大題06概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)是是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)之一，概率統(tǒng)計(jì)大題是新高考卷及多省市高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容?；仡櫧鼛啄甑母呖荚囶}，主要考查古典概型、相互獨(dú)立大事、條件概率、超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差等內(nèi)容，多與社會(huì)實(shí)際緊密結(jié)合，以現(xiàn)實(shí)生活為背景設(shè)置試題，留意學(xué)問(wèn)的綜合應(yīng)用與實(shí)際應(yīng)用。重點(diǎn)考察考生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的力量。題型一：離散型隨機(jī)變量及其分布列（2025·廣東肇慶·高三廣東肇慶中學(xué)校考階段練習(xí)）為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，榮造良好的文化氛圍，某高中校團(tuán)委組織非畢業(yè)班級(jí)開(kāi)展了“我們的元宵節(jié)”主題學(xué)問(wèn)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有個(gè)人賽和團(tuán)體賽，每人只能參與其中的一項(xiàng)，依據(jù)各位同學(xué)答題狀況，獲獎(jiǎng)同學(xué)人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別個(gè)人賽團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)高一20206050高二162910550（1）從獲獎(jiǎng)同學(xué)中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的同學(xué)獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的同學(xué)來(lái)自高一的概率；（2）從高一和高二獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中團(tuán)體賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）依據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量全部可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）依據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要留意隨機(jī)變量是否聽(tīng)從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算。）1．（2025·四川成都·成都七中模擬猜測(cè)）甲、乙兩人進(jìn)行羽毛球競(jìng)賽，競(jìng)賽實(shí)行七局四勝制．已知甲每局競(jìng)賽獲勝的概率為，輸?shù)舻母怕蕿?，每局的?jìng)賽結(jié)果互不影響．（1）求甲最終獲勝的概率；（2）記總共的競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．2．（2025·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)不透亮?????的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的4個(gè)球，其中甲箱有2個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和2個(gè)白球.摸球規(guī)章如下：先從甲箱中一次摸出2個(gè)球，若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色相同，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再?gòu)谋渲幸淮蚊?個(gè)球；若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色不同，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲幸淮蚊?個(gè)球.（1）若最終摸出的2個(gè)球顏色不同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記1分，用隨機(jī)變量表示最終摸出的2個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.題型二：超幾何分布與二項(xiàng)分布（2025·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？级＃┠承８叨?）班的元旦聯(lián)歡會(huì)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)抽獎(jiǎng)玩耍：預(yù)備了張相同的卡片，其中只在張卡片上印有“獎(jiǎng)”字.（1）實(shí)行放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片張數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；（2）實(shí)行不放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求第一次抽到印有“獎(jiǎng)”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎(jiǎng)”字卡片的概率.1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（1）定型：“獨(dú)立”“重復(fù)”是二項(xiàng)分布的基本特征，“每次試驗(yàn)大事發(fā)生的概率都相等”是二項(xiàng)分布的本質(zhì)特征．推斷隨機(jī)變量是否聽(tīng)從二項(xiàng)分布，要看在一次試驗(yàn)中是否只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，且兩種試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為某大事在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)．（2）定參，確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中大事發(fā)生的概率．（3）列表，依據(jù)離散型隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列．（4）求值，依據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2、超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)題，考察某一類個(gè)題個(gè)數(shù)的概率分布；（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一大事發(fā)生的概率是不相同的。3、超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)分（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一大事發(fā)生的概率是不相同的，而二項(xiàng)分布是“有放回”的抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一大事發(fā)生的概率是相同點(diǎn)。1．（2025·全國(guó)·校聯(lián)考模擬猜測(cè)）“男男女女向前沖”是一項(xiàng)熱播的闖關(guān)類電視節(jié)目．該節(jié)目一共設(shè)置了四關(guān)，由以往的數(shù)據(jù)得，男生闖過(guò)一至四關(guān)的概率依次是，女生闖過(guò)一至四關(guān)的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小組前往參與闖關(guān)挑戰(zhàn)（個(gè)人賽）．（1）求甲闖過(guò)四關(guān)的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量為該四人小組闖過(guò)四關(guān)的人數(shù)，求．2．（2025·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）接近新年，某水果店購(gòu)入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)接受分層抽樣的方法抽取9箱，進(jìn)行質(zhì)量檢查.（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機(jī)抽出4箱送有關(guān)部門檢測(cè).①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為大事“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求大事A發(fā)生的概率.題型三：均值與方差的實(shí)際應(yīng)用（2025·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬猜測(cè)）某公司是一家集無(wú)人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)性能都比較精彩，但操控水平需要格外嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時(shí)間內(nèi)，甲、乙兩種類型無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨(dú)立.（1）隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，求選中的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)操作成功的概率；（2）操作員連續(xù)進(jìn)行兩次無(wú)人機(jī)的操作有兩種方案：方案一：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，若初次操作成功，則其次次連續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則其次次使用另一類型進(jìn)行操作；方案二：在初次操作時(shí)，隨機(jī)選擇兩種無(wú)人運(yùn)輸機(jī)中的一種，無(wú)論初次操作是否成功，其次次均使用初次所選擇的無(wú)人運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行操作.假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.利用隨機(jī)變量的均值與方差可以掛念我們作出科學(xué)的決策，其中隨機(jī)變量的均值的意義在于描述隨機(jī)變量的平均程度，而方差則描述了隨機(jī)變量穩(wěn)定與波動(dòng)或集中與分散的狀況，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的精確?????與否、機(jī)器的性能好壞等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征量有關(guān)。1、若我們期望實(shí)際的平均水平較抱負(fù)時(shí)，則先求隨機(jī)變量，的均值。當(dāng)時(shí)，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，還需要用，來(lái)比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度。2、若我們期望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近。1．（2025·山西呂梁·統(tǒng)考一模）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進(jìn)行3輪競(jìng)賽，每輪競(jìng)賽結(jié)果互不影響．競(jìng)賽規(guī)章如下：每一輪競(jìng)賽，參賽選手要在規(guī)定的時(shí)間和范圍內(nèi)，制作中式面點(diǎn)和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評(píng)委認(rèn)可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪競(jìng)賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進(jìn)入決賽．為能進(jìn)入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進(jìn)行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機(jī)抽取了中式面點(diǎn)和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點(diǎn)和2道中式熱菜得到認(rèn)可．（1）若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機(jī)抽取中式面點(diǎn)、中式熱菜各2道，由此來(lái)估量小李在一輪競(jìng)賽中的通關(guān)狀況，試猜測(cè)小李在一輪競(jìng)賽中通關(guān)的概率；（2）若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認(rèn)可的頻率作為該類菜品被評(píng)委認(rèn)可的概率，經(jīng)師傅對(duì)小李進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練后，每道中式面點(diǎn)被評(píng)委認(rèn)可的概率不變，每道中式熱菜被評(píng)委認(rèn)可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為推斷依據(jù)，試猜測(cè)小李能否進(jìn)入決賽？2．（2025·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考階段練習(xí)）從2025年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個(gè)選項(xiàng)，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個(gè)選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名同學(xué)獨(dú)立解題.（1）假設(shè)每道題甲全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為；乙全部選對(duì)的概率為，部分選對(duì)的概率為，有選錯(cuò)的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；（2）對(duì)于第12題，甲同學(xué)只能正確地推斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地推斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個(gè)選項(xiàng)才有期望得到更抱負(fù)的成果，請(qǐng)你掛念甲或者乙做出決策（只需選擇掛念一人做出決策即可）.題型四：正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（2025·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）聽(tīng)從正態(tài)分布，且.（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法（1）熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1：①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．1．（2025·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長(zhǎng)度近似聽(tīng)從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長(zhǎng)度不小于6.04．（1）求；（2）假如允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長(zhǎng)度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？說(shuō)明：對(duì)任何一個(gè)正態(tài)分布來(lái)說(shuō)，通過(guò)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，從而查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得到．可供查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.11.21.31.41.51.61.71.81.90.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.97132.02.12.22.32.42.52.62.72.80.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99742．（2025·全國(guó)·一模）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布．對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的，，三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的狀況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立．（1）已知電源電壓（單位：）聽(tīng)從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；（2）在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述大事發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間．已知隨機(jī)變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且聽(tīng)從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.（ⅰ）設(shè)，證明：；（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率．附：若隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，則，，．題型五：線性回歸與非線性回歸（2025·湖北武漢·統(tǒng)考模擬猜測(cè)）隨著科技進(jìn)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會(huì)的快速進(jìn)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色由于擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2025年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額狀況統(tǒng)計(jì)．年月2025年8月2025年9月2025年10月2025年11月2025年12月2025年1月月份編號(hào)123456銷售金額／萬(wàn)元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問(wèn)題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的閱歷回歸方程，并據(jù)此猜測(cè)2025年2月份該公司的銷售金額．附：閱歷回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．1、線性回歸分析問(wèn)題的類型及解題方法（1）求線性回歸方程：=1\*GB3①利用公式求出回歸系數(shù)，；=2\*GB3②利用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)求系數(shù)；（2）利用回歸方程進(jìn)行猜測(cè)：把線性回歸方程看作一次函數(shù)，求函數(shù)值；（3）利用回歸直線推斷正、負(fù)相關(guān)：打算正相關(guān)函數(shù)負(fù)相關(guān)的系數(shù)是；（4）回歸方程的擬合效果可以利用相關(guān)系數(shù)推斷，當(dāng)越接近1時(shí)，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)。2、非線性回歸閱歷回歸方程的求法（1）依據(jù)原始數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖；（2）依據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)；（3）作恰當(dāng)?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求閱歷回歸方程；（4）在（3）的基礎(chǔ)上通過(guò)相應(yīng)的變換，即可得非線性閱歷回歸方程。1．（2025·四川巴中·統(tǒng)考一模）下圖是某市2016年至2025年生活垃圾無(wú)害化處理量y（單位：萬(wàn)噸）與年份t的散點(diǎn)圖.（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷變量y與t是否線性相關(guān)，并用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），猜測(cè)2025年該市生活垃圾無(wú)害化處理量.參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：，；相關(guān)系數(shù).2．（2025·重慶·高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）當(dāng)前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛進(jìn)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認(rèn)為是推動(dòng)將來(lái)社會(huì)進(jìn)展和解決人類面臨的全球性問(wèn)題的重要手段．某公司在這個(gè)領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來(lái)該公司對(duì)產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬(wàn)元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表．12345611.53612（1）公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請(qǐng)依據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的閱歷回歸方程；（計(jì)算過(guò)程保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位，最終結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）（2）依據(jù)下表數(shù)據(jù)，用打算系數(shù)（只需比較出大小）比較兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，猜測(cè)年投入額為百萬(wàn)元時(shí)，產(chǎn)品的銷售量是多少?閱歷回歸方程殘差平方和參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，，．題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn)及應(yīng)用（2025·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）2025年12月25日，由科技日?qǐng)?bào)社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評(píng)比出的2025年國(guó)內(nèi)十大科技新聞揭曉．某高校一同學(xué)社團(tuán)隨機(jī)調(diào)查了本校100名同學(xué)對(duì)這十大科技的了解狀況，依據(jù)性別和了解狀況分組，得到如下列聯(lián)表：不太了解比較了解合計(jì)男生204060女生202040合計(jì)4060100（1）推斷是否有95%的把握認(rèn)為對(duì)這十大科技的了解存在性別差異；（2）若把這100名同學(xué)依據(jù)性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，則這2人中至少有1人為女生的概率．附：①，其中；②當(dāng)時(shí)有95%的把握認(rèn)為兩變量有關(guān)聯(lián)．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法（1）依據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；（2）提出零假設(shè)：假設(shè)兩個(gè)變量相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋。（3）依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計(jì)算公式求出的值；（4）當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即兩個(gè)變量不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為兩個(gè)變量相互獨(dú)立。1．（2025·河北張家口·高三尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）為了爭(zhēng)辯體育熬煉對(duì)某年齡段的人患某種慢性病的影響，某人隨機(jī)走訪了個(gè)該年齡段的人，得到的數(shù)據(jù)如下：慢性病體育熬煉合計(jì)經(jīng)常不經(jīng)常未患病患病合計(jì)（1）定義分類變量、如下：，，以頻率估量概率，求條件概率與的值；（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析經(jīng)常進(jìn)行體育熬煉是否對(duì)患該種慢性病有影響．附：2．（2025·河南·高三專題練習(xí)）為了答謝全國(guó)人民的真情關(guān)愛(ài)，湖北省舉辦“與愛(ài)同行，惠游湖北”活動(dòng)．從2020年8月8日開(kāi)頭，全省近400家A級(jí)旅游景區(qū)對(duì)全國(guó)游客免門票開(kāi)放，活動(dòng)將始終持續(xù)到年底．在“十一”黃金周期間，武漢黃鶴樓景區(qū)迎來(lái)了大批游客，同時(shí)也帶動(dòng)了當(dāng)?shù)芈糜谓?jīng)濟(jì)的進(jìn)展．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了黃金周期間的180名游客的旅游消費(fèi)狀況，整理數(shù)據(jù)，得到如下表格：消費(fèi)金額（元）購(gòu)買人數(shù)5040403020（1）估量“十一”黃金周期間，游客的旅游消費(fèi)不少于300元的概率（保留兩位小數(shù)）；（2）估量“十一”黃金周期間，游客的旅游消費(fèi)金額的平均值（保留兩位小數(shù)）（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為游客的旅游消費(fèi)金額少于300元與年齡有關(guān)？不少于300元少于300元總計(jì)年齡大于等于5050年齡小于5016總計(jì)附：，．0.100.050.250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828題型七：條件概率/全概率公式/貝葉斯公式（2025·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）一只LED燈能閃爍紅、黃、藍(lán)三種顏色的光，受智能程序把握每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍(lán)光；若某次閃藍(lán)光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.（1）求第4次閃光為紅光的概率；（2）求第次閃光為紅光的概率.1、條件概率：一般地，設(shè)，為兩個(gè)大事，且，稱為在大事發(fā)生的條件下，大事發(fā)生的條件概率．2、全概率公式：；3、貝葉斯公式：一般地，當(dāng)且時(shí)，有1．（2025·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬猜測(cè)）現(xiàn)有10個(gè)球，其中5個(gè)球由甲工廠生產(chǎn)，3個(gè)球由乙工廠生產(chǎn)，2個(gè)球由丙工廠生產(chǎn)．這三個(gè)工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個(gè)球中任取1個(gè)球，設(shè)大事為“取得的球是合格品”，大事分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的”．（1）求；（2）求．2．（2025·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬猜測(cè)）全國(guó)“村BA”籃球賽點(diǎn)燃了全民的運(yùn)動(dòng)激情，深受寬敞球迷的寵愛(ài).每支球隊(duì)都有一個(gè)或幾個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支“村BA”球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某個(gè)賽季的全部競(jìng)賽中，甲球員是否上場(chǎng)時(shí)該球隊(duì)的勝敗狀況如表.甲球員是否上場(chǎng)球隊(duì)的勝敗狀況合計(jì)勝負(fù)上場(chǎng)4045未上場(chǎng)3合計(jì)42（1）完成列聯(lián)表，并推斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝敗與甲球員是否上場(chǎng)有關(guān)；（2）由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會(huì)進(jìn)行調(diào)整，依據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場(chǎng)時(shí)，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.（i）當(dāng)甲球員上場(chǎng)參與競(jìng)賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；（ii）當(dāng)甲球員上場(chǎng)參與競(jìng)賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)競(jìng)賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.828題型八：概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用（2025·四川·校聯(lián)考模擬猜測(cè)）在某果園的苗圃進(jìn)行果苗病蟲害調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測(cè)量其高度（單位：，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.（1）估量該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估量該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的概率；（3）已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為，果苗高度位于區(qū)間的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲害的概率（以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率作為受到病蟲害果苗的高度位于該區(qū)間的概率）.1、概率與統(tǒng)計(jì)圖表的綜合應(yīng)用題關(guān)鍵點(diǎn)：（1）從題目條件或統(tǒng)計(jì)圖表給出的信息，提煉出所需要的信息；（2）=1\*GB3①進(jìn)行概率與統(tǒng)計(jì)的正確計(jì)算；=2\*GB3②此類問(wèn)題中的概率大多是古典概型、條件概率，求解時(shí)留意運(yùn)用對(duì)立大事的概率。2、頻率分布直方圖（1）頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法①eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．②eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率，eq\f(頻數(shù),頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數(shù)．③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于．（2）頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算=1\*GB3①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)．=2\*GB3②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的．設(shè)中位數(shù)為，利用左（右）側(cè)矩形面積之和等于，即可求出．=3\*GB3③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有，其中為每個(gè)小長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積．1．（2025·廣東深圳·高三深圳中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）某學(xué)校開(kāi)展健步走活動(dòng)，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步凝.啟息.老師甲、乙這七天的步數(shù)狀況如圖1所示.（1）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；（2）從11月4日至11月10日中隨機(jī)選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)內(nèi)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；2．（2025·北京海淀·高三101中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）“雙減”政策執(zhí)行以來(lái)，中同學(xué)有更多的時(shí)間參與志愿服務(wù)和體育熬煉等課后活動(dòng)．某校為了解同學(xué)課后活動(dòng)的狀況，從全校同學(xué)中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參與課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，用頻率分布直方圖表示如下：假設(shè)用頻率估量概率，且每個(gè)同學(xué)參與課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立．（1）估量全校同學(xué)一周參與課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率；（2）從全校同學(xué)中隨機(jī)選取3人，記表示這3人一周參與課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)全校同學(xué)一周參與課后活動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)估量值為?平均數(shù)的估量值為（計(jì)算平均數(shù)時(shí)，同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），請(qǐng)直接寫出的大小關(guān)系．題型九：概率與其他學(xué)問(wèn)的交匯應(yīng)用（2025上·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）一枚質(zhì)地均勻的小正四周體，其中兩個(gè)面標(biāo)有數(shù)字1，兩個(gè)面標(biāo)有數(shù)字2.現(xiàn)將此正四周體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數(shù)字之和為.（1）當(dāng)時(shí)，記為被3整除的余數(shù)，求的分布列與期望；（2）求能被3整除的概率.概率統(tǒng)計(jì)常與排列組合、函數(shù)、數(shù)列等學(xué)問(wèn)交匯考查。求解此類問(wèn)題要充分理解題意，依據(jù)題中已知條件，聯(lián)系所學(xué)學(xué)問(wèn)對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化。這類問(wèn)題的命題方向總的來(lái)說(shuō)有兩大類：1、所給問(wèn)題是以集合、函數(shù)、立體幾何、數(shù)列、向量等學(xué)問(wèn)為載體的概率問(wèn)題，求解時(shí)需要利用相關(guān)學(xué)問(wèn)把所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為概率模型，然后利用概率學(xué)問(wèn)求解；2、所給問(wèn)題是概率問(wèn)題，求解時(shí)有時(shí)需要把所求概率轉(zhuǎn)化為某一變量的該函數(shù)，然后利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)學(xué)問(wèn)進(jìn)行求解；或者把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與概率變量有關(guān)的數(shù)列遞推關(guān)系，再通過(guò)構(gòu)造特殊數(shù)列求通項(xiàng)或求和。1．（2025·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中的概率.（1）求，；（2）證明：是等比數(shù)列，并求；（3）已知：若隨機(jī)變量聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．2．（2025·全國(guó)·校聯(lián)考模擬猜測(cè)）公元1651年，一個(gè)問(wèn)題引發(fā)了數(shù)學(xué)家德梅赫、帕斯卡、費(fèi)馬和惠更斯等人的爭(zhēng)辯，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問(wèn)題如下：設(shè)兩名賭徒商定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立．在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：假如消滅無(wú)人先贏局則賭博意外終止的狀況，甲、乙便依據(jù)賭博再連續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比安排賭注．（1）甲、乙賭博意外終止，若，，，，，求甲應(yīng)分得的賭注；（2）記大事為“賭博連續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)，，時(shí)賭博連續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率；當(dāng)時(shí)，求大事發(fā)生的概率的最大值．題型十：利用概率解決決策類問(wèn)題（2025·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）乒乓球起源于英國(guó)的19世紀(jì)末，由于1959年的世界乒乓球錦標(biāo)賽，中國(guó)參賽運(yùn)動(dòng)員為中國(guó)獲得了第一個(gè)世界冠軍，而使國(guó)人興奮，從今乒乓球運(yùn)動(dòng)在中國(guó)風(fēng)靡，成為了事實(shí)上中國(guó)的國(guó)球的體育項(xiàng)目.國(guó)球在校內(nèi)中的普及也豐富了老師、同學(xué)們的業(yè)余生活.某校擬從5名優(yōu)秀乒乓球愛(ài)好者中抽選人員分批次參與社區(qū)共建活動(dòng).共建活動(dòng)共分3批次進(jìn)行，每次活動(dòng)需要同時(shí)派送2名選手，且每次派送選手均從5人中隨機(jī)抽選.已知這5名選手中，2人有競(jìng)賽閱歷，3人沒(méi)有競(jìng)賽閱歷.（1）求5名選手中的“1號(hào)選手”，在這3批次活動(dòng)中有且只有一次被抽選到的概率；（2）求其次次抽選時(shí)，選到?jīng)]有競(jìng)賽閱歷的選手的人數(shù)最有可能是幾人？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）現(xiàn)在需要2名乒乓球選手完成某項(xiàng)特殊競(jìng)賽任務(wù)，每次只能派一個(gè)人，且每個(gè)人只派一次，假如前一位選手不能贏得競(jìng)賽，則再派另一位選手.若有A、兩位選手可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為、，且，各人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立.試分析以怎樣的挨次派出選手，可使所需派出選手的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小.決策問(wèn)題的解決策略：決策的工具是有關(guān)概率，決策方案的最佳選擇是將概率最大（最?。┳鳛樽罴逊桨?，可能需要借助函數(shù)的性質(zhì)去實(shí)現(xiàn)。1．（2025·浙江·高三鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽，商定賽制如下：每場(chǎng)競(jìng)賽勝者積2分，負(fù)者積0分；競(jìng)賽前依據(jù)相關(guān)規(guī)章打算首先競(jìng)賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)競(jìng)賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)競(jìng)賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空；積分首先累計(jì)到4分者獲得競(jìng)賽成功，競(jìng)賽結(jié)束.已知甲與乙競(jìng)賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙競(jìng)賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙競(jìng)賽時(shí)，乙獲勝的概率為.（1）若，求競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望；（2）若，假設(shè)乙獲得了指定首次競(jìng)賽選手的權(quán)利，為獲得競(jìng)賽的成功，試分析乙的最優(yōu)指定策略.2．（2025·河北·校聯(lián)考模擬猜測(cè)）近年來(lái)，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模進(jìn)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，受到多位消費(fèi)者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家供應(yīng)甲?乙兩家第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，邀請(qǐng)多位車主進(jìn)行選擇，每位車主只能選擇一家.若選擇甲機(jī)構(gòu)記1分，若選擇乙機(jī)構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個(gè)機(jī)構(gòu)的概率相等，且相互獨(dú)立.（1）若參與的車主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）對(duì)全部車主選擇的結(jié)果進(jìn)行調(diào)查,記總得分恰好為n分的概率為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，汽車廠商打算總得分為99分或100分時(shí)就停止計(jì)分，若總得為99分就選甲機(jī)構(gòu)，總得分為100分就選乙機(jī)構(gòu)，請(qǐng)分析這種方案是否合理.1．（2025·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）袋中裝有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)舊球，現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一球檢驗(yàn)．（1）若直到取到新球?yàn)橹?，求抽取次?shù)X的概率分布及其均值；（2）若將題設(shè)中的“無(wú)放回”改為“有放回”，求檢驗(yàn)5次取到新球個(gè)數(shù)X的均值．2．（2025·廣東廣州·廣州六中?？家荒＃┠畴娚烫氐厣a(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號(hào)外，其余外觀完全相同，為了檢測(cè)元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計(jì)了圖甲、乙兩種電路.（1）在設(shè)備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個(gè)，只有2個(gè)合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機(jī)抽取2個(gè)安裝在甲圖電路中的，處，請(qǐng)用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；（2）通過(guò)設(shè)備調(diào)試和技術(shù)升級(jí)后，已知該電商生產(chǎn)的電子元件合格率為0.9，且在生產(chǎn)過(guò)程中每個(gè)電子元件是否合格互不影響，質(zhì)檢員從該電商生產(chǎn)的一批電子元件中隨機(jī)抽取3個(gè)安裝在乙圖電路中的，，處，求小燈泡發(fā)亮的概率.3．（2025·山東日照·統(tǒng)考一模）隨著科技的不斷進(jìn)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會(huì)更加廣泛，它將會(huì)成為轉(zhuǎn)變?nèi)祟惿鐣?huì)進(jìn)展的重要力氣．某科技公司創(chuàng)造了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對(duì)該交互軟件進(jìn)行測(cè)試時(shí)，假如輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若消滅語(yǔ)法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問(wèn)題消滅語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為．（1）求一個(gè)問(wèn)題能被軟件正確應(yīng)答的概率；（2）在某次測(cè)試中，輸入了個(gè)問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨(dú)立，記軟件正確應(yīng)答的個(gè)數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時(shí)，的值最大？4．（2025·浙江杭州·高三浙江省杭州其次中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）“英才方案”最早開(kāi)頭于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2025年已經(jīng)培育了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中同學(xué)，為選拔培育對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里選擇優(yōu)秀同學(xué)參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng).（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來(lái)自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在夏令營(yíng)開(kāi)幕式的晚會(huì)上，物理組進(jìn)行了一次學(xué)科學(xué)問(wèn)競(jìng)答活動(dòng)，規(guī)章如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪成功.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.5．（2025·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市其次高級(jí)中學(xué)開(kāi)學(xué)考試）為考察藥物對(duì)預(yù)防疾病以及藥物對(duì)治療疾病的效果，科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了大量動(dòng)物對(duì)比試驗(yàn)．依據(jù)個(gè)簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病未患病患病合計(jì)未服用服用合計(jì)（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析藥物對(duì)預(yù)防疾病的有效性；（2）用頻率估量概率，現(xiàn)從患病的動(dòng)物中用隨機(jī)抽樣的方法每次選取只，用藥物進(jìn)行治療．已知藥物的治愈率如下：對(duì)未服用過(guò)藥物的動(dòng)物治愈率為，對(duì)服用過(guò)藥物的動(dòng)物治愈率為．若共選取次，每次選取的結(jié)果是相互獨(dú)立的．記選取的只動(dòng)物中被治愈的動(dòng)物個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.8286．（2025·陜西西安·統(tǒng)考一模）某市為提升中同學(xué)的環(huán)境愛(ài)護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境愛(ài)護(hù)學(xué)問(wèn)競(jìng)賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成果排名前三百名的同學(xué)參與復(fù)賽．已知共有12000名同學(xué)參與了預(yù)賽，現(xiàn)從參與預(yù)賽的全體同學(xué)中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成果作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：（1）規(guī)定預(yù)賽成果不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成果不低于60分的同學(xué)中隨機(jī)地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成果優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成果優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參與預(yù)賽同學(xué)的預(yù)賽成果Z聽(tīng)從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名同學(xué)預(yù)賽成果的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且，已知小明的預(yù)賽成果為91分，利用該正態(tài)分布，估量小明是否有資格參與復(fù)賽？附：若，則，，；．7．（2025·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個(gè)區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足同學(xué)的不同口味和需求．（1）現(xiàn)在對(duì)同學(xué)性別與在南北兩個(gè)區(qū)域就餐的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為在不同區(qū)域就餐與同學(xué)性別有關(guān)聯(lián)？性別就餐區(qū)域合計(jì)南區(qū)北區(qū)男331043女38745合計(jì)711788（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時(shí)，假如前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；假如前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；假如前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時(shí)選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．（?。┣蟮?天他去乙餐廳用餐的概率；（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．附：；0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.6358．（2025·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品2014年到2018年的年投資金額（萬(wàn)元）與年利潤(rùn)（萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下，由散點(diǎn)圖知，與之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合，已知5年利潤(rùn)的平均值是4.7．年份20142015201620172018年投資金額萬(wàn)元12345年利潤(rùn)萬(wàn)元2.42.76.47.9（1）求表中實(shí)數(shù)的值；（2）求關(guān)于的線性回歸方程．參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估量公式分別為，．9．（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？茧A段練習(xí)）紅松樹分布在我國(guó)東北的小興安嶺到長(zhǎng)白山一帶，耐蔭性強(qiáng).在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了爭(zhēng)辯生長(zhǎng)了4年的紅松樹的生長(zhǎng)狀況，從中隨機(jī)選取了12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，并測(cè)量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：12345678910111228.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5計(jì)算得：.（1）求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.（2）假設(shè)生長(zhǎng)了4年的紅松樹的樹干直徑近似聽(tīng)從正態(tài)分布.記大事：在森林公園內(nèi)再?gòu)闹须S機(jī)選取12棵生長(zhǎng)了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間.①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；②護(hù)林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)時(shí)，得出了如下結(jié)論：生長(zhǎng)了4年的紅松樹的樹干直徑近似聽(tīng)從正態(tài)分布.在這個(gè)條件下，求，并推斷護(hù)林員的結(jié)論是否正確，說(shuō)明理由.參考公式：若，則.參考數(shù)據(jù)：.10．（2025·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)于2025年9月23日至10月8日在杭州進(jìn)行，為弘揚(yáng)奧林匹克和亞運(yùn)精神，增加熬煉身體意識(shí)，某學(xué)校舉辦一場(chǎng)羽毛球競(jìng)賽．已知羽毛球競(jìng)賽的單打規(guī)章是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且連續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛球單打競(jìng)賽，依據(jù)以往甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員對(duì)陣的競(jìng)賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．（1）求第3回合由甲發(fā)球的概率；（2）①設(shè)第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數(shù)列；②已知：若隨機(jī)變量聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進(jìn)行n個(gè)回合競(jìng)賽后，甲的總得分的期望．1．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育競(jìng)賽，競(jìng)賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目競(jìng)賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．2．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)章如下：若命中則此人連續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃狀況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．3．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某爭(zhēng)辯小組經(jīng)過(guò)爭(zhēng)辯發(fā)覺(jué)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以大事發(fā)生的頻率作為相應(yīng)大事發(fā)生的概率．（1）當(dāng)漏診率％時(shí)，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．4．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在爭(zhēng)辯臭氧效應(yīng).試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只安排到試驗(yàn)組，另外20只安排到對(duì)比組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)比組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)表示指定的兩只小白鼠中安排到對(duì)比組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)比組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對(duì)比組試驗(yàn)組（ii）依據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.6355．（2025·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在爭(zhēng)辯臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只安排到試驗(yàn)組，另外20只安排到對(duì)比組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)比組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)比組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2