第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解

一、教學(xué)目標(biāo)1.了解利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似解的原理，能借助計(jì)算工具用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值；2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解；3.了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展過(guò)程中的作用，形成正確的數(shù)學(xué)觀，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：二分法的原理，用二分法求方程的近似解的一般步驟.難點(diǎn)：對(duì)利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的原理及精確度的理解.

三、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境情境一：復(fù)習(xí)回顧師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容，并引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下回顧舊知.思考1：函數(shù)零點(diǎn)的概念是什么？函數(shù)零點(diǎn)是不是一個(gè)點(diǎn)？答：把使函數(shù)f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是實(shí)數(shù)x的值.思考2：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系是什么？怎樣求函數(shù)的零點(diǎn)？答：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求函數(shù)的零點(diǎn)即求函數(shù)值為0時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值，也就是說(shuō)，求函數(shù)的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)方程的解.思考3：函數(shù)零點(diǎn)存在定理的內(nèi)容是什么？答：函數(shù)零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.思考4：求函數(shù)零點(diǎn)的常用數(shù)學(xué)思想方法有哪些？答：轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等.情境二：?jiǎn)栴}引入問(wèn)題1：函數(shù)f(x)=ln答：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷.由定理可知，f(2)=ln2?2<0，f(3)=ln3>0，f(2)f(3)<0且函數(shù)f(x)在問(wèn)題2：你能求方程lnx+2x?6=0師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單判斷，思考，教師補(bǔ)充.答：不能.因?yàn)榇蠖鄶?shù)方程都不能像一元二次方程那樣用公式求出精確解，在實(shí)際問(wèn)題中，往往只需求出滿足一定精確度的近似解即可.比如當(dāng)精確度為ε時(shí)，只需近似值與精確值差的絕對(duì)值小于ε即可.聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，能否利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)來(lái)求它的近似解？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)從學(xué)生熟悉的求方程的解入手，復(fù)習(xí)鞏固舊知，并引出如何求不易求解的方程的近似解的話題，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望.（二）探究新知任務(wù)1：探究二分法求方程近似解的原理.根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).從而，求方程lnx+2x?6=0的解?求函數(shù)f(x)=探究：根據(jù)已知精確度求方程lnx+2x?6=0思考1：誤差與精確度的含義是什么？答：一般地，誤差是指近似值（或測(cè)量值）與準(zhǔn)確值之間的差異.近似數(shù)的誤差不超過(guò)某個(gè)數(shù)，就說(shuō)它的精確度是多少，即設(shè)x0為準(zhǔn)確值，x為x0的一個(gè)近似值，若x?x0<ε，則x思考2：當(dāng)精確度為0.5時(shí)，你能得到函數(shù)f(x)=lnx+2x?6師生活動(dòng)：學(xué)生自主探究，教師評(píng)價(jià).答：零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)，數(shù)軸上2和3之間的距離為1，它們的中點(diǎn)與零點(diǎn)的距離一定小于0.5，因此精確度為0.5時(shí)，可以取2.5作為一個(gè)零點(diǎn)的近似值.教師給出區(qū)間的中點(diǎn)的定義：一般地，稱x=a+b2為區(qū)間思考3：當(dāng)精確度為0.5時(shí)，3可以看做零點(diǎn)的一個(gè)近似值嗎？為什么？答：零點(diǎn)是在2,2.5內(nèi)，還是在2.5,3內(nèi)？這時(shí)要考慮f(2)f(2.5)，f(2.5)f(3)的符號(hào).由計(jì)算工具得f(2.5)≈?0.084，由f(2.5)f(3)<0可知，零點(diǎn)在區(qū)間2.5,3內(nèi)，由數(shù)軸上2.5和3之間的距離為0.5可知，零點(diǎn)和3之間的距離小于0.5，因此，3可以看做零點(diǎn)的一個(gè)近似值.思考4：當(dāng)精確度縮小到0.01時(shí)，為了得到函數(shù)零點(diǎn)的近似解，至少需要將零點(diǎn)所在的區(qū)間縮小到什么程度？你將采取怎樣的辦法逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間？師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師點(diǎn)評(píng).答：當(dāng)精確度縮小到0.01時(shí)，長(zhǎng)度小于0.01的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)都可以是零點(diǎn)的近似值，為此至少需要將存在零點(diǎn)的區(qū)間長(zhǎng)度縮小到小于0.01.與上述問(wèn)題類似的方法，通過(guò)重復(fù)計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值乘積的符號(hào)，將零點(diǎn)所在區(qū)間逐次減半，達(dá)到縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的目的.具體過(guò)程如下：取區(qū)間(2,3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算工具算得f(2.5)≈?0.084.因?yàn)閒(2.5)f(3)<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5,3)內(nèi).再取區(qū)間(2.5,3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算工具算得f(2.75)≈0.512.因?yàn)閒(2.5)f(2.75)<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5,2.75)內(nèi).由于(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75)，所以零點(diǎn)所在的范圍變小了.如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在的范圍會(huì)越來(lái)越小，直到區(qū)間長(zhǎng)度小于0.01為止(如下表和下圖).思考5：根據(jù)表格，請(qǐng)給出函數(shù)f(x)=lnx+2x?6在精確度為0.01答：通過(guò)有限次重復(fù)相同的步驟，將零點(diǎn)所在范圍縮小到滿足一定精確度的區(qū)間，區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)都可以作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值.為了方便，我們把區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.如，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，因?yàn)閨2.5390625?2.53125|=0.0078125<0.01，所以區(qū)間(2.53125，2.5390625)內(nèi)任意一點(diǎn)都可以作為零點(diǎn)的近似值，也可以將x=2.53125作為函數(shù)f(x)=lnx+2x?6零點(diǎn)的近似值設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求函數(shù)f(x)=lnx+2x?6的零點(diǎn)任務(wù)2：二分法的定義探究1：在“任務(wù)一”中，用怎樣的方法求函數(shù)f(x)=ln師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)二分法進(jìn)行辨析、理解，然后在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，并歸納總結(jié)出二分法的定義.答：通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)=ln概念的形成：二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=fx二分法是求方程近似解的常用方法.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歸納總結(jié)形成二分法的定義.任務(wù)3：探究用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一般步驟師生活動(dòng)：教師出示問(wèn)題，學(xué)生自主探究.探究：根據(jù)求函數(shù)f(x)=lnx+2x?6零點(diǎn)的近似值的過(guò)程，你能提煉出給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y=fx答：回顧求函數(shù)f(x)=ln1.確定初始區(qū)間：由f(2.5)f(3)<0，得到函數(shù)f(x)=lnx+2x?6的零點(diǎn)所在區(qū)間2.不斷縮小區(qū)間：通過(guò)重復(fù)計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)和端點(diǎn)函數(shù)值乘積的符號(hào)，將零點(diǎn)所在的區(qū)間逐次減半地縮小，具體可分解為如下步驟：（1）計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)；（2）計(jì)算中點(diǎn)函數(shù)值；（3）計(jì)算區(qū)間中點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值乘積的符號(hào)；（4）確定零點(diǎn)所在區(qū)間.3.重復(fù)操作，得到近似值：當(dāng)零點(diǎn)所在區(qū)間的長(zhǎng)度小于精確度的范圍，把區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.思考1：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，實(shí)質(zhì)上就是通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法，運(yùn)用逼近思想逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間，周而復(fù)始怎么辦？你能給出一個(gè)停下來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)嗎？答：為了刻畫(huà)與準(zhǔn)確值的接近程度，這里給出了精確度ε，由|a?b|<ε可知，區(qū)間[a,b]中任意一個(gè)值都是零點(diǎn)x0滿足精確度思考2：根據(jù)上面求函數(shù)f(x)=ln總結(jié)：給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)x0（1）確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0（2）求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.（3）計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：①若f(c)=0（此時(shí)x0=c），則②若f(a)f(c)<0（此時(shí)x0∈a,c），③若f(c)f(b)<0（此時(shí)x0∈c,b），（4）判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a?b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)~(4)說(shuō)明：教師著重要講解零點(diǎn)所在區(qū)間的歸屬條件，避免學(xué)生出現(xiàn)區(qū)間選擇上的錯(cuò)誤，明確精確度的概念和判斷方法，即“算法”結(jié)束的條件.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)由特殊到一般，歸納總結(jié)利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).（三）應(yīng)用舉例例1：借助信息技術(shù)，用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精確度為師生活動(dòng)：教師出示例題，學(xué)生按用二分法求方程的近似解的一般步驟進(jìn)行求解，并借助信息技術(shù)畫(huà)出函數(shù)圖象進(jìn)行檢驗(yàn).教師提醒學(xué)生注意精確度的要求.解：原方程即2x+3x?7=0，令f(x)=2x+3x?7x012345678y?6?2310214075142273觀察圖象或表格，可知f(1)f(2)<0，說(shuō)明該函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)x0.取區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x1=?1.5，用信息技術(shù)算得f(1.5)≈0.33.因?yàn)閒(1)f(1.5)<0，所以x0∈(1,1.5)．

再取區(qū)間(1,1.5)的中點(diǎn)x2=1.25，用信息技術(shù)算得f(1.25)≈?0.87.因?yàn)閒(1.25)f(1.5)<0，所以x0∈(1.25,1.5)．

同理可得，x0∈(1.375,1.5)，設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉利用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟.說(shuō)明：用二分法求方程的近似解，計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟.因此，可以通過(guò)設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助信息技術(shù)完成計(jì)算.下圖就是表示二分法求方程近似解過(guò)程的程序框圖，有興趣的同學(xué)，可以在此基礎(chǔ)上用相關(guān)的算法語(yǔ)言編寫(xiě)程序，利用信息技術(shù)求方程的近似解.例2：求方程lg?x=3?x的近似解．(精確到

分析：作出y=lg

x，y=3?x的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx=3?x有唯一解，記為x0解：作出y=lgx，可以發(fā)現(xiàn)，方程lg

x=3?x有唯一解，記為x0，并且解在區(qū)間(2,3)內(nèi)．

設(shè)f(x)=lg

x+x?3，用計(jì)算器計(jì)算得

f(2)<0，f(3)>0?x0∈(2,3)；

f(2.5)<0，f(3)>0?x0∈(2.5,3)；

f(2.5)<0，f(2.75)>0?x0∈(2.5,2.75)；

f(2.5)<0，f(2.625)>0?x0∈(2.5,2.625)；

f(2.5625)<0，f(2.625?)>0?x0∈(2.5625,2.625)；總結(jié)：用二分法求方程的近似解應(yīng)明確兩點(diǎn)：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的解得關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)與求相應(yīng)的解是等價(jià)的.求方程f(x)=0求形如f(x)=gx的方程的近似解，可以通過(guò)移項(xiàng)轉(zhuǎn)化成形如例3：已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0.2,0.6)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，如果用二分法求這個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確度為0.01)，求應(yīng)將區(qū)間(0.2,0.6)至少等分的次數(shù)．解：設(shè)等分的次數(shù)為n，則由12n0.2?0.6=0.42n總結(jié)：一般地，若連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，則利用二分法求零點(diǎn)的近似解，至少需要等分的次數(shù)n與精確度ε的關(guān)系滿足：12設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)精確度的理解，明確二分次數(shù)與精確度的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括思維的核心素養(yǎng).（四）課堂練習(xí)1.下列選項(xiàng)中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)近似值的是(

)A. B. C. D.

解：由圖象可知，B中圖象的零點(diǎn)是不變號(hào)零點(diǎn)，

其它圖象中零點(diǎn)都是變號(hào)零點(diǎn)，

故B不能用二分法求零點(diǎn)近似值．

故選B．2.已知函數(shù)f(x)=x3+2x?9在(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且求得x121.51.751.76561.75781.7617f(x)?63?2.625?0.140630.035181?0.05304?0.0088要使f(x)零點(diǎn)的近似值精確度為0.01，則對(duì)區(qū)間(1,2)的最少等分次數(shù)和近似解分別為(

)A.6次

1.75 B.6次

1.76 C.7次

1.75 D.7次

1.76

解：由表格數(shù)據(jù)，零點(diǎn)區(qū)間變化如下：

(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)

→(1.75,1.8125)→(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656)，

此時(shí)區(qū)間長(zhǎng)度小于0.01，在此區(qū)間內(nèi)取近似值，等分了7次，近似解取1.76．

故選：D．3.若用二分法求方程2x3+3x?3=0在初始區(qū)間0,1內(nèi)的近似解，第一次取區(qū)間的中點(diǎn)為x1=12，那么第三次取區(qū)間的中點(diǎn)為x3=

．

解：令f(x)=2x3+3x?3，

由f(0)=?3<0，f(1)=2>0，f(12)=?54<0，

由f(12)f(1)<0知方程的根所在區(qū)間為(12,1)，則x24.借助信息技術(shù)，用二分法求方程x=3?lgx在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解(精確度為0.1)．解：原方程可轉(zhuǎn)化為x+lgx?3=0，令f(x)=x+lgx?3，用計(jì)算器算得f(2)≈?0.70，f(3)≈0.48，于是f(2)?f(3)<0，所以這個(gè)方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)有解。

易知f(x)在區(qū)間(2,3)上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

下面用二分法求方程x=3?