目錄第1章

復(fù)變函數(shù)

1.1復(fù)數(shù)的概念及運算1.2復(fù)變函數(shù)的概念1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.4解析函數(shù)1.5幾種簡單的解析函數(shù)1.6多值函數(shù)第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用1.1復(fù)數(shù)的概念及運算1.復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的定義一個復(fù)數(shù)z可以表示成

(2)復(fù)數(shù)的矢量表示式如果把復(fù)數(shù)的實部

x和虛部

y

看成是平面直角坐標系中的一點(x，y)，則復(fù)數(shù)

z與平面上的點是一一對應(yīng)的，稱該平面為復(fù)平面，見圖1-1。也就是說，一個復(fù)數(shù)與平面直角坐標系中的一個矢量相對應(yīng)。(3)復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示式如果將平面直角坐標系(x，y)變換成平面極坐標系(r，θ)，即則復(fù)數(shù)z

在平面極坐標系中的表示式為其中r=z是復(fù)數(shù)的模；θ是復(fù)數(shù)的輻角，記作Argz。1.復(fù)數(shù)的概念(4)復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式利用歐拉公式，也可以把復(fù)數(shù)寫成指數(shù)形式的表示式，即注意，一個復(fù)數(shù)的輻角不是唯一的，它可以任意增加或減少2π的整數(shù)倍，即其中argz∈[0，2π]，為主輻角。(5)共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)

z

對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù)為或即z與z*

是一對共軛復(fù)數(shù)，它們的模相等，且關(guān)于實軸對稱。2.復(fù)數(shù)的運算法則令兩個復(fù)數(shù)分別為

z1=x1+iy1

及z2=x2+iy2，則有加(減)法規(guī)則：乘法規(guī)則：除法規(guī)則：

2.復(fù)數(shù)的運算法則

它有兩個值，分別為2.復(fù)數(shù)的運算法則證明(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)。解：根據(jù)式(1.1-13)，令r=1，則有 (eiθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)根據(jù)歐拉公式，有eiθ

=cosθ+isinθ，將它代入上式的左邊，則可以得到該式稱為棣莫弗公式。1.2復(fù)變函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的概念當復(fù)變量

z=x+iy

在復(fù)平面上某個點集E(復(fù)數(shù)的集合)中連續(xù)變動時，有一個或多個復(fù)數(shù)值w與之相對應(yīng)，則稱w為復(fù)變量

z的函數(shù)，即復(fù)變函數(shù)與復(fù)變量

z=x+iy

一樣，復(fù)變函數(shù)

f(z)也可以用實部和虛部來表示不過它的實部u(x，y)和虛部v(x，y)都是實變量x

和y

的二元函數(shù)，即一個復(fù)變函數(shù)是兩個二元函數(shù)的有序組合。2.區(qū)域的概念在復(fù)變函數(shù)論中，通常討論的是一種特殊性質(zhì)的復(fù)變函數(shù)，即解析函數(shù)(其定義將在后面給出)。對于這類函數(shù)，其定義域不是一般的點集，而是滿足一定條件的特殊點集，稱之為區(qū)域，用D

表示。下面先介紹幾個與區(qū)域有關(guān)的概念：(1)鄰域：以復(fù)數(shù)z0為圓心，以任意小的正實數(shù)ε

為半徑作一個圓，則圓內(nèi)所有點的集合稱為z0的鄰域。(2)內(nèi)點：若z0及其鄰域均屬于點集E，則稱z0為點集的內(nèi)點。(3)外點：若z0及其鄰域均不屬于點集E，則稱z0為點集的外點。(4)邊界點：若在z0的每個鄰域內(nèi)，既有屬于點集E

的點，也有不屬于點集E

的點，則稱z0為點集的邊界點。邊界點的全體稱為邊界或邊界線。(5)區(qū)域：區(qū)域就是復(fù)變量z

在復(fù)平面上的取值范圍，但嚴格地說，它是應(yīng)滿足如下兩個條件的點集：①全部由內(nèi)點構(gòu)成；②具有連通性，即點集中的任意兩個點均可以用一條折線連接起來，且折線上的點全部

屬于該點集。2.區(qū)域的概念

1.3復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性與實變函數(shù)一樣，復(fù)變函數(shù)也有它的極限和連續(xù)性。復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定義為：當復(fù)變量z在復(fù)平面上趨于某一定點z0

時，與之對應(yīng)的復(fù)變函數(shù)

f(z)也趨于一個確定的值

f(z0)，即由于復(fù)變函數(shù)

f(z)可以用兩個二元實變函數(shù)u(x，y)和v(x，y)來表示[見式(1.2-2)]，這樣復(fù)變函數(shù)

f(z)的連續(xù)性則歸結(jié)于這兩個二元函數(shù)的連續(xù)性問題，即盡管在形式上復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性與實變函數(shù)相同，但由于兩者的變量的變化范圍不同(一個是在復(fù)平面上變化，另一個是在實軸上變化)，因此兩者的實際含義是不同的。2.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)

w=

f(z)是區(qū)域D

中的單值函數(shù)，即對于

D

的每一個z

值，只有一個

w值與之相對應(yīng)。若對于D

內(nèi)某點z，有極限存在，且與Δz→0的方式無關(guān)，則稱函數(shù)

w=f(z)在z

點的導(dǎo)數(shù)存在，并記為對于復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需要做如下幾點說明：(1)若

f(z)在z點可導(dǎo)，則它一定在z

點連續(xù)；反之，不一定成立。例如，對于

f(z)=x，它在全平面上連續(xù)，但卻是處處不可導(dǎo)，這是因為的值與Δz→0的方式有關(guān)。例如，當Δz沿著實軸趨于零時，即y=0，Δx→0，上式的極限值為1；當Δz

沿著虛軸趨于零時，即x=0，Δy→0，上式的極限值為0。2.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)可以看出，復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上與實變函數(shù)的定義完全相同。因此，可以把實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)規(guī)則應(yīng)用到復(fù)變函數(shù)上，如(3)雖然在形式上復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義相同，但實質(zhì)上兩者有很大的差別。對于實變函數(shù)

f(x)，它的導(dǎo)數(shù)存在，要求Δx沿著實軸趨于零；而對于復(fù)變函數(shù)

f(z)，它的導(dǎo)數(shù)存在，則要求Δz

可以在復(fù)平面上沿任一條路徑趨于零。因此，與實變函數(shù)相比，對復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)性存在的要求要苛刻得多。3.柯西-黎曼條件如果復(fù)變函數(shù)

f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在區(qū)域D

中的導(dǎo)數(shù)存在，則有式(1.3-3)稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)條件(或簡稱C-R條件)。下面對這個條件進行證明。由于函數(shù)

f(z)可導(dǎo)，則有當Δz沿著平行于實軸的方向趨于零時，有Δy=0，Δx→0，則有當Δz

沿著平行于虛軸的方向趨于零時，有Δy→0，Δx=0，則有由于

f(z)的導(dǎo)數(shù)存在與Δz→0的方式無關(guān)，這樣式(1.3-5)的右邊應(yīng)與式(1.3-6)的右邊相等，由此可以得到C-R條件。證明函數(shù)cosz的實部和虛部滿足C-R條件。解：由函數(shù)cosz的定義，有由此可以得到即cosz

的實部和虛部滿足C-R條件。3.柯西-黎曼條件在平面極坐標系(r，θ)中，利用z=reiθ

及Δz=(Δr+irΔθ)eiθ，則類似地可以證明：極坐標系中的C-R條件為1.4解析函數(shù)1.解析函數(shù)的定義如果一個復(fù)變函數(shù)

f(z)在區(qū)域D

中處處可導(dǎo)，則稱

f(z)為解析函數(shù)。因此，我們判斷一個函數(shù)

f(z)是否解析，首先應(yīng)確定在所討論的區(qū)域內(nèi)該函數(shù)的實部和虛部是否滿足C-R條件。例如，對于冪函數(shù)

f(z)=zn

或指數(shù)函數(shù)

f(z)=ez，可以驗證它們在全平面上都是解析的。需要說明的是，解析函數(shù)的定義要求該函數(shù)在考慮的區(qū)域中是處處可導(dǎo)的。這樣，如果一個函數(shù)在某一點解析，則在該點一定可導(dǎo)，反之卻不一定成立。也就是說，復(fù)變函數(shù)

f(z)在某點上的可導(dǎo)與解析是不等價的，只有在所考慮的全區(qū)域中，函數(shù)的解析與可導(dǎo)才是等價的。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)我們將在§2.3節(jié)中證明，如果一個函數(shù)在某個區(qū)域解析，則它的高階導(dǎo)數(shù)存在，即它的實部和虛部的高階偏導(dǎo)都是存在的。這樣根據(jù)C-R條件可以得到及方程(1.4-1)或(1.4-2)是一個典型的二維拉普拉斯方程。如一個二元函數(shù)u(x，y)或v(x，y)滿足二維拉普拉斯方程，則這個函數(shù)被稱為調(diào)和函數(shù)?？梢姡馕龊瘮?shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)，而且還是一對共軛的調(diào)和函數(shù)。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)如果我們把一個調(diào)和函數(shù)看成是一個解析函數(shù)的實部(或虛部)，并利用C-R條件求出相應(yīng)的虛部(或?qū)嵅?，就可以確定出這個解析函數(shù)。例如，假設(shè)函數(shù)u(x，y)是一個調(diào)和函數(shù)，并把它看作是一個解析函數(shù)的實部。這樣，它的虛部的全微分為利用C-R條件，則可以進一步得到于是，可以得到計算v(x，y)的方法有如下三種：(1)曲線積分法

我們知道，一個無源的靜電勢函數(shù)要滿足拉普拉斯方程，而且由于它是一個保守勢，對應(yīng)的靜電力所做的功與路徑無關(guān)?，F(xiàn)在u(或v)是調(diào)和函數(shù)，就相當于一個靜電勢函數(shù)，因此式(1.4-5)中的積分與路徑無關(guān)。這樣，我們可以選取某種特殊的路徑，使得積分容易算出。如選取積分路徑為(0，0)→(x，0)→(x，y)，這樣可以把式(1.4-4)寫成其中c為積分常數(shù)。2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)(2)湊成全微分法

對于某些特殊形式的調(diào)和函數(shù)，可以把式(1.4-5)的右端湊成一個全微分，這樣就自然求出積分了。(3)不定積分法

在這種方法中，可以先假定x(或y)不變，對y(或x)進行積分。例如，先假定x

不變，這樣可以將式(1.4-5)寫成或先假定y

不變，有然后，再利用C-R條件，確定待定函數(shù)φ(x)或ψ(y)。已知調(diào)和函數(shù)u(x，y)=xy是某個解析函數(shù)的實部，確定這個解析函數(shù)的形式。解：根據(jù)u(x，y)=xy，可以得到2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)(3)不定積分法根據(jù)式(1.4-7)，可以得到

完成對x

的積分后，最后得到最后，我們得到解析函數(shù)

f(z)的形式為2.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)下面采用上述三種不同的方法來確定出這個解析函數(shù)的虛部v(x，y)。(1)曲線積分法根據(jù)式(1.4-6)，可以得到(2)湊成全微分法直接根據(jù)式(1.4-5)，可以得到1.5幾種簡單的解析函數(shù)1.5幾種簡單的解析函數(shù)對于實變函數(shù)，有一些初等的函數(shù)，如冪函數(shù)xn，指數(shù)函數(shù)ex，三角函數(shù)sinx

和cosx等。對于復(fù)變函數(shù)，同樣也有這樣一些簡單的函數(shù)，如zn，ez，sinz

及cos

等?？梢詫⑦@些初等復(fù)變函數(shù)看成是初等實變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域的推廣，但它們之間的性質(zhì)有著許多本質(zhì)的不同。(1)冪函數(shù)

對于多項式也具有與冪函數(shù)相同的性質(zhì)，其中系數(shù)an

為復(fù)常數(shù)。1.5幾種簡單的解析函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)可以證明指數(shù)函數(shù)在全復(fù)平面上解析，且但在無窮遠點無定義，因為很容易驗證它沿實軸和虛軸趨于無窮的極限不一樣。此外，很容易證明復(fù)變指數(shù)函數(shù)具有周期性，其周期為2πi，即ez=ez+2πi。(3)三角函數(shù)可以證明，sinz與cosz

在全復(fù)平面上解析，且有1.5幾種簡單的解析函數(shù)應(yīng)注意，由于z

是復(fù)變量，sinz

及cosz

的絕對值可以大于1，這一點與對應(yīng)的實變函數(shù)不同。如可見有|sin(i)|>1及|cos(i)|>1。盡管它們各自的絕對值大于1，但卻遵從實數(shù)三角函數(shù)的公式：此外，這兩種三角函數(shù)的周期為2π，這一點與實變函數(shù)相同。對于其他復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)，如tanz，cotz，secz

及cscz，可以用sinz

和cosz

來定義，其形式與實變量的情況是一樣的。(4)雙曲函數(shù)它們在全復(fù)平面上處處解析，且它們的周期為2πi。1.6多值函數(shù)1.6多值函數(shù)在§1.1節(jié)中我們已經(jīng)看到，對于某些復(fù)數(shù)，如根式和自然對數(shù)，具有多值性。同樣，對于一些復(fù)變函數(shù)也具有多值性，如根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)及反雙曲函數(shù)等。下面以根式函數(shù)為例，介紹一下多值函數(shù)的一些基本概念。為了更清楚地看出它的多值性，我們令這樣有由此可以得到其中argz

是z

的主輻角。顯然，對于給定的一個z，有兩個w

與之相對應(yīng)：通常稱w1

和w2

是多值函數(shù)

f(z)=z的兩個單值分支。這種函數(shù)的多值性來源于宗變量z

的多值性。1.6多值函數(shù)

從以上分析可以看出，對于函數(shù)w=z，z=0點具有這樣的特征：當z繞著它一周回到原處時，多值函數(shù)w=z由一個分支進入另外一個分支。具有這種性能的點稱為多值函數(shù)的支點。除了z=0點外，可以驗證無窮遠點z=∞也是多值函數(shù)w=z的一個支點。令t=1/z，則w(z)=w(t)=1/t。當

t繞

t=0一周回到原處時，w(t)的值不還原，因此t=0是多值函數(shù)w(t)=1/t的支點，即z=∞是多值函數(shù)w(z)=z的一個支點。1.6多值函數(shù)

在上平面T1

上，從z=0開始，沿正實軸方向至無窮遠點將其割開，并規(guī)定割線的上下沿分別對應(yīng)于Argz=0和Argz=2π。這樣，當z

在平面T1

上變化時，只要不跨越該割線，它的輻角就被限制在0≤Argz≤2π，相應(yīng)的函數(shù)

w(