北京市匯文中學(xué)2026屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.2．已知點，，直線：與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.3．已知則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式解集是A. B.C. D.5．為了調(diào)查全國人口的壽命，抽查了11個?。ㄊ校┑?500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個體C.樣本 D.樣本容量6．設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.8．若任取，則x與y差的絕對值不小于1的概率為（）A. B.C. D.9．曲線與曲線（）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等10．設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.11．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.12．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.14．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________15．某位同學(xué)參加物理、化學(xué)、政治科目的等級考，依據(jù)以往成績估算該同學(xué)在物理、化學(xué)、政治科目等級中達(dá)的概率分別為假設(shè)各門科目考試的結(jié)果互不影響，則該同學(xué)等級考至多有1門學(xué)科沒有獲得的概率為___________.16．從某校隨機(jī)抽取某次數(shù)學(xué)考試100分以上（含100分，滿分150分）的學(xué)生成績，將他們的分?jǐn)?shù)數(shù)據(jù)繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學(xué)生的成績，則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新冠疫情下，有一學(xué)校推出了食堂監(jiān)管力度的評價與食品質(zhì)量的評價系統(tǒng)，每項評價只有合格和不合格兩個選項，師生可以隨時進(jìn)行評價，某工作人員利用隨機(jī)抽樣的方法抽取了200位師生的信息，發(fā)現(xiàn)對監(jiān)管力度滿意的占75%，對食品質(zhì)量滿意的占60%，其中對監(jiān)管力度和食品質(zhì)量都滿意的有80人.（1）完成列聯(lián)表，試問：是否有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)？監(jiān)督力度情況食品質(zhì)量情況對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質(zhì)量滿意80對食品質(zhì)量不滿意總計200（2）為了改進(jìn)工作作風(fēng)，針對抽取的200位師生，對監(jiān)管力度不滿意的人抽取3位征求意見，用X表示3人中對監(jiān)管力度與食品質(zhì)量都不滿意的人數(shù)，求X的分布列與均值.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：①當(dāng)時，有90%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián)；②當(dāng)時，有95%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián)；③當(dāng)時，有99%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián).18．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且___________.（1）求角的大?。唬?）已知，，點在邊上，且，求線段的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列前項和為.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)的前項和為，令，求證：.20．（12分）已知橢圓：經(jīng)過點，設(shè)右焦點F，橢圓上存在點Q，使QF垂直于x軸且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于D，G兩點.是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點E（-1，0）?若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.21．（12分）已知橢圓的一個頂點恰好是拋物線的焦點，橢圓C的離心率為.（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）從橢圓C在第一象限內(nèi)的部分上取橫坐標(biāo)為2的點P，若橢圓C上有兩個點A，B使得的平分線垂直于坐標(biāo)軸，且點B與點A的橫坐標(biāo)之差為，求直線AP的方程.22．（10分）已知函數(shù)（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.2、A【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：A.3、A【解析】先解不等式，再比較集合包含關(guān)系確定選項.【詳解】因為，所以是的充分不必要條件，選A.【點睛】本題考查解含絕對值不等式、解一元二次不等式以及充要關(guān)系判定，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】設(shè)．由，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．由為奇函數(shù)，所以．不等式等價于，即，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，從而不等式的解集為，故答案為B.考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【方法點晴】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，閱讀分析問題的能力，屬于中檔題．常見的構(gòu)造思想是使含有導(dǎo)數(shù)的不等式一邊變?yōu)椋吹?，?dāng)是形如時構(gòu)造；當(dāng)是時構(gòu)造，在本題中令，（），從而求導(dǎo)，從而可判斷單調(diào)遞減，從而可得到不等式的解集5、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.6、C【解析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件；對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負(fù)項，，即，或，即，當(dāng)時，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，當(dāng)時，有，即，是嚴(yán)格遞增數(shù)列，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選：C7、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C8、C【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中分析以及與差的絕對值不小于1所對應(yīng)的平面區(qū)域，求出其面積，由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，其對應(yīng)的區(qū)域為正方形，其面積，若與差的絕對值不小于1，即，即或，對應(yīng)的區(qū)域為圖中的陰影部分，其面積為，故與差的絕對值不小于1的概率.故選：C9、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距，即可判斷.【詳解】曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對照選項可知：焦距相等.故選：D.10、D【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義判斷.【詳解】因為命題是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即，故選：D11、A【解析】分析可知直線不過原點，可設(shè)直線的方程為，其中且，利用斜率關(guān)系可求得實數(shù)的值，化簡可得直線的方程.【詳解】若直線過原點，則直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.12、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設(shè)為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由題意，可得，設(shè)，，，根據(jù)是線段的中點，求出的坐標(biāo)，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結(jié)論【詳解】解：由題意，可得，設(shè)，，，，是線段的中點，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：114、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時等號成立.故答案為【點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力.15、【解析】考慮3門或者2門兩種情況，計算概率得到答案.【詳解】.故答案為：.16、30【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據(jù)總?cè)藬?shù)和頻率，即可得答案.【詳解】因為頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)為.故答案為：30三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析，有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；（2）X的分布列見解析，X的期望為【解析】(1)根據(jù)給定條件完善列聯(lián)表，再計算的觀測值并結(jié)合給定數(shù)據(jù)即可作答.(2)求出X的可能值及各個值對應(yīng)的概率列出X的分布列，再計算期望作答.【小問1詳解】對監(jiān)管力度滿意的有，對食品質(zhì)量滿意的有，列聯(lián)表如下：對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質(zhì)量滿意8040120對食品質(zhì)量不滿意701080總計15050200則的觀測值為：，所以有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】由(1)及已知得，X的所有可能值為：0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123PX的期望為：.【點睛】易錯點睛：獨立性檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果作出錯誤的解釋18、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而求得,設(shè)，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問1詳解】若選①，則根據(jù)正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；【小問2詳解】如圖示：,故，故,在中，設(shè)，則，則，即，解得，或（舍去）故.19、（1），（2）證明見解析【解析】(1)利用累加法求通項公式，利用通項公式與前n項和公式的關(guān)系可求的通項公式；(2)求出并判斷其范圍，求出，利用裂項相消法求的前n項和即可證明.【小問1詳解】由題可知，當(dāng)n≥2時，＝當(dāng)n＝1時，也符合上式，∴；當(dāng)時，，當(dāng)n＝1時，也符合上式，∴；【小問2詳解】由(1)知，∴，∵，；∵，，，，，∴設(shè)為數(shù)列的前n項和，則.20、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得，則橢圓方程得解；（2）對直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化題意為，求解即可.小問1詳解】由題意，得，設(shè)，將代入橢圓方程，得，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)斜率不存在時，即時，，為橢圓短軸兩端點，則以為直徑的圓為，恒過點，滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，，，由得：，，解得：，，若以為直徑的圓過點，則，即，又，，，解得：，滿足，即，此時直線的方程為綜上，存在直線使得以為直徑的圓過點，的方程為或21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可得關(guān)于參數(shù)的方程，解之即可得到結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線AP的斜率為k，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得A點坐標(biāo)，同理可得B點坐標(biāo)，結(jié)合橫坐標(biāo)之差為，可得直線方程.【詳解】（Ⅰ）由拋物線方程可得焦點為，則橢圓C的一個頂點為，即.由，解得.∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（Ⅱ）由題可知點，設(shè)直線AP的斜率為k，由題意知，直線BP的斜率為，設(shè)，，直線AP的方程為，即.聯(lián)立方程組消去y得.∵P，A為直線AP與橢圓C的交點，∴，即.把換成