黑龍江省普通高等學(xué)校2026屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長為2的等邊三角形，是底面圓的內(nèi)接正三角形．則（）A. B.C. D.2．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點(diǎn)，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面4．經(jīng)過點(diǎn)，且被圓所截得的弦最短時(shí)的直線的方程為（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°6．函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.7．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.18．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)9．過拋物線C：的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10．甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.9811．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，，其中，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為________14．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________15．已知拋物線：，過焦點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，，在的準(zhǔn)線上的投影分別為，兩點(diǎn)，則__________.16．甲、乙兩名學(xué)生通過某次聽力測試的概率分別為和，且是否通過聽力測試相互獨(dú)立，兩人同時(shí)參加測試，其中有且只有一人能通過的概率是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）設(shè)，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍18．（12分）年世界人工智能大會(huì)已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會(huì)展示項(xiàng)目的啟發(fā)，會(huì)后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個(gè)信號源相距米，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與直線的夾角為，機(jī)器貓?jiān)谥本€上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡始終滿足：接收到點(diǎn)的信號比接收到點(diǎn)的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）.在時(shí)刻時(shí)，測得機(jī)器鼠距離點(diǎn)為米.（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；（2）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？19．（12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的圖像在處的切線與直線平行，求函數(shù)的解析式；（2）若，求在上的最大值和最小值.21．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的上頂點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)①求證：；②設(shè)OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值22．（10分）如圖①，直角梯形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，如圖②，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先求出，再利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積計(jì)算求解.【詳解】解：由題得,,故選：B2、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B3、D【解析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)；利用面面垂直的判定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，平面，平面，平面，若平面，因?yàn)椋瑒t平面平面，事實(shí)上，平面與平面相交，假設(shè)不成立，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，而過點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，，，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面平面，D對.故選：D.4、C【解析】當(dāng)是弦中點(diǎn)，她能時(shí)，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據(jù)題意，圓心為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，點(diǎn)被圓所截得的弦最短，此時(shí)，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關(guān)鍵5、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D6、A【解析】利用基本不等式可得，進(jìn)而可得，即求.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，∴，，∴.故選：A.7、D【解析】由雙曲線的性質(zhì)，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因?yàn)椋?，解得：，又，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線基本性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出的齊次方程，通過等式兩邊同時(shí)除以，進(jìn)而得到關(guān)于的方程.8、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對A，如果三點(diǎn)在同一條直線上，則不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對B，如果這個(gè)點(diǎn)在這條直線上，就不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；對C，兩條平行直線確定一個(gè)平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個(gè)平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，C正確；對D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面，也可確定三個(gè)平面，故D錯(cuò)誤.故選：C9、D【解析】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準(zhǔn)線方程可得，將問題轉(zhuǎn)化為對任意點(diǎn)恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)由題意，拋物線C的準(zhǔn)線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點(diǎn)恒成立，也就是對任意點(diǎn)恒成立因?yàn)椋?，則，即對任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點(diǎn)睛】一般表示拋物線的切線方程時(shí)可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計(jì)算.10、A【解析】依據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A11、C【解析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得故選：C12、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或?yàn)檎龜?shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時(shí)，最小，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，最大，最大，此時(shí)，所以，此時(shí)綜上：的最大值為20故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.14、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.15、【解析】設(shè)，則，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理即得.【詳解】由拋物線：可知?jiǎng)t焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴過焦點(diǎn)且斜率為的直線方程為,化簡可得，設(shè)，則，由可得，所以則故答案為：16、##0.5【解析】分兩種情況，結(jié)合相互獨(dú)立事件公式即可求解.【詳解】記甲，乙通過聽力測試的分別為事件，則可得，兩人有且僅有一人通過為事件，故所求事件概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.（3）應(yīng)用錯(cuò)位相減法求得，由題設(shè)有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，可得，∴是首項(xiàng)、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設(shè)，，∴，則，∴，由對一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴當(dāng)為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當(dāng)為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.18、（1）；（2）沒有.【解析】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點(diǎn)坐標(biāo).（2）轉(zhuǎn)化機(jī)器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時(shí)，平行線間的距離，設(shè)的方程為，與雙曲線聯(lián)立，求出的值，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，、，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為：（，），則、、，則的軌跡方程為：（），時(shí)刻時(shí)，，即，可得機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為；（2）由題意，直線，設(shè)直線的平行線的方程為，聯(lián)立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)即為雙曲線右支上距離最近的點(diǎn)，此時(shí)與的距離為，即機(jī)器鼠距離最小的距離為，則機(jī)器鼠保持目前運(yùn)動(dòng)軌跡不變，沒有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).19、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值.（2）【解析】（1）由當(dāng)，得到，求導(dǎo)，再由，求解；（2）將，轉(zhuǎn)化為成立，令，求其最大值即可.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，取得極小值是，無極大值.【小問2詳解】因?yàn)?，即成?設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.20、（1）（2），【解析】（1）根據(jù)平行關(guān)系得到切線斜率，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，列出方程，求出，進(jìn)而得到函數(shù)解析式；（2）先由求出，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性和最值.【小問1詳解】，.由題意得：，解得：.，【小問2詳解】，則，解得，，，當(dāng)，解得：，即函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)，解得：或，即函數(shù)分別在，遞增.又，，，，，.21、（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及過點(diǎn)求出求解即可；（2）①設(shè)直線l的方程為，利用向量的數(shù)量積計(jì)算證明即可；②設(shè)直線CD方程為，利用求出，再由點(diǎn)O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①證明：設(shè)，，依題意，直線l斜率存在，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，所以，又因?yàn)椋?，因此，②證明：設(shè)，，設(shè)直線CD方程為，因?yàn)椋?，則，聯(lián)立，得當(dāng)時(shí)，，則所以，即滿足則，即為定值22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，，，易證，再根據(jù)平面平面，，得到平面，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可；（2）根據(jù)（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直