題型076類數(shù)列小題解題技巧（等差等比基本量、等差數(shù)列前n項和、等比數(shù)列前n項和、數(shù)列中最值問題、構(gòu)造常數(shù)列求通項、數(shù)列周期性的應用）技法01技法01求等差等比基本量的解題技巧技法02等差數(shù)列前n項和的解題技巧技法03等比數(shù)列前n項和的解題技巧技法04數(shù)列中最值問題的解題技巧技法05構(gòu)造常數(shù)列求通項的解題技巧技法06數(shù)列周期性的應用及解題技巧本節(jié)導航技法01求等差等比基本量的解題技巧近年來，高考中常考查等差等比數(shù)列的基本量的求解，求解等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的題型通常涉及通項公式和求和公式的使用，聯(lián)立方程求解即可合理運用基本量替換中間量，聯(lián)立方程組，求解方程即可求出基本量（2025·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則思路詳解：由于數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.1．（2025·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．思路詳解：由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.2．（2025·全國甲卷·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40思路詳解：由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.3．（2025·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3思路詳解：解：設等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意沖突，所以，則，解得，所以.故選：D.1．（2025·河南許昌·模擬猜測）記等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C．32 D．64【答案】D【分析】依據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列公比的平方，再結(jié)合項間關系求出.【詳解】由，得，則，設等比數(shù)列公比為，則，解得，所以.故選：D2．（2025·重慶·模擬猜測）已知等差數(shù)列滿足，則前項和.【答案】【分析】應用等差數(shù)列通項公式基本量運算求出通項，再應用等差數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】等差數(shù)列滿足，所以,計算得，所以，則前項和.故答案為：.3．（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）已知公比不為1的等比數(shù)列且成等差，則.【答案】【分析】由等差中項求得等比數(shù)列公比，再結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】∵成等差，∴，又是公比不為1的等比數(shù)列，∴，∴，．故答案為：．4．（2025·吉林·三模）正項遞增等比數(shù)列，前n項的和為，若，，則（

）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，且，所以或，因式數(shù)列是正項遞增數(shù)列，所以，，則.故選：A技法02等差數(shù)列前n項和的解題技巧等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)是等差數(shù)列的重點學問，也是新高考的重要考點，常在小題中進行考查，需生疏學問點強化復習.等差數(shù)列前n項和與函數(shù)關系令，，等差數(shù)列前項和公式是無常數(shù)項的二次函數(shù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，，……仍成等差數(shù)列為等差數(shù)列推導過程：（一次函數(shù)）為等差數(shù)列（2025·新課標Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件思路詳解：方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當時，上兩式相減得：，當時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C1．（2025·四川巴中·模擬猜測）已知是等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A．44 B．56 C．68 D．84思路詳解：由題意可得，，成等差數(shù)列，所以，由于，，則，解得.故選：D.2．（2025·廣東深圳·模擬猜測）已知等差數(shù)列和的前項和分別為、，若，則（）A． B． C． D．思路詳解：由于等差數(shù)列和的前項和分別為、，滿足，所以，又，故，故選：B1．（2025·陜西咸陽·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．30 B．58 C．60 D．90【答案】D【分析】借助等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)計算即可得.【詳解】由數(shù)列為等差數(shù)列，故、、、、亦為等差數(shù)列，由，，則，故，，，即有，，.故選：D.2．（2025·福建莆田·三模）設數(shù)列的前n項和為，則“是等差數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用等差數(shù)列求和性質(zhì)及定義結(jié)合充分、必要條件的定義判定選項即可.【詳解】由是等差數(shù)列，得，滿足充分性；反之，，只需，得不到是等差數(shù)列，不滿足必要性，則“是等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件.故選：A3．（2025·河北衡水·三模）已知數(shù)列均為等差數(shù)列，其前項和分別為，滿足，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】依據(jù)題意，利用得出數(shù)列的性質(zhì)和得出數(shù)列的求和公式，精確?????計算，即可求解.【詳解】由于數(shù)列均為等差數(shù)列，可得，且，又由，可得．因此.故選：A．技法03等比數(shù)列前n項和的解題技巧等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)是等比數(shù)列的重點學問，也是新高考的重要考點，常在小題中進行考查，需生疏學問點強化復習.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1），，……仍成等比數(shù)列（2）（2025·全國甲卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．思路詳解：【詳解1】令，則，由得，，即，解得.【詳解2】若，則由得，則，不合題意.所以.當時，由于，所以，即，即，即，解得.故答案為：1．（2025·新課標Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．思路詳解：【詳解】方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，由于，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與沖突，舍去．故選：C．2．（2025·上海閔行·三模）設是等比數(shù)列的前項和，若，，則.思路詳解：【詳解】由題意得，，由于，，，，成等比數(shù)列，故，即，解得，則，所以，，故.故答案為：1．（2025·江蘇·三模）設等比數(shù)列的前項和為，則（

）A．1 B．4 C．8 D．25【答案】A【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程求解即可.【詳解】由于，，所以，由于是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，所以，解得或（舍，若成立則不滿足上面三項成等比數(shù)列），故A正確.故選：A.2．（2025·江蘇揚州·模擬猜測）在正項等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】C【分析】由等比數(shù)列片段和照舊成等比數(shù)列，結(jié)合等比中項的性質(zhì)即可列式求解.【詳解】設正項等比數(shù)列的公比為，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，若，，則，所以，即，解得或（舍去）.故選：C.3．（2025·湖北襄陽·模擬猜測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或40【答案】A【分析】依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知片段和成等比數(shù)列，求出片段和等比數(shù)列公比即可得解.【詳解】由于，且，所以，，故，所以，即，解得或（舍去），由等比數(shù)列性質(zhì)可知，成等比數(shù)列，公比為所以，解得，故選：A技法04數(shù)列中最值問題的解題技巧數(shù)列中的最值是高考熱點，常見題型有求數(shù)列的最大項或最小項、與有關的最值、求解滿足特定條件的數(shù)列中n的最大值或最小值、求解滿足條件的參數(shù)的最大值或最小值、解決實際問題中的最值問題以及新定義題型中的最值問題等。解決數(shù)列的單調(diào)性問題可用以下三種方法：①用作差比較法，依據(jù)的符號推斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.②用作商比較法依據(jù)或與1的大小關系進行推斷③結(jié)合相應函數(shù)的圖象直觀推斷.若，則最大，若，則最小求等差數(shù)列前項和的最值，常用的方法：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性求出其正負轉(zhuǎn)折項，或者利用性質(zhì)求其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值利用等差數(shù)列的前項和為常數(shù))為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值另外，對于非等差數(shù)列常利用函數(shù)的單調(diào)性來求其通項或前項和的最值，已知等差數(shù)列的公差為,前項和為,①若有最小值，若,則最小，若,則最??；②若有最大值，若,則最大，若則最大（2025·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10思路詳解：在等差數(shù)列中，，由，可得，，，且數(shù)列為遞減數(shù)列，所以使得前n項的和最大的n值為8.故選：B.1．（2025·遼寧大連·一模）數(shù)列中，，若數(shù)列是等差數(shù)列，則最大項為（

）A． B．或 C． D．思路詳解：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列的首項為，公差為，所以，則，所以，則當時，，則；當時，，故此時數(shù)列單調(diào)遞減，則綜上，最大項為.故選：D.2．（2025·山西呂梁·三模）（多選）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為思路詳解：依據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當時，最大，故A錯誤由，可得到，所以，，所以，故C錯誤；由以上可得：，，而，當時，；當時，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當，或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：BD.3．（2025·湖北·二模）（多選）無窮等比數(shù)列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，思路詳解：，時，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒有最小值；，時，等比數(shù)列為搖擺數(shù)列，此時為大值，為最小值；，時，奇數(shù)項都相等且小于零，偶數(shù)項都相等且大于零，所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；，時，由于，所以無最大值，奇數(shù)項為負無最小值，偶數(shù)項為正無最大值.故選：BC1．（2025·江西·二模）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的首項均為，且，則數(shù)列（

）A．既有最大項又有最小項 B．只有最大項沒有最小項C．只有最小項沒有最大項 D．沒有最大項也沒有最小項【答案】A【分析】由題意先求出、的通項公式，進而求出的通項公式，當時，明顯奇數(shù)項都是負數(shù)，偶數(shù)項都是正數(shù)，構(gòu)造數(shù)列（），爭辯數(shù)列的增減性得出結(jié)論即可.【詳解】設的公差為d，的公比為q，則，；，，所以，，所以，當時，明顯奇數(shù)項都是負數(shù)，偶數(shù)項都是正數(shù)，設（），則，當時，，；當時，，，即數(shù)列從到遞增，從往后遞減，又，，，所以中，最大；又，，即，所以是最小項.故選：A.2．（2025·山東濟南·二模）已知是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，前項和為，若，當取最大值時，的最大值為（

）A．63 B．64 C．71 D．72【答案】C【分析】由于是定值，要使當取最大值時也取得最大值，需滿足前項是首相為，公差為的等差數(shù)列，通過計算的前項和與作比較，前項和與作比較即可得出的最大值.【詳解】由于是定值，要使當取最大值時也取得最大值，需滿足各項盡可能取到最小值，又由于是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以，即是首相為，公差為的等差數(shù)列，其中；的前項和為；當時，；當時，；又由于，所以的最大值為，此時，取得最大值為.故選：C.3．（2025·四川成都·模擬猜測）（多選）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則下列說法正確的是（

）A．當或10時，取得最大值 B．C．成立的n的最大值為20 D．【答案】AD【分析】依據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)分析的符號性，結(jié)合的符號性以及的性質(zhì)逐項分析推斷.【詳解】由于，則，且數(shù)列為等差數(shù)列，則，可得，即，又由于，可知：當時，；當時，；對于選項A：由可知，所以當或10時，取得最大值，故A正確；對于選項B：由于，故B錯誤；對于選項C：由的符號性可知：①當時，單調(diào)遞增，則；②當時，單調(diào)遞減；且，可知：當時，；當時，；所以成立的n的最小值為20，故C錯誤；對于選項D：由于，所以，故D正確；故選：AD.4．（2025·廣東·模擬猜測）（多選）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為【答案】ABD【分析】依據(jù)條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，，，由此可推斷ABC的真假；再由和時，，時，，再結(jié)合，的單調(diào)性可推斷D的真假.【詳解】由于，所以，由，所以，所以，所以.所以，當時，最大，故A正確；由，，所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確；由，且，所以，即，故C錯誤；由于當時，，，所以；當時，，，所以；當時，，，所以.且，，所以中最小項為，故D正確.故選：ABD.技法05構(gòu)造常數(shù)列求通項的解題技巧數(shù)列的遞推關系呈現(xiàn)出多種多樣的形式，求解數(shù)列通項的方法也各具特色，但求解通項的核心思想始終如一，即轉(zhuǎn)化和化歸。依據(jù)數(shù)列遞推關系的特征，我們可以合理轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，即可快速求解。構(gòu)造常數(shù)列的題在近年模擬題中越來越多，也是考向標的一種風向，能替代部分累加累乘，能做到快速求解.非零常數(shù)數(shù)列既是公比為1的等比數(shù)列也是公差為零的等差數(shù)列。在數(shù)列中，若對任意的正整數(shù)都有,則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，其通項公式為。在求某些遞推數(shù)列的通項公式時，若能構(gòu)造出一個新的常數(shù)數(shù)列，便能簡捷地求出通項公式。數(shù)列的前項和為，且滿足．求數(shù)列的通項公式思路詳解：由，得當時，，兩式相減得：，從而，即數(shù)列是常數(shù)列，因此，所以數(shù)列的通項公式是.1．已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式；思路詳解：【詳解1】由得,兩邊都乘以,得,由此知數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，又,所以,所以.【詳解2】由題意：

，，，，將代入上式也成立，1．若數(shù)列滿足，，則.【答案】【分析】由已知得，，由此利用累乘法能求出an．【詳解】數(shù)列{an}滿足，∴∴，，∴an＝，又時也滿足；故答案為．【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是基礎題，解題時要認真審題，留意累乘法的合理運用．2．已知數(shù)列，且，則的通項公式．【答案】【分析】由遞推關系可得為常數(shù)列，從而可求解.【詳解】由于，所以數(shù)列為常數(shù)列，所以，即.故答案為:.3．設數(shù)列滿足,且,求?！驹斀狻慨敃r，,即,兩邊都除以,得,由此知數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則,所以。技法06數(shù)列周期性的應用及解題技巧數(shù)列可以被視為一種特殊的函數(shù)。正如函數(shù)可能表現(xiàn)出周期性一樣，數(shù)列同樣可能呈現(xiàn)出周期性的特征。在數(shù)列問題中，周期現(xiàn)象是常見的，很多同學對此感到困惑，仿佛是難以捉摸的謎題。然而，實際上，解決周期性數(shù)列問題是有規(guī)律的．本題型也是高考的重點，需重點把握對于無窮數(shù)列假如存在一個正整數(shù),對于任意正整數(shù)恒有成立，則稱是周期為的周期數(shù)列。的最小值稱為最小正周期，簡稱周期（2025·全國乙卷·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．思路詳解：依題意，等差數(shù)列中，，明顯函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B1．已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．思路詳解：由于數(shù)列滿足，，，，，，由上可知，對任意的，，.故選：B.2．（2025·甘肅蘭州·一模）數(shù)列滿足，，則（

）A．5 B．4 C．2 D．1思路詳解：由于，，所以，，，，，，，，，又，所以.故選：B1．（2025·陜西安康·模擬猜測）在數(shù)列中，，若對，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】依據(jù)遞推公式得出,進而即可．【詳解】由與相減得：，即，又，故，所以.故選：A.2．（2025·遼寧·模擬猜測）數(shù)列中，，，，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】依據(jù)遞推公式代入檢驗可知數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，結(jié)合周期性分析求解即可.【詳解】由于，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：A.3．（2025·全國·模擬猜測）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前2025項的和為．【答案】1【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的項，再利用特殊角的三角函數(shù)值及數(shù)列的周期性，結(jié)合數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由于，，所以…，所以數(shù)列的各項依次為3，1，，，，2，3，1，，，，2，…，其周期為6．，，，，，，，，，，，，，，，…，所以數(shù)列是周期為12的周期數(shù)列，前12項依次為3，0，2，0，，0，，0，，0，1，0，其前項12的和為．又，所以數(shù)列的前2025項的和為等于前8項的和．故答案為：.一、單選/填空題1．（2025·山東·模擬猜測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則．【答案】【分析】由等比數(shù)列求和公式求得，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，明顯．由題意，得，即，所以．故答案為：.2．（2025·安徽·模擬猜測）設等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先依據(jù)題意得到，再解方程組求解即可.【詳解】由，得，解得，則．故選：C．3．（2025·四川內(nèi)江·三模）在等比數(shù)列中，為其前項和，若，則的值為（

）A．25 B．30 C．35 D．40【答案】C【分析】依據(jù)題意，由等比數(shù)列前項和的性質(zhì)，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由于為等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，可得，所以.故選：C4．（2025·山東青島·一模）若正項等差數(shù)列的前項和為，則的最大值為（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【分析】依據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值.【詳解】由于，所以，則又由于，所以，當且僅當時，等號成立；所以的最大值為25.故選：C5．（2025·河北石家莊·模擬猜測）若數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)由得，由得，可求出數(shù)列前6項均為負值，可得結(jié)論.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得，即；又，所以,因此數(shù)列的公差，且前6項均為負值，所以的最小值為前6項和，即為.故選：B.6．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項和.若，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)等差中項性質(zhì)以及等比數(shù)列前n項和公式代入計算可得結(jié)果.【詳解】設數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列可得，即，由于，所以，解得或（舍）；所以.故選：A7．（2025·貴州貴陽·三模）設數(shù)列的前項之積為，滿足，則（

）A． B．4049 C． D．【答案】C【分析】依據(jù)條件先證明出為等差數(shù)列，然后求解出的通項公式，由此可求結(jié)果.【詳解】由于，所以，所以，所以，所以是公差為的等差數(shù)列，由于，所以，所以，所以，故選：C.8．（2025·北京東城·一模）設等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】依據(jù)數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件、必要條件的定義即可解出.【詳解】由于，所以；當時，，此時明顯單調(diào)遞增，所以可以推出為遞增數(shù)列；當為遞增數(shù)列時，不妨取，此時為遞增數(shù)列，但不滿足，所以為遞增數(shù)列不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.9．（2025·廣東佛山·模擬猜測）設等差數(shù)列，的前項和分別為，，若對任意正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】C【分析】運用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前項和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，.故選：C.10．（2025·重慶·模擬猜測）已知等差數(shù)列和的前項和分別為，若，則（

）A． B．149 C．28 D．【答案】D【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)來計算求得正確答案.【詳解】依題意，和是等差數(shù)列，而，故可設，其中，所以，，.故選：D11．（2025·河南·模擬猜測）已知等差數(shù)列滿足，前8項和；公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，設，為數(shù)列的前項和，則當時，的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】求出等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，求得數(shù)列的通項公式，利用數(shù)列的分組求和法可得數(shù)列的前項和，驗證得答案．【詳解】設的公差為，由得，解得，所以.設的公比為，由，得，解得（舍）或，所以.由于，所以，則，由于對任意的，，所以數(shù)列單調(diào)遞增，又由于，，所以當時，，故的最大值是8.故選：D.二、多選題12．（2025·廣東·二模）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．B．C．當時，取得最小值D．記，則數(shù)列的前項和為【答案】BCD【分析】運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】由題意可設公差為，則有由有：，故A錯誤；故B正確；，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，取得最小值，故C正確；由于，所以所以為等差數(shù)列，公差為4，首項為，所以的前項和為：故D正確.故選：BCD.13．（2025·四川眉山·一模）已知數(shù)列滿足，，且，則（

）A． B．C．當時， D．【答案】ACD【詳解】依據(jù)三角恒等變換計算得，再利用累乘法求得數(shù)列的通項公式為推斷AB；依據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性推斷C；由同角三角函數(shù)之間的基本關系，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性推理D.【分析】對于B，由，得，即，整理得，當時，，滿足上式，因此，B錯誤；對于A，，即，又，解得，A正確；對于C，當時，，又，因此，即，C正確；對于D，由，得，又，，因此，令函數(shù)，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，因此，即，D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用三角函數(shù)恒等變換以及累乘法得出數(shù)列滿足，再依據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性以及平方關系計算可得相應結(jié)論.14．（2025·河南·模擬猜測）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，則（

）A． B．C．數(shù)列的前項和為 D．的最小值為【答案】AD【分析】依據(jù)的關系式可得，即A正確，再由分組并項求和計算可得B錯誤，利用等差數(shù)列前項和公式計算可得C錯誤，由推斷出其符號即可得D正確.【詳解】對于A，由，得①，當時，；當時，②，由①－②，得，解得，當時也成立，所以，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，數(shù)列的前項和為，故C錯誤；對于D，由于，當時，，當時，，且，故當或9時，的前項和取最小值，最小值為，故D正確.故選：AD.15．（2025·安徽·模擬猜測）已知是數(shù)列的前項和，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．數(shù)列是等差數(shù)列 B．數(shù)列是遞增數(shù)列C． D．【答案】BCD【分析】利用與的關系，結(jié)合數(shù)列增減性的推斷、等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得解.【詳解】由于，當時，，解得；當時，，則，整理得，則，所以是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故A錯誤，則數(shù)列是遞增數(shù)列，故B正確，且，，故CD正確.故選：BCD.16．（2025·安徽黃山·二模）已知數(shù)列滿足：，其中，下列說法正確的有（

）A．當時，B．當時，數(shù)列是遞增數(shù)列C．當時，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則D．當時，【答案】ACD【分析】依據(jù)可得，即可迭代求解A，依據(jù)，時，可得為常數(shù)列，即可推斷B；依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，證出當時，從而推斷出數(shù)列的單調(diào)性，建立關于的一元二次不等式，解出首項的取值范圍，推斷出C項的正誤；當，時，依據(jù)遞推關系證出，從而可得，由此推導出，進而利用等比數(shù)列的求和公式證出，從而推斷出D項的正誤．【詳解】對于A，當時，，又，故，所以，故A項正確．對于B，由于且，所以，當，時，，此時數(shù)列是常數(shù)列，故B項錯誤；對于C,由于數(shù)列是遞增數(shù)列,當時，故，，故，所以，即，解得或，故C項正確；對于D,當時，，結(jié)合，可知，，，結(jié)合，可知是遞增數(shù)列，，則，即，所以，即，所以，當時，，所以，可得，故D項正確；故選：ACD．【點睛】方法點睛：遞推關系式轉(zhuǎn)化的常見形式（1）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（2）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（3）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（4）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（5）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．（6）轉(zhuǎn)化為常數(shù)，則數(shù)列是等差數(shù)列．17．（2025·江西宜春·模擬猜測）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項和為，則（

）A．當時，若遞增，則或B．當時，數(shù)列是遞增數(shù)列C．當，時，D．當，時，【答案】BC【分析】依據(jù)建立關于的一元二次不等式，解出首項的取值范圍，推斷出A項的正誤；依據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，證出當時，從而推斷出數(shù)列的單調(diào)性，得出B項的正誤；當，時，依據(jù)遞推關系證出，從而可得，由此推導出，進而利用等比數(shù)列的求和公式證出，推斷出C項的正誤；當，時，利用遞推公式與不等式的性質(zhì)，計算出，從而推斷出D項的正誤．【詳解】對于A，若且數(shù)列是遞增數(shù)列，當時，，由可得，又是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，解得或，故A項錯誤；對于B，由于且，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列，故B項正確；對于C，當時