2026屆內(nèi)蒙古烏蘭察布市集寧區(qū)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則（）A.1 B.2C.3 D.53．由1，2，3，4，5五個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中1與2不能相鄰的排法總數(shù)為（）A.20 B.36C.60 D.724．已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.5．下列說法中正確的是（）A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱臺的所有側(cè)棱延長后交于一點C.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形D.正棱錐的各條棱長都相等6．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.28．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離9．在正方體中，，則（）A. B.C. D.10．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點、，則的面積的最大值為___________.14．已知不等式有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的范圍為___________15．已知，，若，則______16．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，若，且，則的長為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）令，求函數(shù)的零點；（2）令，求函數(shù)的最小值.18．（12分）為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？（2）若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（3）樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)是多少？（4）第三組的頻數(shù)是多少？19．（12分）已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，過的直線交橢圓E于A，B兩點．當(dāng)軸時，（1）求橢圓E的方程；（2）求的范圍20．（12分）設(shè)命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.21．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點，點在直線上，且.（1）證明：無論取何值，總有；（2）是否存在點，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由.22．（10分）求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；（2）焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.2、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，以及運算法則，即可求解.【詳解】，，所以，所以故選：C3、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個位置上選2個排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個位置上選2個排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數(shù)為種，故選：D.4、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A5、B【解析】根據(jù)棱柱、棱臺、球、正棱錐結(jié)構(gòu)特征依次判斷選項即可.【詳解】棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，A不正確；棱臺是由對應(yīng)的棱錐截得的，B正確；不是所有幾何體的表面都能展開成平面圖形，例如球不能展開成平面圖形，C不正確；正棱錐的各條棱長并不是都相等，應(yīng)該為正棱錐的側(cè)棱長都相等，所以D不正確.故選：B.6、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.7、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導(dǎo)致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.8、C【解析】分別求出兩圓的圓心、半徑，再求出兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓，即的圓心，半徑，則，即有，所以圓與圓外切.故選：C9、A【解析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，而，所以有，故選：A10、A【解析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.11、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，于是得：，即，所以曲線在點處的切線方程為.故選：A12、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計算即可作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，所以該雙曲線的實軸長為2.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析可知點、關(guān)于原點對稱，可知當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值.【詳解】橢圓中，，，則，則，由題意可知，、關(guān)于原點對稱，當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.14、【解析】參變分離后研究函數(shù)單調(diào)性及極值，結(jié)合與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值大小關(guān)系求出實數(shù)a的范圍.【詳解】整理為：，即函數(shù)在上方及線上存在兩個整數(shù)點，，故顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值為：，，，，顯然有，要恰有兩個整數(shù)點，則為0和1，此時，解得：，如圖故答案為：15、【解析】根據(jù)空間向量垂直得到等量關(guān)系，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：故答案為：16、【解析】因為，所以，即，故三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解，再對a分類討論，即得函數(shù)的零點；（2）令，可得，得，再對二次函數(shù)的對稱軸分三種情況討論得解.【詳解】（1）由，可知函數(shù)零點的個數(shù)，就是方程的解的個數(shù)，顯然是方程的一個解；當(dāng)時,方程可化為，得，由函數(shù)單調(diào)遞增，且值域為，有下列幾種情況如下:①當(dāng)時，方程沒有根，可得函數(shù)只有一個零點；②當(dāng)時，方程的根為，可得函數(shù)只有一個零點；③當(dāng)且時，方程的根為，由，可得函數(shù)有兩個零點和；由上知，當(dāng)或時，函數(shù)的零點為；當(dāng)且時，數(shù)的零點為和.（2）令，可得，由，，可得，二次函數(shù)的對稱軸為，①當(dāng)時，即，此時函數(shù)的最小值為；②當(dāng)時，即，此時函數(shù)的最小值為；③當(dāng)，即，此時函數(shù)最小值為.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點問題，考查指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）0.08，150；（2）88%；（3）18；（4）51.【解析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計算（1），（2），由公式直接計算可得（1）中樣本容量；根據(jù)（2）問中的達(dá)標(biāo)率，可計算不達(dá)標(biāo)率，從而求出不達(dá)標(biāo)人數(shù)，可得（3）；單獨計算第三組的頻率，由公式計算頻數(shù)，可求出（4）.【小問1詳解】頻率分布直方圖以面積形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為＝0.08所以樣本容量＝＝150.【小問2詳解】由直方圖可估計該校高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為×100%＝88%.【小問3詳解】由（1）（2）知達(dá)標(biāo)率為88%，樣本量為150，不達(dá)標(biāo)的學(xué)生頻率為1－0.88＝0.12所以樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為150×0.12＝18(人)【小問4詳解】第三小組的頻率為＝0.34又因為樣本量為150，所以第三組的頻數(shù)為150×0.34＝5119、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率及通徑長求出橢圓方程；（2）分直線AB斜率存在和斜率不存在兩種情況得到的范圍，進(jìn)而得到答案.【小問1詳解】當(dāng)軸時，取代入橢圓方程得：，得，所以，又，解得，，所以橢圓方程為【小問2詳解】由，記，當(dāng)軸時，由（1）知：，所以，當(dāng)AB斜率為k時，直線AB為，，消去y得，所以，，所以，綜上，的范圍是.20、【解析】先求出命題為真時，的取值范圍，再取交集可得答案.【詳解】若命題，為真命題，則，解得；若命題，為真命題，則命題，為假命題，即方程無實數(shù)根，因此，，解得.又p、q都為真命題，所以實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題的真假求參數(shù)值、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.21、（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算得出，即可得出結(jié)論；（2）計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、