山東省青島平度市2026屆高二上數學期末經典試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關系，隨機統計了某4個月的患病（感冒）人數與當月平均氣溫，其數據如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數據算出線性回歸方程中的，氣象部門預測下個月的平均氣溫約為9℃，據此估計該社區(qū)下個月老年人與兒童患病人數約為（）A.38 B.40C.46 D.582．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現了一種相互轉化，相對統一的和諧美．定義：能夠將圓O的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓O的一個“太極函數”，設圓O：，則下列說法中正確的是（）①函數是圓O的一個太極函數②圓O的所有非常數函數的太極函數都不能為偶函數③函數是圓O的一個太極函數④函數的圖象關于原點對稱是為圓O的太極函數的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④3．不等式的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.4．數列中，，，．當時，則n等于（）A.2016 B.2017C.2018 D.20195．在中，已知角A，B，C所對的邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.16．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知函數的導函數的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數增函數 B.在區(qū)間上，函數是減函數C.為函數的極小值點 D.2為函數的極大值點8．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯構成，三個元件是否有故障相互獨立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現故障的概率為（）A. B.C. D.9．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A. B.C.1 D.10．已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.11．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線,則與的夾角為0°C.已知各項都不為零的數列{an}滿足an+1-2an=0,則該數列為等比數列D.點(π,0)是函數y=sinx圖象上一點12．設是等差數列的前n項和，若，，則（）A.26 B.－7C.－10 D.－13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線過點，且原點到直線l的距離為，則直線方程是______14．已知函數，是的導函數，則______15．如圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1，AB＝BC＝2，CC1＝1，則直線AD1與B1D所成角的余弦值為__.16．“”是“”的________條件.（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一項填空.）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）兩個頂點、的坐標分別是、，邊、所在直線的斜率之積等于，頂點的軌跡記為.（1）求頂點的軌跡的方程；（2）若過點作直線與軌跡相交于、兩點，點恰為弦中點，求直線的方程；（3）已知點為軌跡的下頂點，若動點在軌跡上，求的最大值.18．（12分）已知在等差數列中，，（1）求數列的通項公式；（2）若的前n項和為，且，，求數列的前n項和19．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點，求與所成的角20．（12分）已知函數為常數，函數.（1）討論函數的單調性；（2）若函數的圖象與直線相切，求實數的值；（3）當時，在上有兩個極值點且恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設直線，分別與軸交于點，.判斷，大小關系，并加以證明.22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點（1）證明：平面；（2）證明：平面平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由表格數據求樣本中心，根據線性回歸方程過樣本中心點，將點代入方程求參數，寫出回歸方程，進而估計下個月老年人與兒童患病人數.【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當時，.故選：B.2、B【解析】①③可以通過分析奇偶性和結合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數，且與圓O的兩交點坐標為，能夠將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故符合題意，①正確；同理函數是圓O的一個太極函數，③正確；例如，是偶函數，也能將將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故②錯誤；函數的圖象關于原點對稱不是為圓O的太極函數的充要條件，例如為奇函數，但不滿足將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，所以④錯誤；故選：B3、B【解析】解不等式，由此判斷必要不充分條件.【詳解】，解得，所以不等式的一個必要不充分條件是.故選：B4、B【解析】根據已知條件用逐差法求得的通項公式，再根據裂項求和法求得，代值計算即可.【詳解】因為，，則,即，則，故，又，即，解得.故選：B.5、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.6、D【解析】構建空間直角坐標系，根據已知條件求AN與BM對應的方向向量，應用空間向量夾角的坐標表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D7、D【解析】根據導函數與原函數的關系可求解.【詳解】對于A，在區(qū)間，，故A不正確；對于B，在區(qū)間，，故B不正確；對于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，且，所以為函數的極大值點，故C不正確，D正確.故選：D8、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，進而結合對立事件的概率公式得，再根據條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A9、B【解析】先確定拋物線的焦點坐標，和雙曲線的漸近線方程，再由點到直線的距離公式即可求出結果.【詳解】因為拋物線的焦點坐標為，雙曲線的漸近線方程為,由點到直線的距離公式可得.故選：B10、D【解析】根據已知條件可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.11、B【解析】四個選項中需要分別利用對數函數的性質，向量共線的定義，等比數列的定義以及三角函數圖像判斷，根據題意結合知識點，即可得出結果.【詳解】選項A，由于此對數函數單調遞增，并且結合對數函數定義域，即可求得結果，所以是真命題；選項B，向量共線，夾角可能是或，所以是假命題；選項C，將式子變形可得，符合等比數列定義，所以是真命題；選項D，將點代入解析式，等號成立，所以是真命題；故選B.【點睛】本題考查命題真假的判定，根據題意結合各知識點即可判斷真假，需要熟練掌握對數函數、等比數列、向量夾角以及三角函數的基本性質.12、C【解析】直接利用等差數列通項和求和公式計算得到答案.【詳解】，，解得，故.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直線斜率不存在不滿足題意，即設直線的點斜式方程，再利用點到直線的距離公式，求出的值，即可求出直線方程.【詳解】①當直線斜率不存在時，顯然不滿足題意.②當直線斜率存在時，設直線為.原點到直線l的距離為，即直線方程為.故答案為：.14、2【解析】根據基本初等函數的導數公式及導數的加法法則，對求導，再求即可.【詳解】由題設，，所以.故答案為：15、【解析】以為原點，所在直線為軸的正方向建立空間直角坐標系，求出，的坐標，由向量夾角公式可得答案.【詳解】以為原點，所在直線為軸的正方向建立如圖的坐標系，∵AB＝BC＝2，CC1＝1，∴，，，，則，，則，，則cos＜，＞＝＝，即AD1與B1D所成角的余弦值為，故答案為：.16、充分不必要【解析】由不等式的性質可知，由得，反之代入進行驗證，然后根據充分性與必要性的定義進行判斷，即可得出所要的答案【詳解】解：由不等式的性質可知，由得，故“”成立可推出“”，而，當，則，所以“”不能保證“”，故“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，結合不等式的性質，屬于較簡單題型三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出邊、所在直線的斜率，然后根據兩條直線的斜率關系建立方程即可；（2）聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理和中點坐標公式即可求出直線的斜率；（3）先表示出，然后利用橢圓的性質，進而確定的最大值.【小問1詳解】設點，則由可得：化簡得：故頂點的軌跡的方程：【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為聯立方程組消去可得：設直線與軌跡的交點，的坐標分別為由韋達定理得：點為、兩點的中點，可得：，即則有：解得：故求直線的方程為：【小問3詳解】由（1）可知，設則有：又點滿足，即由橢圓的性質得：所以當時，18、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件求出數列的公差即可求解作答.(2)由已知條件求出數列的通項，再利用錯位相減法計算作答.【小問1詳解】等差數列中，，解得，則公差，所以數列的通項公式為：.【小問2詳解】的前n項和為，，，則當時，，于是得，即，而，即，，因此，數列是首項為2，公比為2的等比數列，，由(1)知，，則，因此，，，所以數列的前n項和.19、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據中位線的性質，可證，根據線面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可求得平面與平面法向量，根據二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標，根據線線角的向量求法，即可得答案.【小問1詳解】連接，交于O，連接OD，則O為的中點，在中，因為O、D分別為、BC中點，所以，又因為平面，平面，所以平面【小問2詳解】由題意得，兩兩垂直，以B為原點，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：設，則，所以，則，，因為平面在平面ABC內，且平面ABC，所以即為平面的一個法向量，設平面的一個法向量為，則，所以，令，則，所以法向量，所以，由圖象可得平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為【小問3詳解】由（2）可得，設與所成的角為，則，解得，所以與所成的角為20、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據題意求得，討論，，，時解，即可得出函數的單調區(qū)間；（2）設切點為則結合，得令通過求導研究單調性解得進而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導得原題意可轉化為函數在上有兩個不同零點.結合根分布可得，函數的兩個極值點為是在上的兩個不同零點可得且，代入函數中令通過單調性求出進而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當時，由得，由得，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，由得或由得所以在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，恒成立，所以上單調遞增.④當時，由得或由得所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上：①當時，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，在上單調遞減，在上單調遞增；③當時，在上單調遞增.④當時，在上單調遞減，在上單調遞增.(2)設切點為則(*)，由可得(**)，聯立(*)(**)可得，設則，所以在單調遞增，在單調遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個不同零點.則，因為函數的兩個極值點為，則和是在上的兩個不同零點.所以且，所以令則所以在上單調遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實數的取值范圍為.【點睛】方法點睛：已知不等式恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域或最值問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.21、（1）（2）（3）見解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯立直線與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達式，當且僅當時，．即的面積的最大值是(3)結論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為因為橢圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，