目錄第3章

解析函數(shù)的冪級數(shù)展開

3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)3.2冪級數(shù)3.3泰勒級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開3.5孤立奇點的分類第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)我們先看一下復(fù)數(shù)級數(shù)的概念和性質(zhì)。對于一個復(fù)數(shù)級數(shù)如果它的每一項都可分成實部和虛部，即則式(3.1-1)的前n+1項的和的極限為這樣復(fù)數(shù)級數(shù)[式(3.1-1)]的收斂性問題就歸結(jié)為兩個實數(shù)級數(shù)

及

的收斂性問題。這樣，就可以將實數(shù)級數(shù)的一些性質(zhì)和規(guī)律應(yīng)用到復(fù)數(shù)級數(shù)上。對于任意小的正數(shù)ε，如果存在一個

N，使得n>N

時，有成立，則復(fù)數(shù)級數(shù)[式(3.1-1)]收斂，其中p

為任意的正整數(shù)。式(3.1-4)為復(fù)數(shù)級數(shù)[式(3.1-1)]收斂的充分必要條件，也稱柯西收斂判據(jù)。3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)若級數(shù)[式(3.1-1)]各項的模組成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)[式(3.1-1)]為絕對收斂。絕對收斂的級數(shù)一定是收斂的。下面討論復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，其中式(3.1-6)的各項均為復(fù)變量z

的函數(shù)。如果在某個區(qū)域

D上的每一點z，級數(shù)[式(3.1-6)]都收斂，那么稱其在區(qū)域D

上收斂，并記為對于給定的任意小的正數(shù)ε>0，如果存在一個與z無關(guān)的N(ε)，使得當(dāng)n>N(ε)時，有則該級數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)一致收斂。3.1復(fù)變函數(shù)項級數(shù)如果級數(shù)[式(3.1-6)]的各項的絕對值構(gòu)成的級數(shù)

收斂，則稱該級數(shù)為絕對收斂。對于一致收斂的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，它有如下幾個性質(zhì)(這里不作證明)：(1)在區(qū)域D

內(nèi)，如果級數(shù)的每一項wk(z)都是連續(xù)函數(shù)，則其一致收斂的和S(z)也是區(qū)域D

內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。(2)設(shè)c為區(qū)域D中一條分段光滑的曲線，如果級數(shù)的每一項wk(z)是c上的連續(xù)函數(shù)，則其一致收斂的和S(z)也是c上的連續(xù)函數(shù)，而且可以沿著c逐項積分，即

3.2冪級數(shù)3.2冪級數(shù)冪級數(shù)是一種簡單的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，它的一般形式為其中an(n=0，1，2，…)及z0

都是復(fù)常數(shù)。可以看到，該級數(shù)的每一項都是解析函數(shù)。收斂圓及收斂半徑：以z0

為圓心，作一個半徑為R

的圓周cR

。如果級數(shù)[式(3.2-1)]在該圓內(nèi)絕對收斂，而且在圓外發(fā)散，則這個圓是該級數(shù)的收斂圓，對應(yīng)的半徑為該級數(shù)的收斂半徑。有兩種方法可以確定一個冪級數(shù)的收斂半徑：(1)比值判別法級數(shù)[式(3.2-1)]各項的絕對值構(gòu)成的級數(shù)為如果3.2冪級數(shù)則級數(shù)[式(3.2-2)]收斂，從而級數(shù)[式(3.2-1)]絕對收斂。若極限

存在，并記為

(2)根值判別法可以看出，當(dāng)極限

時，級數(shù)[式(3.2-1)]絕對收斂；反之，則發(fā)散。這樣，我們可以定義一個收斂半徑

在以z0

為圓心，半徑為R的圓內(nèi)，級數(shù)[式(3.2-1)]是絕對收斂的。3.2冪級數(shù)求冪級數(shù)

的收斂半徑。解：用比值判別法[式(3.2-4)]，則有

在如下兩節(jié)討論中，我們將用到這個等式。3.3泰勒級數(shù)展開3.3泰勒級數(shù)展開由前面的討論可知，一個冪級數(shù)的和函數(shù)是一個解析函數(shù)?，F(xiàn)在我們討論一個相反的問題，即一個解析函數(shù)是否可以用冪級數(shù)來表示?這是一個非常重要的問題。泰勒定理：設(shè)函數(shù)

f(z)在以z0

為圓心的圓內(nèi)解析，則對于圓內(nèi)任意一點z，可以將

f(z)用冪級數(shù)展開，即其中系數(shù)an

為c為包含z0

點的圓周。證明：由于f(z)在圓內(nèi)解析，則由柯西公式，有其中ζ是圓周c上的點?？梢詫?/p>

改寫為3.3泰勒級數(shù)展開由于，因此根據(jù)式(3.2-6)，有將式(3.3-5)代入式(3.3-3)，有再利用柯西公式

它們的收斂半徑都為1。3.3泰勒級數(shù)展開

解：因為f(z)=ez

在全平面上解析，它在z=0的n階導(dǎo)數(shù)均為1(n=0，1，2，…)。于是有對于f(z)=cosz，由于因此，有同樣，對于f(z)=sinz，有3.3泰勒級數(shù)展開對于上述簡單形式的解析函數(shù)，可以用這種方法直接進(jìn)行展開。對于形式較復(fù)雜的解析函數(shù)，用這種方法進(jìn)行展開則比較煩瑣。不過，根據(jù)泰勒展開的唯一性，可以采用一些較為簡單的間接方法，如利用基本公式、冪級數(shù)的代數(shù)運算、代換、逐項求導(dǎo)等方法來展開，最終的結(jié)果保持不變。

則有

解：利用因此，有3.3泰勒級數(shù)展開總之，把一個復(fù)變函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法與實變函數(shù)的情形基本上一樣。對于其中的一些基本方法和技巧，需要通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能掌握。3.4洛朗級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開

其中c是位于環(huán)內(nèi)以逆時針方向繞內(nèi)圓一周的任意一條閉合曲線，見圖3-1。式(3.4-1)稱為洛朗級數(shù)。證明：由于f(z)是環(huán)狀區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則根據(jù)復(fù)連通區(qū)域中的柯西公式，有3.4洛朗級數(shù)展開

3.4洛朗級數(shù)展開將式(3.4-4)和式(3.4-5)分別代入式(3.4-3)右邊的兩個積分中，則可以得到由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理可知，上式中的兩個積分相等。因此，可以得到其中證畢。3.4洛朗級數(shù)展開關(guān)于洛朗展開，需要如下幾點說明：(1)洛朗展開與泰勒展開的不同之處在于它含有(z-z0)的負(fù)冪項，而泰勒展開只有(z-z0)的正冪項。這些負(fù)冪項與函數(shù)

f(z)在z0

點的奇異性有關(guān)。(2)盡管洛朗展開的系數(shù)an

與泰勒展開的系數(shù)an

都可以表示成但對于洛朗展開，an≠f(n)(z0)/n!，這是因為z0

不屬于所考慮的環(huán)狀區(qū)域內(nèi)。(3)如果z0

是函數(shù)

f(z)的奇點，則內(nèi)圓的半徑可以無限小，并無限地接近圓心，這時稱式(3.4-1)為f(z)在孤立奇點z0

的鄰域內(nèi)的洛朗展開。(4)與泰勒展開一樣，洛朗展開也是唯一的。利用這種展開的唯一性，可以使用可能的簡便方法將函數(shù)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)展開，最終結(jié)果保持不變。

解：由于ez在該環(huán)形區(qū)域內(nèi)解析，先在z=0點把它展開成泰勒級數(shù)，即

這樣有顯然，該級數(shù)含有負(fù)冪項。3.4洛朗級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開

3.4洛朗級數(shù)展開上面兩種級數(shù)的展開式表明：同一個函數(shù)在不同的區(qū)域中進(jìn)行展開時，其展開的級數(shù)形式不一樣。也就是說，對于一個解析函數(shù)的洛朗展開，其展開的結(jié)果不僅依賴于函數(shù)的形式，還依賴于所展開的區(qū)域形狀(環(huán)形區(qū)域的半徑及圓點)。把函數(shù)f(z)=e1/z

在z=0的鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)。解：根據(jù)函數(shù)ez

在z=0的展開形式并將z

換成1/z，則可以得到這個級數(shù)有無限多的負(fù)冪項。

這樣有

3.4洛朗級數(shù)展開3.4洛朗級數(shù)展開

其中展開系數(shù)為

3.4洛朗級數(shù)展開(2)間接展開法：當(dāng)z≠0時，有

則3.4洛朗級數(shù)展開由于洛朗級數(shù)展開的唯一性，式(3.4-8)和式(3.4-10)應(yīng)相等，即

我們將在第十三章對貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)地討論。其中展開系數(shù)被稱為n

階貝塞爾級數(shù)(函數(shù))。3.5孤立奇點的分類3.5孤立奇點的分類在上一節(jié)介紹洛朗級數(shù)展開時曾提到過一個函數(shù)的孤立奇點的概念?，F(xiàn)在進(jìn)一步闡述這一概念。若函數(shù)

f(z)在某點z0

不可導(dǎo)，而在z0

的任意小鄰域內(nèi)除z0

外處處可導(dǎo)，則稱z0

為函數(shù)

f(z)的孤立奇點。若在z0

點的無論多么小的鄰域內(nèi)總能找到除z0

以外的不可導(dǎo)的點，則稱z0

為函數(shù)

f(z)的非孤立奇點。

根據(jù)洛朗級數(shù)的展開形式，有如下三種類型的孤立奇點：(1)若在

f(z)的洛朗級數(shù)中沒有負(fù)冪項部分，則稱z0

為

f(z)的可去奇點。(2)若在

f(z)的洛朗級數(shù)中有有限個負(fù)冪項部分，則稱z0

為

f(z)的極點。(3)若在

f(z)的洛朗級數(shù)中有無窮多個負(fù)冪項部分，則稱z0

為

f(z)的本性