第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年四川省綿陽市涪城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列為數(shù)學(xué)中的優(yōu)美圖形，其中既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形的是（）A.四葉玫瑰線 B.阿基米德螺線

C.心形線 D.笛卡爾葉形線2.若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（ac≠0）有一根為x=m,則關(guān)于x的一元二次方程cx2-bx+a=0（ac≠0）必有一根為（）A.-m B. C.m D.3.如圖，有4張大小、形狀、背面完全相同的撲克牌，小康和小新玩撲克游戲：小新將這撲克牌背面朝上洗勻后放在桌面上，讓小康隨機(jī)抽取一張（不放回）記下牌面上的數(shù)字.小新從中抽取一張，再記下牌面上的數(shù)字，則他倆抽到的兩張撲克牌正面上的數(shù)字之和恰好是奇數(shù)的概率為（）

A. B. C. D.4.如圖，AB是圓O的直徑，AE交圓O于點(diǎn)F，且與圓O的切線CD互相垂直，垂足為D.若CD=4，AD=8，則圓的半徑是（）A.

B.5

C.10

D.

5.若雙曲線與直線y=-5x一定有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.6.如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，線段OP交⊙O于點(diǎn)M.給出下列四種說法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△ABP的內(nèi)心.其中所有正確說法的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.47.下列語句中正確的說法是（）A.垂直于弦的直徑平分弦

B.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸

C.長度相等的弧是等弧

D.圓內(nèi)接矩形是正方形8.已知直線y=-x與拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）在第二象限有兩個公共點(diǎn)，則函數(shù)y=ax2+（b+1）x+c的圖象可能是（）A. B. C. D.9.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O為BC中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，點(diǎn)D，E分別在邊AC和CA的延長線上，連接OA，OD，則∠AOD的度數(shù)為（）A.55° B.60° C.65° D.70°10.工人師傅在檢查排污管道時發(fā)現(xiàn)淤泥堆積.如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬AB為1米，請計算出淤泥橫截面的面積（）

A. B. C. D.11.如圖，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2，分別以△ABC的三條邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積S1+S2+S3=（）A.3

B.

C.

D.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA與反比例函數(shù)y=（x＞0）相交于點(diǎn)A，將線段OA繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到線段OB，點(diǎn)B恰好落在雙曲線y=（x＞0）上，則△ABO的面積為（）A.3

B.

C.

D.6二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。13.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC.若∠AOC=114°，則∠ADC的度數(shù)為

°.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（a,-5）與點(diǎn)B（2，b）關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，則ab的值為

.15.將拋物線y=-3x2+1向右平移2個單位，再向上平移3個單位后所得到的拋物線是

.16.某校八年級選舉了4名同學(xué)獲得“學(xué)習(xí)之星”榮譽(yù)，其中有2名女同學(xué)，2名男同學(xué)，在這4名同學(xué)中隨機(jī)選2名同學(xué)作為學(xué)生代表在期末大會上發(fā)言，那么恰好有1名男同學(xué)，1名女同學(xué)代表發(fā)言的概率為

.17.如圖1.將面積為16的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形ABCD，則AB長為

.

18.已知⊙O的弦AB=1.6，優(yōu)弧上的點(diǎn)到AB的最大距離為1.6，直線l⊥AB，若⊙O上有4個不同的點(diǎn)到l的距離等于0.4，則點(diǎn)O到l的距離d的范圍為

.三、解答題：本題共7小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，坐標(biāo)分別為（2，3），（1，1），（4，1）.

（1）將△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C1，寫出C1的坐標(biāo)，求出OA掃出的面積.

（2）作出△ABC的外接圓⊙P，不寫作法，保留作圖痕跡，并直接寫出圓心的坐標(biāo).20.(本小題12分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m+1=0．

（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程兩個實(shí)數(shù)根的差為2，求m的值．21.(本小題12分)

在一個不透明的袋子中裝有5個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球.

（1）估計袋子中白球的個數(shù)約為

.

（2）如圖，一個圓環(huán)被4條線段分成4個區(qū)域，取一個紅球和一個白球放入任意兩個不同區(qū)域內(nèi)，求兩球放在相鄰的兩個區(qū)域的概率.（用樹狀圖或列表法）22.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：y=kx-2與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)B（m,2）.

（1）求直線AB的表達(dá)式；

（2）將直線AB沿y軸方向向上平移n個單位后與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，若S△ABC≤18，請求出n的取值范圍.23.(本小題12分)

某種商品每件的進(jìn)價為30元，在某段時間內(nèi)若以每件x元出售，可賣出（100-x）件，問題如下：

（1）若獲得的利潤為1000元，應(yīng)該如何定價？

（2）如何定價才能使利潤最大？24.(本小題14分)

如圖，?ABCD的頂點(diǎn)A，D在⊙O上，邊BC切⊙O于點(diǎn)M，連接AM，DM，CD交⊙O于點(diǎn)N.

（1）如圖1，求證：AM=DM；

（2）如圖2，若圓心O在邊AD上，連接AN，MN，若MN2=AN?CN，AN=8CN，AB=5，求⊙O的半徑.25.(本小題16分)

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A坐標(biāo)（3，0）.

（1）求b.c的值；

（2）如圖1，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接PA，PO，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,△AOP的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖2，在（2）的條件下，t=-2，點(diǎn)D在OA上，DF⊥OA，交PA于點(diǎn)C，CF=CD，點(diǎn)E在第二象限，連接EC，EC⊥CD，連接ED，過點(diǎn)E作ED的垂線，交過點(diǎn)F且平行AC的直線于點(diǎn)G，連接DG交AC于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交EC的延長線于點(diǎn)B，交DG的延長線于點(diǎn)R，CM=RB，連接RE并延長交拋物線于點(diǎn)N，RA=RN，點(diǎn)T在△ADM內(nèi)，連接AT，CT，∠ATC=135°，DH⊥AT，交AT的延長線于點(diǎn)H，HT=2DH，求直線CT的解析式.

1.【答案】A

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】D

12.【答案】D

13.【答案】123

14.【答案】-10

15.【答案】y=-3（x-2）2+4

16.【答案】

17.【答案】2-2

18.【答案】0≤d＜0.6

19.【答案】（1）△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C1，如圖1即為所求;

C1的坐標(biāo)為（1，-4），OA掃出的面積為

（2）△ABC的外接圓⊙P，如圖2即為所求;

圓心的坐標(biāo)為（2.5，1.5）

20.【答案】解：（1）證明：關(guān)于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m+1=0的根的判別式Δ=[-（m+2）]2-4×1×（m+1）=m2+4m+4-4m-4=m2，

不論m取任何實(shí)數(shù)，都有m2≥0即Δ≥0成立；

當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

故該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）不妨設(shè)方程的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2且x1＞x2，

則x1-x2=2，

∴，

又∵x1+x2=m+2，x1x2=m+1，

∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=（m+2）2-4（m+1）=4，

∴m=2或m=-2，

故m的值為2或-2．

21.【答案】解：（1）20；

（2）列表如下，①②③④①①②①③①④②②①②③②④③③①③②③④④④①④②④③共有12種等可能結(jié)果，兩球放在相鄰的兩個區(qū)域的有8種，

∴P（兩球放在相鄰的兩個區(qū)域）=．

22.【答案】解：（1）∵點(diǎn)B（m,2）在反比例函數(shù)的圖象上，

∴2m=8，

∴m=4．

∴點(diǎn)B（4，2）．

把點(diǎn)B（4，2）代入y=kx-2，

得：4k-2=2，

∴k=1．

∴直線AB的表達(dá)式為：y=x-2．

（2）記平移后的直線與y軸的交點(diǎn)為D，則AD=n,

連接BD．

∵CD∥AB．

∴S△ABD=S△ABC．

即：n×4≤18．

∴n≤9．

23.【答案】解：（1）由題意可得：y=（x-30）（100-x）=-x2+130x-3000，

令-x2+130x-3000=1000，

解得：x1=50，x2=80，

∴當(dāng)售價為50元/件或80元/件時，利潤可達(dá)1000元；

（2）由題意可得：

y=-x2+130x-3000

=-（x-65）2+1225，

∴當(dāng)x=65時，函數(shù)有最大值1225，

∴當(dāng)定價為65元/件時，利潤最大．

24.【答案】（1）證明：連接MO，并延長交AD于點(diǎn)E，

∵邊BC切⊙O于點(diǎn)M，

∴BC⊥OM，

∵在平行四邊形ABCD中，有AD∥BC，

∴AD⊥OM，

∴AE=ED，

∴EM垂直平分線段AD，

∴AM=DM；

（2）解：在平行四邊形ABCD中，有AD∥BC，AB=CD=5，

∵圓心O在邊AD上，

∴AD為⊙O的直徑，

∴∠DMA=∠AND=90°，

∵M(jìn)N2=AN?CN，AN=8CN，

∴MN2=8CN?CN，

∴，

根據(jù)（1）的證明方法，同理可得：AM=DM，

∴∠DAM=∠ADM=45°，

∵四邊形AMND內(nèi)接于⊙O，

∴∠DAM+∠DNM=180°，∠ADN+∠AMN=180°，

∵∠CNM+∠DNM=180°，∠DAM=∠ADM=45°，

∴∠CNM=∠DAM，

∴∠CNM=∠ADM，

∴∠CNM=∠ANM，

在平行四邊形ABCD中，

∵AD∥BC，

∴∠ADN+∠C=180°，∠DMC=∠ADM，

∴∠AMN=∠C，∠DMC=∠CNM，

∵∠AMN=∠C，∠CNM=∠ANM，

∴△CNM∽△MNA，

∴，

∵，

∴，

∴，即AM2=8CM2，

∵∠C=∠C，∠CNM=∠DMC，

∴△CNM∽△CMD，

∴，

∴MC2=CN×DC，

∵CD=5，AM2=8CM2，

∴MC2=5CN，

∴AM2=8CM2=40CN，

∴DM2=AM2=8CM2=40CN，

在Rt△AMD中，有：AD2=AM2+MD2=2AM2，

∴AD2=80CN，

在Rt△AND中，有：AD2=AN2+ND2，

∵ND=CD-CN=5-CN，AN=8CN，

∴AD2=（8CN）2+（5-CN）2=65CN2-10CN+25，

∴65CN2-10CN+25=80CN，

整理：13CN2-18CN+5=0，

解得：CN=1，或者，

在鈍角△DCM中，

∵DM＞CD=5，

∴DM2=40CN＞25，

∴，

故不符合題意，舍去，

∴CN=1，

∴AD2=80CN=80，

∵，

∴⊙O的半徑為：．

25.【答案】解：（1）將點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（3，0）代入拋物線y=x2+bx+c得，

，

∴，

∴；

（2）S=yP==；

（3）如圖1，

作PJ⊥x軸于J，連接BF，連接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于V，作NS⊥x軸于S，延長BE，交SN于Q，

則∠Q=∠NSD=∠MWC=∠MWB=∠RBC=90°，

把t=-2代入y=得，y=，

∵AJ=3-（-2）=5，

∴AJ=PJ，

∴∠PAJ=45°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ACD=90°-∠PAJ=45°，

∴∠PAJ=∠ACD，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴可得四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACD=∠DBC=45°，∠FCB=∠BCD=90°，

∵CF=CD=BC，

∴∠CFB=∠CBF=45°，

∵FG∥AC，

∴∠CFG=∠ACD=45°，

∴點(diǎn)F、G、B共線，

∵∠FBD=∠FBC+∠DBC=90°，∠GED=90°，

∴∠FBD+∠DEG=180°，

∴點(diǎn)G、E、D、B共圓，

∴∠EGD=∠DBC=45°，∠EDG=∠FBC=45°，

∴∠EGD=∠EDG，

∴EG=ED，

∵∠EVG=∠DCE=90°，

∴∠EGV+∠VEG=90°，

∵∠DEG=90°，

∴∠DCE+∠VEG=90°，

∴∠DEC=∠EGV，

∴△EGV≌△DEC（AAS），

∴EV=CD，CE=GV，

設(shè)CM=x,WI=a,

∴∠ACB=45°，CM=RB，

∴WM=CW=x,RB=3x,

∵M(jìn)W∥BR，

∴△MWI∽△RBI，

∴=，

∴BI=3WI=3a,

∴AB=BC=CW+WI+BI=x+4a,

∵BC∥AD，

∴△RBI∽△RAD，

∴，

∴，

∴x=2a,

∴BC=AB=x+4a=6a,RB=3x=6a,

∴BF=BC=6a,DF=2CD=12a,

∵DF∥RB，

∴△GFD∽△GBR，

∴，

∴BG=BF=2，

∴GV=BV=BG=2a,

∴CE=GV=2a,

∵BE=BC+CE=6a+2a=8a,

∴ER=，

∵RN=RA=12a,

∴EN=RN-RE=2a,

∴CE=EN=2a,

作IK⊥RN于K，

由S△RBE=S△RBI+S△RIE得，

∴，

∴IK=3a,

∴∠NRD=∠ARD，

∵RD=RD，

∴△ARD≌△NRD（SAS），

∴∠RND=∠RAD=90°，

∴∠RND=∠ECD=90°，

∵DE=DE，

∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL），

∴DN=CD=6a,

∵∠Q=∠NSO=90°，

∴∠QEN+∠QNE=90°，

∵∠E