2025－2026學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)寫在答題卡上．將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無(wú)效．4.考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（）A. B. C. D.23.如圖，在空間中平移到，連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．設(shè)，，，是的中點(diǎn)，則用向量，，表示為（）A. B. C. D.4.對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.5.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.6.一種衛(wèi)星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形狀為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處．已知接收天線的口徑（直徑）為6米，深度為1米，那么拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A米 B.米 C.米 D.米7.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)恰有三個(gè)，則的值為（）A. B. C. D.8.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法－商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球??設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則的值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，方程表示曲線可以是（）A圓 B.兩條直線C.焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確是（）A. B.點(diǎn)在平面內(nèi)C.三角形的面積為 D.三棱錐的體積為11.已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切于點(diǎn)，與圓內(nèi)切于點(diǎn)．記圓心的軌跡為曲線，若曲線與軸的交點(diǎn)為，曲線上任意一點(diǎn)（與不重合）關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線的方程為B.最小值為C.D.直線與直線斜率的乘積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分；共15分．12.拋物線上與焦點(diǎn)距離等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．13.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，公比為，，，成等差數(shù)列．則______．14.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，且它們?cè)诘诙笙薜墓颤c(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線交軸于點(diǎn)，且平分，則雙曲線的離心率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．16.已知圓經(jīng)過(guò)，，并且圓心在軸上．（1）求圓的方程；（2）記圓，求圓與圓的公共弦所在直線方程；并求得公共弦長(zhǎng)．17.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，．，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面：（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的正弦值．18.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列：（2）求；（3）令，證明：．19.橢圓，曲線恰好經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，，直線，分別與另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)，（ⅰ）證明：；（ⅱ）記，的面積分別是，，求的最小值，并求出取得最小值時(shí)，直線的方程．2025－2026學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.考生答卷前，務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)寫在答題卡上．將條形碼粘貼在規(guī)定區(qū)域．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.做選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在本試卷上無(wú)效．3.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的規(guī)定區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無(wú)效．4.考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率之間的關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榈男甭?，所以其傾斜角為30°.故選：A.2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】運(yùn)用代入法判斷數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，，所以該?shù)列的周期為，因此.故選：D3.如圖，在空間中平移到，連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．設(shè)，，，是的中點(diǎn)，則用向量，，表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法和中點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)表示即可.詳解】.故選：A4.對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上等軸雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程，則，求解可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即.故選：C.5.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用中位線將與平移到一個(gè)平面內(nèi)，然后求線段長(zhǎng)，求其夾角或其補(bǔ)角.【詳解】設(shè)正三棱柱中，，則，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接、、，如圖，，且，，且，(或其補(bǔ)角)就是異面直線與所成的角.在中，，，，故.同理，在中，，，，故.過(guò)作于，連接，，故是中點(diǎn)，所以，又，所以在中：，，，所以是等腰三角形，且.所以與所成的角為其補(bǔ)角.故選：B.6.一種衛(wèi)星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形狀為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處．已知接收天線的口徑（直徑）為6米，深度為1米，那么拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】先建立合適的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)已知條件確定拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求出的值，最后根據(jù)拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離與的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為.已知接收天線的口徑為6米，深度為1米，那么拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為.代入拋物線方程，得，.所以拋物線的焦點(diǎn)到拋物線的頂點(diǎn)距離為米.故選：B7.若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)恰有三個(gè)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得點(diǎn)到直線的距離為1，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，圓心為，半徑為，因?yàn)閳A上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以點(diǎn)到直線的距離為，即，解得.故選：D8.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法－商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球??設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】列舉出的取值，通過(guò)找規(guī)律找出具體的取值規(guī)律得出通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)法求和.【詳解】由題可知；；；；所以，所以=2.所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，方程表示的曲線可以是（）A.圓 B.兩條直線C.焦點(diǎn)在軸上的橢圓 D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線【答案】AB【解析】【分析】通過(guò)對(duì)參數(shù)在區(qū)間內(nèi)的不同取值情況進(jìn)行分類，將方程化為不同曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，進(jìn)而判斷曲線類型.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，即，表示兩條平行于軸的直線，當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)?，表示一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)時(shí)，方程可化為，因?yàn)?，所以，此時(shí)方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，當(dāng)時(shí)，方程可化為，這符合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，綜上所述，當(dāng)在內(nèi)變化時(shí)，方程可以表示圓、兩條直線、焦點(diǎn)在軸上的橢圓或焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.對(duì)比選項(xiàng)可知，該方程表示的曲線可以是圓或兩條直線.故選：AB.10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.點(diǎn)在平面內(nèi)C.三角形的面積為 D.三棱錐的體積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解AC，根據(jù)，即可求解B，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式求解點(diǎn)面距離，即可根據(jù)錐體體積公式求解D.【詳解】由于,故，即，則，A正確，由于，故共面，因此在平面內(nèi)，B正確，由可知三角形為直角三角形，，故其面積為，C錯(cuò)誤，設(shè)平面的法向量為，則令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離，故三棱錐的體積為，D正確，故選：ABD11.已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切于點(diǎn)，與圓內(nèi)切于點(diǎn)．記圓心的軌跡為曲線，若曲線與軸的交點(diǎn)為，曲線上任意一點(diǎn)（與不重合）關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線的方程為B.的最小值為C.D.直線與直線斜率的乘積為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓的定義即可得到曲線的方程，判斷選項(xiàng)A，利用橢圓的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)BC，設(shè)坐標(biāo)，表示出直線與直線斜率的乘積，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，，，圓半徑為，圓半徑為，設(shè)，圓半徑為，則，，所以，所以點(diǎn)軌跡即曲線為以為焦點(diǎn)的橢圓，且點(diǎn)不能在該橢圓的左頂點(diǎn)處，其中，，所以曲線的方程為，A錯(cuò)誤；又即為的補(bǔ)角，所以最小時(shí)，最大，而最大時(shí)，點(diǎn)在曲線的上頂點(diǎn)處，所以，所以，B正確；由上述可得，即，C錯(cuò)誤；由題知，，設(shè)，則，所以，又，即，所以，D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分；共15分．12.拋物線上與焦點(diǎn)距離等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．【答案】或【解析】【分析】由拋物線焦半徑公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)拋物線上與焦點(diǎn)距離等于5的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線焦半徑公式得，，即，代入拋物線方程可得，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為：.故答案為：或.13.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，公比為，，，成等差數(shù)列．則______．【答案】##【解析】【分析】由，利用等比數(shù)列求和公式列方程求解即可.【詳解】當(dāng)，，，，顯然，，不能成等差數(shù)列，所以，由，，成等差數(shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)方程可得：，由且，解得.故答案為：.14.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，且它們?cè)诘诙笙薜墓颤c(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線交軸于點(diǎn)，且平分，則雙曲線的離心率是______．【答案】##【解析】【分析】先由橢圓求公共焦點(diǎn)，利用角平分線定理得，并結(jié)合分點(diǎn)坐標(biāo)求橫坐標(biāo)；再根據(jù)橢圓定義和距離公式聯(lián)立得，的方程組；最后解方程組得線段長(zhǎng)，由雙曲線定義求，并代入求出離心率即可.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，得，故雙曲線焦點(diǎn)為、，所以，設(shè)，，因?yàn)槠椒?，所以由角平分線定理：，又因?yàn)?，所以，即分的比為，因?yàn)樵谳S上，橫坐標(biāo)為，由分點(diǎn)坐標(biāo)公式：，解得，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，兩式平方相減消去：，化簡(jiǎn)得，代入，得，即，則，解得，，所以，得，所以，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）（2），-25【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差，即可由通項(xiàng)公式求解.（2）求解的表達(dá)式，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知，解得．所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．16.已知圓經(jīng)過(guò)，，并且圓心在軸上．（1）求圓的方程；（2）記圓，求圓與圓的公共弦所在直線方程；并求得公共弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2），．【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合線段的中垂線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）兩個(gè)圓的方程相減得到相交弦方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由于的中點(diǎn)為且，所以的中垂線的斜率為．所以的中垂線方程為．因?yàn)閳A心在的中垂線上且在軸上，所以令，則．所以圓心．圓的半徑，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】將兩圓方程聯(lián)立，兩式相減得，所以公共弦所在方程為，由于到直線的距離為，所以公共弦的長(zhǎng)為．17.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，．，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面：（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量運(yùn)算得出線線垂直，即可得出線面垂直；（2）利用向量得出，即可證明；（3）求出平面法向量，利用二面角的向量求法得解.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，依題意得，，，，，，故．所以．由已知，且，、平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】證明：由，，故，由（1）知為平面的法向量，由，則，顯然平面，所以平面．【小問(wèn)3詳解】設(shè)平面的法向量為，則，可取，平面的一個(gè)法向量為，則．設(shè)平面與平面的夾角為，所以平面與平面的夾角的正弦值為18.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列：（2）求；（3）令，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，可先根據(jù)等比數(shù)列的定義，再通過(guò)對(duì)已知遞推公式進(jìn)行變形，得到為常數(shù)；（2）先根據(jù)（1）求出