解答題：三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形題型一：三角恒等變換與三角函數(shù)（24-25高三上·河南·月考）已知向量，函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】（1），的最小正周期；（2）由題知在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，即函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線恰有兩個交點，令，作出的圖象與直線，如圖.由圖知，當(dāng)時，的圖象與直線有兩個交點，實數(shù)的取值范圍為.此類題型考察恒等變形和三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)，涉及到三角恒等變形的公式比較多。1、首先要通過降冪公式降冪，二倍角公式化角：（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)（2）降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，2、再通過幫助角公式“化一”，化為3、幫助角公式：asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).4、最終利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，求解計算：一般將看做一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想解題。與三角函數(shù)相關(guān)的方程根的問題（零點問題），通常通過函數(shù)與方程思想轉(zhuǎn)化為圖象交點問題，再借助圖象進(jìn)行分析。1．（24-25高三上·江蘇常州·月考）如圖，已知函數(shù)的圖象過點和，且滿足.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時，求函數(shù)值域.【答案】(1);(2)【解析】（1）由，得，則又，即得，由，得依據(jù)圖象可知，解得.（2），故，，即的值域為0,2.2．（24-25高三上·北京·期中）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)求不等式的解集；(3)從條件①，條件②，條件③選擇一個作為已知條件，求的取值范圍.①在有恰有兩個極值點；②在單調(diào)遞減；③在恰好有兩個零點.注：假如選擇的條件不符合要求，0分；假如選擇多個符合要求的條件解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析【解析】（1）由于.所以的最小正周期為.（2）由于，即，則，解得，所以不等式的解集為.（3）由于，所以.若選擇①：由于在有恰有兩個極值點.則，解得，所以的取值范圍；若選擇②：由于在單調(diào)遞減當(dāng)時，函數(shù)遞增，所以在不行能單調(diào)遞減，所以②不符合題意；若選擇③：由于在恰好有兩個零點.則，解得，所以的取值范圍.題型二：正余弦定理解三角形的邊與角（24-25高三上·福建南平·期中）在銳角中，角所對的邊分別為.已知(1)求；(2)當(dāng)，且時，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，即，所以，所以，又由于為銳角，所以，所以（2）由（1）知且為銳角，所以，所以，即，所以.解之得利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質(zhì)是實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較簡單，要留意依據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征機(jī)敏化簡.3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并留意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或推斷出三角形的外形等。1．（24-25高三上·江蘇蘇州·月考）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)證明：；(2)若，，求.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）由已知結(jié)合正弦定理，得，化簡得，即，所以，又，所以，故由正弦定理得.（2）由于，所以，所以，所以，結(jié)合，可得，故，由（1）知，由余弦定理得，則，化簡得，代入，整理得，所以，所以，故.2．（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知．(1)若，，求；(2)若，，求的周長．【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）依據(jù)余弦定理，已知，，.將，，代入余弦定理公式可得：化簡得解得（由于邊長不能為負(fù)，舍去）.（2）已知，由正弦定理可得.由于，可得.由于，，時有兩解（為銳角或鈍角）.當(dāng)為銳角時，.，，.則.再由正弦定理，可得.，可得.此時三角形周長為.當(dāng)為鈍角時，..由正弦定理，可得.，可得.此時三角形周長為.則的周長為或.題型三：利用正弦定理求三角形外接圓（24-25高三上·全國·專題練習(xí)）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．(1)求的大?。?2)若面積為，外接圓面積為，求周長.【答案】(1)；(2)18【解析】（1），，，，．（2）設(shè)外接圓的半徑為，由，得，由于，解得，，所以，又，所以49=，故，所以.利用正弦定理：可求解三角形外接圓的半徑。若要求三角形外接圓半徑的范圍，一般將用含角的式子表示，再通過三角函數(shù)的范圍來求半徑的范圍。1．（24-25高三上·海南·月考）如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓，且，，為鈍角，.(1)求；(2)若，求△BCD的面積．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于為鈍角，，所以，由余弦定理得，整理得，解得（負(fù)根舍去），由正弦定理得.（2）由于圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，所以且為銳角，則，在三角形中，由余弦定理得：，，解得（負(fù)根舍去），所以三角形的面積為.2．（23-24高三下·浙江·模擬猜測）如圖，在平面內(nèi)的四個動點，，，構(gòu)成的四邊形中，，，，.(1)求面積的取值范圍；(2)若四邊形存在外接圓，求外接圓面積.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由三角形的性質(zhì)可知，，即，且，即，所以，中，，所以，則，，所以面積的取值范圍是；（2）中，，中，，即由于四邊形存在外接圓，所以，即，即，得，，此時，即，由，四邊形外接圓的面積.題型四：解三角形中邊長或周長的最值范圍（24-25高三上·四川綿陽·月考）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.(1)求證：；(2)，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）在銳角中，由余弦定理及，得，由正弦定理得，則，由，得，所以，即.（2）在銳角中，由正弦定理得，則，于是，由，得，則，，所以的取值范圍是.利用正、余弦定理等學(xué)問求解三角形邊長或周長最值范圍問題，一般先運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，然后通過三角形中相關(guān)角的三角恒等變換，構(gòu)造關(guān)于某一角或某一邊的函數(shù)或不等式，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等來處理。1．（24-25高三上·山西·月考）在中，角的對邊分別是，且．(1)證明：．(2)若是銳角三角形，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）由題設(shè)，所以，則，即，又，則，且，所以，得證.（2）由題設(shè)，即，得，由，而，故.2．（24-25高三上·貴州遵義·月考）記的內(nèi)角，，對應(yīng)的三邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，求的周長的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，即，由于B∈0,π，所以，即（2）由于，，由正弦定理得，則，又，則，且，所以由于，所以，則，所以，綜上可知，三角形的周長的取值范圍是．題型五：解三角形中面積的最值范圍（24-25高三上·遼寧沈陽·月考）已知中，角的對邊分別為，滿足．(1)求角．(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，由正弦定理得，由于，可得，所以，所以，又由于，所以，解得.（2）由（1）知，且，又由正弦定理得，可得，所以，由于為銳角三角形，所以，且，可得，則，所以，所以面積的取值范圍是．1、常用三角形的面積公式：（1）；（2）；（3）（為三角形內(nèi)切圓半徑）；（4），即海倫公式，其中為三角形的半周長。2、求面積的最值范圍，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形面積用所設(shè)變量表示出來，再利用正余弦定理列出方程求解。留意函數(shù)思想的應(yīng)用。1．（24-25高三上·江西·期中）已知中，角所對的邊分別為，且.(1)求；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由，得，由正弦定理，得，由于，且，綜上，.（2）由于，由余弦定理，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由于，所以面積，即面積的最大值為.2．（24-25高三上·河南·月考）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求C的值；(2)若內(nèi)有一點P，滿足，，求面積的最小值．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，由正弦定理得，，所以，即，所以，即，又由于是三角形得內(nèi)角，明顯，所以，即，所以.（2）法一：由（1）得：，設(shè)，在中，由余弦定理得，，同理在中有：，，又由于是直角三角形，所以，所以，即，所以，由于，所以，即，所以，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.的面積的最小值為．法二：在中，設(shè)，由余弦定理可得，.由勾股定理可得:，即.而.由基本不等式，所以，可解得(由上)，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以面積最小值為.題型六：三角形的角平分線、中線、垂線（24-25高三上·江蘇徐州·月考）已知內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角B；(2)若BD是角B的平分線，，求線段BD的長．【答案】(1)；(2)4.【解析】（1）已知，由正弦定理（為外接圓半徑），可得.由于，所以，那么.依據(jù)兩角和的正弦公式，則.開放可得.移項可得.由于，所以，兩邊同時除以得，解得.又由于，所以.（2）由于BD是角的平分線，依據(jù)角平分線定理，已知，，所以，設(shè)，則.在中，依據(jù)余弦定理，，，則.即，解得，所以，.在中，依據(jù)余弦定理，由于，所以.設(shè)，則.即，整理得.分解因式得，解得或.當(dāng)，在中，,舍去.當(dāng)，在中，,滿足.故BD的長度為4.1、解三角形角平分線的應(yīng)用如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，（1）利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠（2）內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量學(xué)問解決起來都較為簡捷。（3）等面積法：由于S?ABD+S所以b+cAD=2bccosA22、解三角形中線的應(yīng)用（1）中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB【點睛】機(jī)敏運(yùn)用同角的余弦定理，適用在解三角形的題型中（2）向量法：AD【點睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD3、解三角形垂線的應(yīng)用（1）分別為邊上的高，則（2）求高一般接受等面積法，即求某邊上的高，需要求出面積和底邊長度高線兩個作用：（1）產(chǎn)生直角三角形；（2）與三角形的面積相關(guān)。1．（24-25高三上·福建福州·月考）的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．(1)求；(2)若D為中點，，，求的周長．【答案】(1)；(2)【解析】（1），由正弦定理得，,即，由于，所以，所以，化簡得，又，可得，，.（2）由于是的中點，所以，則，即，整理得，解得或（舍去），在中，由余弦定理可得，，所以的周長為.2．（24-25高三上·廣西南寧·月考）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是．已知(1)求角；(2)若點在邊上，，請在下列兩個條件中任選一個，求邊長．①為的角平分線；②為的中線．【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，由正弦定理知，所以，又，所以，，又，，化簡得，即，又，所以．（2）選①，為的角平分線，由得：，即，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.選②，為的中線，則，平方得，所以，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以.1．（24-25高三上·山東菏澤·期中）記銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)延長到，使，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）已知，正弦定理得，則有，所以，而，則，即，銳角中，，則，由，因此.（2）在中，由正弦定理得①．在中，由正弦定理得②．，，得，由①②可得，解得．2．（24-25高三上·上?！て谥校┰O(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，且B為鈍角.(1)若,，求的面積；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1），由于，，故，由于為鈍角，所以，，由正弦定理得，故，其中，所以，解得，，；（2）由（1）知，，，由于為鈍角，所以，且，解得，所以，.3．（24-25高三上·湖南長沙·月考）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且.(1)若，求；(2)若，求的面積的最大值.【答案】(1)；(2)3【解析】（1）由于，所以由正弦定理得，又，所以，，從而.（2）由余弦定理可知，則，又，故，即，故，即，從而，當(dāng)時取等號，即的面積的最大值為3.4．（24-25高三上·遼寧大連·月考）在中，角、、的對邊分別為、、，滿足.(1)求角的大?。?2)若的面積為，求的最小值．【答案】(1)；(2)4【解析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，由于是三角形內(nèi)角，所以；（2）由三角形面積公式得：，解得，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為4，此時為等邊三角形．5．（24-25高三上·江蘇無錫·期中）在中，已知.(1)若為銳角三角形，求角的值，并求的取值范圍;(2)若，線段的中垂線交邊于點，且，求A的值.【答案】(1)；；(2)【解析】（1）由題意，所以，所以，所以，易知，所以，則，由于為銳角三角形，所以，即，所以，由知，所以，即的取值范圍為；（2）設(shè)中點為，則，在中，由正弦定理得，即，所以，由于線段的中垂線交邊于點，可知，所以，則，解之得，此時，正切不存在，舍去；或，解之得；綜上.6．（24-25高三上·天津·月考）在中，角對應(yīng)邊分別為，外接圓半徑為，已知.(1)證明：；(2)求角和邊；(3)若，求.【答案】(1)證明見解析；(2)，；(3).【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，又，所以，，，又，所以，所以；（2）由余弦定理可得，又，所以，又，所以，由（1），所以，所以，；（3）由于，，所以，，所以，故為銳角，所以，由于，，所以，所以.所以.1．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，(1)設(shè)，求解:的值域;(2)的最小正周期為，若在上恰有3個零點，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，由于，所以令，由正弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，（2）由題意得，所以，可得，當(dāng)時，，，即，，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，符合題意，所以，即，故.2．（2025·廣東江蘇·高考真題）記的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由余弦定理有，對比已知，可得，由于，所以，從而，又由于，即，留意到，所以.（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.3．（2025·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)；(2)【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（幫助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設(shè)，則，明顯時，，留意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，依據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，依據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，依據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，依據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為4．（2025·天津·高考真題）在中，角所對的邊分別為a,b,c，已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）設(shè)，，則依據(jù)余弦定理得，即，解得（負(fù)舍）；則.（2）法一：由于為三角形內(nèi)角，所以，再依據(jù)正弦定理得，即