題型03函數(shù)的基本性質解題技巧技法01技法01利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值技法02求“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值技法03求“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)的值技法04函數(shù)周期性的應用及解題技巧技法05函數(shù)對稱性的應用及解題技巧技法06函數(shù)4大性質的綜合應用及解題技巧本節(jié)導航技法01利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值縱觀歷年考題，函數(shù)的奇偶性始終是函數(shù)及其高考中的重要考點。把握奇偶性的定義至關重要，若能嫻熟把握奇偶性的相關運算，便能有效提升解題速度，實現(xiàn)快速求解。奇偶性的運算與指數(shù)函數(shù)相關的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（，且）為偶函數(shù)，，（，且）為奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)和，（，且）為其定義域上的奇函數(shù)為偶函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相關的奇函數(shù)和偶函數(shù)，（且）為奇函數(shù)，，（且）為奇函數(shù)（2025·全國新Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）．A． B．0 C． D．1思路點撥：利用函數(shù)奇偶性的運算及結論求解即可思路詳解：【法一】為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則【法二】查找必要條件，特值，例，略【法三】定義法，略1．（2025·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.思路詳解：【法一】為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，而為偶函數(shù)，則【法二】查找必要條件，特值，例，略【法三】定義法，略2．（2025·陜西安康·模擬猜測）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．思路詳解：【法一】為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，由結論可知，則【法二】查找必要條件，特值，例，略【法三】定義法，略1．（2025·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】依據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】由于為偶函數(shù)，則，又由于不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.2．（2025·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】由于為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.3．（2025·湖北·模擬猜測）若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】【分析】依據(jù)偶函數(shù)的定義得，代入化簡即得值.【詳解】由于為偶函數(shù)，所以，即，即，即，所以，故答案為：技法02求“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值在模擬考試和高考中，我們經常會遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”類型的問題。假如能夠嫻熟把握相關的本質結論以及奇偶函數(shù)的性質，那么求解最大值和最小值可秒解。在定義域內，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，則最大值，最小值有即倍常數(shù)已知分別是函數(shù)++1的最大值、最小值，則思路點撥：利用結論求解即可思路詳解：倍常數(shù)=2【法二】1．已知，設函數(shù)的最大值是，最小值是，則（

）A． B．C． D．思路詳解：所以為奇函數(shù)，為奇函數(shù)由結論可知【法二】2．已知函數(shù)是不為0的常數(shù)），當時，函數(shù)的最大值與最小值的和為（

）A． B．6 C．2 D．思路詳解：，由結論可知最大值與最小值的和為6【法二】最大值+最小值1．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值?最小值分別為?，則的值為（

）A．2 B．0 C． D．3【答案】C【解析】化簡函數(shù)，得到，構造新函數(shù)，得出函數(shù)為奇函數(shù)，求得最大值與最小值之和為0，進而依據(jù)和的值域相同，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，設在上的最大值為，最小值為，則，由于和的值域相同，即的最大值與的最大值相同，最小值也相同，所以，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應用，函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的最值的求解，其中解答中合理構造新函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性求得最大值和最小值的關系是解答的關鍵，著重考查推理與運算力量.2．函數(shù)在區(qū)間內的最大值為M，最小值為N，其中，則．【答案】6【分析】把分別常數(shù)變形，再推斷為奇函數(shù)，最終利用奇函數(shù)的對稱性求出結果.【詳解】由題意可知，，設，的定義域為，所以，所以為奇函數(shù)，所以，所以故答案為：3．函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則．【答案】1【分析】將函數(shù)解析式邊形為，設，則，記，由奇函數(shù)的定義得出為奇函數(shù)，得出在的最值，結合，即可求出．【詳解】，設，則，記，由于，所以是在上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，所以，又由于，所以，故答案為：1．技法03求“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)的值在模擬考試和高考中，我們經常會遇到“奇函數(shù)+常函數(shù)”的題目類型。假如能夠嫻熟把握相關的本質結論以及奇偶函數(shù)的性質，那么對于表達式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。在定義域內，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，有即倍常數(shù)（全國·高考真題）已知函數(shù)，，則．思路點撥：利用結論求解即可思路詳解：在定義域內為奇函數(shù)所以倍常數(shù)=2，解得1．已知，且，則.思路詳解：1．若定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，設，且，則的值為．【答案】【分析】依據(jù)為奇函數(shù)得到的對稱中心為，再結合得到的對稱中心為，然后利用對稱性求即可.【詳解】由可得，由于為奇函數(shù)，所以的對稱中心為，則的對稱中心為，又，則.故答案為：-5.2．函數(shù)，且，則的值為.【答案】0【分析】構造，得到為奇函數(shù)，從而依據(jù)得到，由求出.【詳解】令，定義域為或且，關于原點對稱，則，故為奇函數(shù)，又，故，解得.故答案為：0技法04函數(shù)周期性的應用及解題技巧縱觀歷年考題，函數(shù)的周期性是函數(shù)及高考的重要考點。把握周期性的定義至關重要，若能嫻熟把握周期性的運算規(guī)章，則可以顯著提高解題速度，實現(xiàn)快速求解。①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）⑤，周期為，，周期為⑥，周期為，周期為；，周期為；，周期為⑦復合函數(shù)：的周期為，則的周期也為⑧若的周期為，則、的周期均為（2025·河南駐馬店·模擬）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A．0 B． C．253 D．506思路點撥：利用結論求解即可思路詳解：【詳解】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，所以，又，則，所以，所以函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，又，則，所以，所以.故選：A.1．（2025·山西臨汾·三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則．思路詳解：令，則，由于，所以，令，則，得，令，則，即，所以，所以所以，所以，即，是以6為周期的周期函數(shù)，所以2．（2025·四川德陽·一模）定義在R上的函數(shù)滿足，則下列結論正確的有（

）A． B．為奇函數(shù)C．6是的一個周期 D．思路詳解：【詳解】該函數(shù)滿足且，對于A，令，可得，解得，故A正確；對于B，令，，所以f?x=fx，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，令，，可得，令，可得，將兩式相加得：，所以，所以，所以，因此，6是的一個周期，故C正確；對于D，令，，，所以，所以，由于，，由于，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由于6是的一個周期，所以，所以，故D正確；故選：ACD1．（2025·四川·模擬猜測）已知函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意先賦值代入等量關系式求出，再賦值得，進而依據(jù)此計算規(guī)章逐步求出，即求出是周期為6的周期函數(shù)，再依據(jù)此計算規(guī)章結合和求出，進而結合周期即可求解.【詳解】取代入，得即，由題解得，令代入得，故，所以是周期為6的周期函數(shù)，又，，所以，所以，故選：D.【點睛】思路點睛：依次賦值和代入分別得到和，再依據(jù)所得條件推出即函數(shù)周期為6和，進而依據(jù)周期性和即可求解.2．（2025·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：依據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質由于，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．由于，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用生疏的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質解題，簡潔明白，是該題的最優(yōu)解.3．（2025·廣東韶關·一模）若為函數(shù)的導函數(shù)，對任意的，恒有，且，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．若，則【答案】ABD【分析】對于A，令求解即可；對于B，令得即可推斷；對于C，令得，推斷出為偶函數(shù)即可做出推斷；對于D，通過賦值法，分別求出，發(fā)覺具有周期性，再利用周期性求解即可.【詳解】原式移項得，即對于A，令，則由可得，故（舍去）或，故A正確：對于B，令，則，故.由于x∈R，令，則，所以，即有，故B正確：對于C，令，則，即，由于，所以，所以為偶函數(shù)，對左右兩邊同時求導得，所以為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，由A選項，若，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，令，則，即，由此可得的值有周期性，且周期為6，且，故，故D正確.故選：ABD.【點睛】結論點睛：若，的定義域均為，且，則：（1）若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)；若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)，反之未必成立.（2）若為周期函數(shù)，則也是周期函數(shù)，且周期相同，反之未必成立.技法05函數(shù)對稱性的應用及解題技巧縱觀歷年來的考題，函數(shù)的對稱性始終是高考數(shù)學中函數(shù)部分的重要考察點。把握對稱性的定義是解題的基礎，而生疏對稱性的運算方法則能有效提升解題速度，實現(xiàn)快速而精確?????的解答。軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為（全國·高考真題）已知函數(shù)，則A．在（0，2）單調遞增 B．在（0，2）單調遞減C．的圖像關于直線x=1對稱 D．的圖像關于點（1，0）對稱思路點撥：利用對稱性結論求解即可思路詳解：，所以的圖象關于直線對稱1．（全國·高考真題）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為則A．0 B． C． D．思路詳解：【詳解】[方法一]：直接法.由得關于對稱，而也關于對稱，∴對于每一組對稱點，∴，故選B．[方法二]：特值法.由得不妨設由于，與函數(shù)的交點為∴當時，，故選B．[方法三]：構造法.設，則，故為奇函數(shù).設，則，故為奇函數(shù).∴對于每一組對稱點.將，代入，即得∴，故選B．1．（2025·陜西商洛·模擬猜測）已知為奇函數(shù)，則（

）A． B．14 C． D．18【答案】D【分析】先依據(jù)條件得到的對稱中心，再依據(jù)對稱性求和即可.【詳解】由于為奇函數(shù)，所以，即，故的對稱中心為，即，所以，又，即，所以.故選：D2．（2025·江西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意，可得關于對稱，進一步求得，結合條件求得，可求得.【詳解】由，可知關于對稱，又，則，又，則，，.故選：A.技法06函數(shù)4大性質的綜合應用及解題技巧近年高考題中，經常把函數(shù)的基本性質結合在一起綜合考查，常見的有對稱性和周期性結合，奇偶性和周期性結合，把握相關技巧后，可以做到快速求解，常在小題中使用.周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：（2025·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．思路點撥：利用函數(shù)的性質綜合求解即可思路詳解：由于函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.1．（2025·全國·高考真題）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，．若，則（

）A． B． C． D．思路詳解：【詳解】[方法一]：由于是奇函數(shù)，所以①；由于是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：由于是奇函數(shù)，所以①；由于是偶函數(shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．2．（2025·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．思路詳解：由于的圖像關于直線對稱，所以，由于，所以，即，由于，所以，代入得，即，所以，.由于，所以，即，所以.由于，所以，又由于，聯(lián)立得，，所以的圖像關于點中心對稱，由于函數(shù)的定義域為R，所以由于，所以.所以.故選：D3．（2025·全國·高考真題）（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．思路詳解：【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關系爭辯對于，由于為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；對于，由于為偶函數(shù)，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，由于其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，明顯A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：由于，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.1．（2025·河北·模擬猜測）已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，，則肯定正確的是（

）A．的周期為2 B．圖象關于直線對稱C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】D【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性、對稱性及周期性對選項逐一分析即可.【詳解】為奇函數(shù)，得，即，則為奇函數(shù)，故C錯誤；且圖象關于點中心對稱，故B錯誤；可知，函數(shù)周期為4，故A錯誤；，又圖象關于點中心對稱，知，所以，得關于點對稱，則關于點對稱，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：D.2．（2025·廣東河源·模擬猜測）已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且的圖象關于直線對稱，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】依據(jù)奇函數(shù)性質、對稱性求得、、，進而有，再確定的周期，利用周期性求函數(shù)值的和.【詳解】由為奇函數(shù)，知的圖象關于點對稱，則，由，得．由的圖象關于直線對稱，則的圖象關于直線對稱，所以，，綜上，，由上，，得，所以，則4為的一個周期，所以.故選：C【點睛】關鍵點點睛：依據(jù)函數(shù)的奇偶性、對稱性求函數(shù)值，并確定周期為關鍵.3．（2025·安徽·模擬猜測）已知函數(shù)的定義域均為，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】方法一：利用抽象函數(shù)的奇偶性和相關條件推導出函數(shù)的周期性、對稱性等基本性質，逐一對選項進行分析推斷；方法二：依題意構造函數(shù)法.依題意，可設，則，一一對選項進行計算、驗證即得.【詳解】方法一:（函數(shù)性質推斷法）由fx?1為偶函數(shù)，得①．由為奇函數(shù)，得．又，則②．則由①，（*），由②，，故得．把取成，得③，于是，，即函數(shù)的周期為2，故B錯誤；又由于R上的奇函數(shù)，則，的周期為2，則，故A錯誤；由③得，，即，故．由于奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，故C正確；由（*），，得，即為偶函數(shù)，又，所以為偶函數(shù)，故D錯誤.方法二：（構造函數(shù)法）依題意，可設，則為偶函數(shù)，由為奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域均為R，對于A，，排解A；對于B，明顯的最小正周期是2，排解B；對于C，是奇函數(shù)，故C正確；對于D，，明顯是偶函數(shù)，排解D.故選：C.4．（2025·河南·二模）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A．是周期函數(shù)B．C．的圖象關于直線對稱D．【答案】ABC【分析】對于A，由已知，可得，則的周期為4，即可推斷；對于B，令，可得，則，即可推斷；對于C，由已知，可得函數(shù)關于對稱，關于對稱，則的的圖象關于直線對稱，即可推斷；由已知，得，，代值可推得，即可推斷.【詳解】由可得，所以，所以的周期為4，故A正確；由，令，則，所以，又，故B正確；由，可知函數(shù)關于對稱，又的周期為4，則，所以，即函數(shù)關于對稱，則的圖象關于直線對稱，故C正確；由，且關于對稱，則，所以，又，且，則，又，所以，，故D錯誤.故選：ABC.1．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】令，利用函數(shù)奇偶性計算作答.【詳解】設，則，即函數(shù)是奇函數(shù)，，則，而所以.故選：C2．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則．【答案】6【分析】設，分析可知為奇函數(shù)，依據(jù)奇函數(shù)的對稱性分析求解.【詳解】設，則的定義域為，且連續(xù)不斷，由，可知為奇函數(shù)，設在上的最大值為，由奇函數(shù)的對稱性可知在上的最小值為，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以.故答案為：6.3．已知關于函數(shù)在上的最大值為，最小值，且，則實數(shù)的值是.【答案】【分析】先利用常數(shù)分別法化得函數(shù)，再構造函數(shù)，推斷得為奇函數(shù)，從而利用奇函數(shù)的性質求解即可.【詳解】由于，，令，，則，由于定義域關于原點對稱，，所以是在上的奇函數(shù)，故由奇函數(shù)的性質得，所以，所以，則.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：由于奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，所以其最大值與最小值也關于原點對稱，這一性質是解決本題的關鍵所在.4．（2025·全國·模擬猜測）（多選）已知函數(shù)的定義域為，滿足且對任意的，有，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】B選項，賦值得到；C選項，令，結合得到，故C正確；A選項，中，賦值得到，題目條件中令得到；D選項，求出函數(shù)的周期為，并且，從而求出D正確.【詳解】B選項，，令得，由于，所以，故B正確：C選項，令得，即，所以，故C正確；A選項，由C選項知，，故，中，令得，解得，故A錯誤；D選項，中，令得①，中，將換成得②，①②兩式相加得，即，則，所以．故函數(shù)的周期為，由得，由得，故，所以，故D正確.故選：BCD．【點睛】學問點點睛：設函數(shù)y=fx，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關于點對稱，又關于點對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關于直線對稱，又關于點對稱，則函數(shù)的周期為；5．（2025·新疆·一模）已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，，則.【答案】【分析】依據(jù)所給條件推出為偶函數(shù)且周期為，再求出、、，最終依據(jù)周期性計算可得.【詳解】由于，所以，所以，又，所以，即，即，所以為偶函數(shù)，所以，所以，所以的周期為，又，，所以，，，則，，所以，又，所以.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是由題干所給條件推出的奇偶性與周期性.6．（2025·河南濮陽·模擬猜測）（多選）已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，且為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．是周期函數(shù) D．【答案】ACD【分析】令，可判定A正確；令，得到，可判定B錯誤；依據(jù)題意，推得，得到的周期為，令，求得，結合函數(shù)的周期性，求得，可判定D正確．【詳解】對于A，由對于任意都滿足，令，則，所以A正確；對于B，令，可得，即，所以函數(shù)關于點對稱，所以B錯誤；對于C，又由為偶函數(shù)知關于直線對稱，即，可得，則，所以，所以函數(shù)的周期為，故C正確；對于D，令，則，可得，所以，所以D正確．故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：推斷D選項的關鍵是得出函數(shù)的周期為，并利用函數(shù)性質求出，由此即可順當?shù)媒?7．（2025·廣東茂名·一模）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，且函數(shù)為偶函數(shù)，則下面說法肯定成立的是（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關于對稱 D．【答案】AC【分析】選項C，由于函數(shù)f2x+1為偶函數(shù)，得到，進而替換變量得到，推斷即可；選項A，由于，變量替換后得到，結合已知fx+2+fx=0，即可推斷奇偶性；選項B，已知fx+2+fx=0，得到fx+2=?fx，變量替換后得到，得到函數(shù)的周期性，進而求得結果；選項D，已知fx+2+fx【詳解】對于選項C，f2x+1是偶函數(shù)，得：，將替換為，得：，所以函數(shù)關于直線對稱，選項C正確；對于選項A，由于，將替換為，得：，又由于fx+2+fx，∴fx是奇函數(shù)，選項A正確；對于選項B，，將替換為，得：fx+4=?fx+2又由于是奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域為R，，，選項B錯誤.對于選項D，由已知fx+2分別代入，得：，f2+f4，同時4為的周期，，選項D錯誤.故選：AC.8．（2025·河南·一模）（多選）已知定義在上的函數(shù)，，其導函數(shù)分別為，，，，且，則（

）A．的圖象關于點中心對稱 B．C． D．【答案】BCD【分析】先依據(jù)條件分析出的周期性和對稱性，再得到的周期性，依據(jù)函數(shù)性質即可得結果.【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關于點成中心對稱，故A錯誤；由②，②式兩邊對求導可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；由于，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，兩邊求導可得，所以，故C正確；由于，令，則，