo)方法嗎？提示：從對數(shù)運(yùn)算的角度進(jìn)行推導(dǎo).答：設(shè)m=logaM，n=logaN，即所以loga(MN)=m+n思考：仿照上述過程，根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)ar÷as=師生活動(dòng):1.先獨(dú)立思考2分鐘;2.小組內(nèi)交流討論;3.以小組為單位進(jìn)行匯報(bào);4.師小結(jié).答：1.已知x=logaN，a因?yàn)閍m÷alogaM=m，loga2.已知x=logaN因?yàn)閍mn=amn，所以因?yàn)閙=logaM總結(jié)：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么（1）loga(MN)=任務(wù)2：探究對數(shù)的換底公式.思考：解決下列問題，嘗試?yán)斫鈱?shù)的換底公式.(1)利用計(jì)算工具求ln2,(2)根據(jù)對數(shù)的定義，你能利用ln2,ln3(3)根據(jù)對數(shù)的定義，你能用logca，logcb表示logab(a>0，且?guī)熒顒?dòng)：1.先獨(dú)立思考2分鐘;2.小組內(nèi)交流討論;3.以小組為單位進(jìn)行匯報(bào);4.師小結(jié).答：（1）ln2≈0.6931，（2）設(shè)log23=x，則2x=3，ln2x（3）設(shè)logab=x，則ax=b，于是logca總結(jié)：對數(shù)換底公式:logab=公式意義：在于改變對數(shù)式的底數(shù)，把不同的底數(shù)問題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)問題后求解.任務(wù)3：探究對數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.思考：在4.2.1的問題1中，求經(jīng)過多少年B地景區(qū)的游客人次是2001年的2倍.師生活動(dòng):1.先獨(dú)立思考;2.小組內(nèi)交流討論;3.以小組為單位進(jìn)行匯報(bào);4.師小結(jié).答：因?yàn)閥=1.11x所以x=利用計(jì)算工具，可得x=由此可得，大約經(jīng)過7年，B地景區(qū)的游客人次就達(dá)到2001年的2倍.設(shè)計(jì)意圖：通過三個(gè)任務(wù)，加深對對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的理解與應(yīng)用，探究任務(wù)設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，由淺入深.在思考和啟發(fā)中滲透知識(shí)的學(xué)習(xí)，在合作與討論中加深進(jìn)行思維的深加工.以此突破本節(jié)課的重難點(diǎn).（三）應(yīng)用舉例例1利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解決下列問題.（1）求值：lg3100（2）用logax、log解：（1）lg（2）logaxyz=例2利用換底公式化簡下列各式.（1（2解：（1）原式=（2）原式

==總結(jié)：一般思路：1.先用對數(shù)的運(yùn)算法則、性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算，再化成同底對數(shù)運(yùn)算化簡.2.一次性統(tǒng)一換成常用對數(shù)（或自然對數(shù)），再化簡、計(jì)算.例3盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE答：設(shè)里氏9.0級(jí)和8.0級(jí)地震的能量分別為E1和E2.由

lgE1=4.8+1.5×9.0lg利用計(jì)算工具可得，E雖然里氏9.0級(jí)地震與里氏8.0級(jí)地震僅相差1級(jí)，但前者釋放出來的能量卻是后者的約32倍.思考：為什么兩次地震的里氏震級(jí)僅差1級(jí)，而釋放的能量卻相差那么多呢？答：地震中能量是很大的數(shù)值，進(jìn)行對數(shù)運(yùn)算后，其數(shù)值就變得非常小.這其實(shí)相當(dāng)于把指數(shù)冪運(yùn)算中冪的結(jié)果反映在指數(shù)上.以10為底的指數(shù)冪運(yùn)算中，10x+1=10?10設(shè)計(jì)意圖：通過例題講解，引導(dǎo)學(xué)生思考在實(shí)際應(yīng)用中，更好的理解和應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).（四）課堂練習(xí)1.已知3a=4，b=log39A.9 B.2 C.169 D.答：因?yàn)?a=4，所以log所以a+b=log34+lo2.17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法是把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.已知lg?2≈0.3010，lg?3≈0.4771，設(shè)N=45×27A.(1015,1016) B.(答：lgN=lg(45×273.科學(xué)記數(shù)法是一種記數(shù)的方法.把一個(gè)數(shù)x表示成a與10的n次冪相乘的形式，其中1≤a<10，n∈N表示整數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，lgx=n+lga.若一個(gè)正整數(shù)m的16次方是12位數(shù)，則m是(????)(參考數(shù)據(jù)：lgA.4 B.5 C.6 D.7答：由題意可設(shè)lgm16=n+lga，因?yàn)檎麛?shù)m的16次方是12位數(shù)，所以n=11，所以16lgm=11+lga，因?yàn)?≤a<10，所以0≤lga<1，所以11≤164.下列等式恒成立的是(

)A.a2=a(a∈R) B.a?答：A．a(chǎn)B.a?C.如：a=1,b=3，log2(a+b)=logD.lna?故選：BD．5.已知a>1，b>1，ab=4，則log2a?log2b答：log2a·log2blog22a=log2a·log2b1+log2a=log6.化簡求值(需要寫出計(jì)算過程)(1)若100a=4，1(2)8(3)若lgx?y+lg答：(1)100a=4?alg100=lg4?2a=lg4，10b=25?b=lg25，得2a+b=lg4+lg25=lg100=2；

(2)原式=(23)3×(?23)+