目錄第7章

數(shù)學(xué)物理方程的建立

7.1波動方程7.2輸運方程7.3泊松方程7.4定解條件第2篇

數(shù)學(xué)物理方程7.1波動方程1.弦的橫向振動首先我們以細弦的橫向振動為例，來建立波動方程?？紤]一個長度為l、水平放置的細弦，取弦平衡時所在的直線為x

軸，弦的兩個端點分別固定在x=0和x=l處。假設(shè)在t=0的初始時刻，在橫向上對弦進行一個小的擾動，而且弦在每一點的橫向位移可以用函數(shù)?(x)來描述，如圖7-1所示。那么在t>0的時刻，弦要在它的平衡位置附近做振動?，F(xiàn)在的任務(wù)是：確定在任意時刻t，弦在任意位置x(0<x<l)的橫向位移u(x，t)所服從的方程。為了得到u(x，t)所滿足的方程，還需要做如下假定：(1)弦的質(zhì)量是均勻分布的，平衡時其線密度為ρ；(2)弦是完全輕質(zhì)而柔軟的，在平衡和振動時均處于繃緊狀態(tài)，即它的內(nèi)部每一點都存在著張力作用；(3)弦的橫向振幅很小，其上每一點的斜率?u/?x很?。?4)弦的振動是橫向的，即每一點的振動方向都垂直于x

軸，整個弦的振動只位于同一個平面內(nèi)(即在u~x

平面內(nèi))。在不考慮外界驅(qū)動力和重力的情況下，弦上的每一點只受到其內(nèi)部張力的作用。張力的方向沿著弦的切線方向。由于張力的作用，弦上某一點的振動必然要帶動它臨近點的振動，即這種振動要傳播到整個弦上，并以波的形式表現(xiàn)出來。弦的振動是一種機械運動，應(yīng)遵循牛頓第二定律。然而對于整個弦的振動，又不能直接運用質(zhì)點力學(xué)的牛頓第二定律來描述。但我們可以把弦分成許多很小的小段，對于每一個小段，可以抽象成一個質(zhì)點。這樣弦是由許多相互作用的小質(zhì)點組成的，每個小質(zhì)點的運動都可以用牛頓第二定律來描述。1.弦的橫向振動現(xiàn)在我們分析弦上任意小段Δs的受力情況，它在x軸上的投影為Δx，如圖7-2所示。Δs兩端所受的張力分別為T1

和T2，它們的方向不同，但大小相同，即

T1=T2=T。由于弦的振動是橫向的，它在x

方向沒有運動，即合力為零。這樣根據(jù)牛頓第二定律，可以得到

在小振動條件下，有這樣可以得到1.弦的橫向振動把式(7.1-2)代入方程(7.1-1)，則可以得到弦的振動方程為

當(dāng)弦在橫向上受到一個單位長度所受的F(x，t)作用時，類似地可以得到弦的振動方程為其中

f(x，t)=F(x，t)/ρ。如果弦受到一個阻尼力(如空氣的阻力)的作用，且該阻尼力與振動的速度成正比，即這樣弦的振動方程為其中b=k/ρ。應(yīng)當(dāng)注意，阻尼力與外界驅(qū)動力不同，它與弦的振動狀態(tài)有關(guān)，振動速度越大，阻尼力就越大。在一般情況下，阻尼力不是很大，因此在以后的討論中，將不考慮阻尼力帶來的影響。2.細桿的縱向振動假設(shè)一根長度為l的均勻細桿，在沿著其長度的方向做小振動。取桿長的方向為x

軸方向。

在平衡狀態(tài)下，垂直于桿長方向的截面均可以用x

來標記?，F(xiàn)在把細桿分成很多小段(見圖7-3)，選取其中的一小段(x，x+Δx)為研究對象。在振動過程中，該小段兩端的位移分別為u(x，t)和u(x+Δx，t)，則該小段的相對伸長為對于彈性細桿的縱向振動，也可以做類似上面的處理。只要細桿中任意一段有縱向移動，必然要引起鄰段的壓縮或伸長，這個鄰段的壓縮或伸長又使得它自己的鄰段壓縮或伸長。這樣，細桿中的任一小段的移動最終要傳播到整個細桿，從而導(dǎo)致細桿的縱向振動。這種縱向振動就是以波的形式傳播的。2.細桿的縱向振動兩端除以ΔxS，則得到

實際上，在桿的不同位置上，相對伸長ux

也不一樣。在該小段的兩端，相對伸長分別為ux|x

和ux|x+Δx

。根據(jù)胡克定律，該小段兩端所受的應(yīng)力與其相對伸長成正比，即ESux|x

及ESux|x+Δx，其中

E

為該細桿的楊氏模量，ρ

為質(zhì)量密度，S

為細桿的橫截面積。這樣由牛頓第二定律，可以得到該小段的運動方程為3.薄膜的橫向振動現(xiàn)在考慮一個勻質(zhì)薄膜，靜止時位于xy平面內(nèi)。在內(nèi)部張力T

的作用下，薄膜在垂直于xy平面的方向上做振動。為了得到薄膜的振動方程，做如下假定：(1)薄膜是柔軟的，因此張力總是位于薄膜的切平面內(nèi)。(2)與張力相比，可以不考慮薄膜自身的重力帶來的影響。(3)薄膜是微振動的。用u(x，y，t)表示薄膜在振動時相對于平衡位置的垂直位移。下面建立u(x，y，t)所滿足的方程。

對于x

與x+Δx

這兩個邊，它們所受的橫向張力分別為－T?u/?x|x

和T?u/?x|x+Δx。這樣，該小塊薄膜在x

與x+Δx

兩個邊所受到的橫向作用力為3.薄膜的橫向振動同樣，對于y

與y+Δy

這兩個邊，所受到的橫向作用力為用ρ

表示單位面積的薄膜質(zhì)量，這樣薄膜的橫向振動方程為即

如果在薄膜上存在著一個單位面積上的橫向作用力

F(x，y，t)，則這時薄膜的橫向振動方程為其中

f(x，y，t)=F(x，y，t)/ρ。4.電磁波方程眾所周知，在真空中電場E

和磁場B

滿足如下麥克斯韋方程組

同理，可以得到磁場所滿足的方程為方程(7.1-12)及(7.1-13)即為真空中電磁波傳播的方程。通過上面的討論，可以看出：盡管我們所討論的對象不同(如弦的橫振動、桿的縱振動、薄膜的橫振動及電磁波在真空中的傳播)，所描述的物理量也不同，但物理量所滿足的方程在形式上卻十分相似，即物理量對時間的偏微分都是二階的，見方程(7.1-3)、(7.1-7)、(7.1-8)及(7.1-12)。

這類偏微分方程被稱為波動方程，對應(yīng)于數(shù)學(xué)上的雙曲型方程。7.2輸運方程1.熱傳導(dǎo)方程如果當(dāng)物體內(nèi)部的溫度分布不均勻時，熱量就會從溫度高的地方向溫度低的地方轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。盡管熱傳導(dǎo)現(xiàn)象與物質(zhì)中的原子及分子的熱運動過程有關(guān)，但它是一種宏觀不可逆的物理現(xiàn)象。因此，熱傳導(dǎo)方程不可能直接從粒子的微觀運動規(guī)律(如牛頓第二定律)得到，而需要由能量守恒原理和基于實驗結(jié)果的唯象定律得到。首先我們建立一維情況下的熱傳導(dǎo)方程。假設(shè)u(x，t)為溫度場的分布函數(shù)，且僅在x

軸方向發(fā)生熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明，單位時間內(nèi)在垂直于x

軸方向上的單位面積的熱通量與溫度梯度成正比，即這就是所謂的傅里葉熱傳導(dǎo)定律，其中k

為熱傳導(dǎo)系數(shù)。

不同物質(zhì)的熱傳導(dǎo)系數(shù)不一樣。公式(7.2-1)說明，熱通量的方向與溫度梯度的方向相反?，F(xiàn)在以一個均勻細桿的熱傳導(dǎo)過程為例。

設(shè)細桿的長度為l，細桿的橫截面積為S，質(zhì)量密度為ρ。桿的兩端分別位于x=0和x=l。假設(shè)在初始時刻(t=0)細桿上的溫度分布為?(x)，則在t>0的時刻熱量會在細桿中流動。與上節(jié)的分析一樣，我們把細桿分成很多小段，并選取其中的一小段(x，x+Δx)作為研究對象，見圖7-5。根據(jù)傅里葉定律，在Δt時間內(nèi)從該小段前端流入的熱量為1.熱傳導(dǎo)方程另一方面，在該時間內(nèi)從該小段后端流出的熱量為假設(shè)細桿的比熱為c，那么該小段吸收的熱量為根據(jù)能量守恒原理，流進該小段的凈熱量應(yīng)等于該小段吸收的熱量，即將式(7.2-2)~(7.2-5)聯(lián)立，則可以得到兩邊除以SΔxΔt，最后可以得到

1.熱傳導(dǎo)方程如果在熱傳導(dǎo)過程中存在著熱源，熱源的強度(單位時間在單位體積中產(chǎn)生的熱量)為F(x，t)，則這時熱傳導(dǎo)方程為其中

f(x，t)=F(x，t)/cρ?？梢园焉厦娴囊痪S熱傳導(dǎo)過程推廣到二維及三維情況，這時溫度場u(x，y，t)分別滿足如下熱傳導(dǎo)方程其中

f(x，y，t)=F(x，y，t)/cρ

及

f(x，y，z，t)=F(x，y，z，t)/cρ。2.擴散方程當(dāng)物體中粒子的濃度分布不均勻時，就會發(fā)生擴散現(xiàn)象，即粒子從濃度高的地方向濃度低的地方轉(zhuǎn)移。從微觀上看，擴散過程是由物質(zhì)中原子或分子之間的碰撞過程引起的。與熱傳導(dǎo)過程一樣，擴散過程也是一種宏觀現(xiàn)象，因此不能直接由原子分子的微觀運動規(guī)律得到擴散方程，而需要由粒子數(shù)守恒原理和基于實驗結(jié)果的唯象定律得到。先考慮一維擴散過程，并設(shè)u(x，t)為粒子的濃度分布函數(shù)。實驗結(jié)果表明，擴散現(xiàn)象遵從所謂的菲克定律(擴散定律)，即擴散流強度(單位時間內(nèi)通過單位橫截面積的粒子數(shù))正比于粒子濃度的梯度其中D

為擴散系數(shù)，負號表示擴散轉(zhuǎn)移的方向與濃度梯度的方向相反。仿照熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)過程，并應(yīng)用粒子數(shù)守恒定律(或質(zhì)量守恒定律)及擴散定律，可以得到一維擴散方程為

其中

f(x，t)為粒子的源函數(shù)。對于由物質(zhì)內(nèi)部某種反應(yīng)(如氣體電離及裂變反應(yīng)等)產(chǎn)生的粒子源，源函數(shù)一般正比于粒子的濃度分布函數(shù)u。類似地，還可以得到二維或三維擴散方程。7.3泊松方程1.靜電場我們知道靜電場是一種無旋場。

如果在空間中存在著電荷源，則電力線是不封閉的，它起源于正電荷，終止于負電荷。根據(jù)靜電學(xué)的高斯定理，可以得到靜電場E(r)所服從的方程為其中ρ(r)是電荷密度分布函數(shù)，ε0為真空中的介電常數(shù)。通常稱式(7.3-1)為高斯方程。另一方面，我們知道靜電場E(r)可以用靜電勢u(r)來表示，它們之間的關(guān)系為將式(7.3-2)代入式(7.3-1)，則可以得到這就是靜電勢所滿足的方程，被稱為泊松方程。如果在所考慮的空間內(nèi)沒有電荷源存在，即ρ=0，那么靜電勢在空間中的變化就遵從所謂的拉普拉斯方程在一些情況下，盡管電場是隨時間變化的，但是由這種變化的電場感應(yīng)出的磁場很小，這時仍可以認為電場是無旋的。例如，在氣體放電實驗中，交變電源以容性方式耦合到放電腔室中的兩個平行板電極上，這時盡管維持放電的外界電壓或電流是隨時間變化的，但如果電源的頻率不是太高，則放電腔室中感應(yīng)出的磁場幾乎為零，因此可以近似地認為電場是無旋的，即是靜電場。這時電場和電勢仍滿足高斯方程和泊松方程。2.穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)如果物體中熱源分布或邊界條件不隨時間變化，那么在到達一定的時間后，物體內(nèi)部的溫度場分布將達到平衡狀態(tài)，而不再隨時間變化。這樣，前面得到的熱傳導(dǎo)方程(7.2-9)中對時間的微分項為零(以三維情況為例)，即可見，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程具有泊松方程的形式。如果沒有熱源存在，該方程又簡化為拉普拉斯方程3.穩(wěn)態(tài)擴散如果物體中粒子源分布或邊界條件不隨時間變化，那么在到達一定的時間后，物體內(nèi)部的濃度分布將達到平衡狀態(tài)，而不再隨時間變化。類似地，有同樣，穩(wěn)態(tài)擴散方程也具有泊松方程的形式。如果沒有粒子源存在，該方程又簡化為拉普拉斯方程7.4定解條件1.初始條件初始條件的個數(shù)取決于數(shù)學(xué)物理方程的類型。

對于經(jīng)典的波動方程，如弦的橫振動、桿的縱振動及薄膜的橫振動等方程，由于物理量對時間的偏微分是二階的，因此它們有兩個初始條件，即初始“位移”：及初始“速度”：而對于輸運方程，如熱傳導(dǎo)方程和擴散方程，由于物理量對時間的偏微分是一階的，因此它們只有一個初始條件，如初始溫度或初始濃度：對于穩(wěn)態(tài)方程，由于物理量不隨時間變化，自然就不存在初始條件的問題。需要說明的是：初始條件給出的是整個系統(tǒng)的初始條件，而不是系統(tǒng)中個別點的初始條件。例如，對于長度為l的細弦的縱振動，初始條件式(7.4-1)和式(7.4-2)對位于0≤x

≤l內(nèi)的任意點都適用。2.邊界條件與初始條件相比，邊界條件的形式比較多樣化，它與系統(tǒng)所處的環(huán)境條件有關(guān)，不同的環(huán)境對應(yīng)不同的邊界條件。從數(shù)學(xué)上看，有三類線性邊界條件，即第一類、第二類及第三類邊界條件。(1)第一類邊界條件該條件給出了所研究的物理量在邊界上的取值，即其中Σ表示邊界，rΣ

表示邊界上的點。

例如，對于細弦的橫振動，如果弦的兩端固定，則有再如，對細桿的傳熱問題，如果細桿的

一端(x=l)的溫度按已知的規(guī)律

f(t)變化，則該端的邊界條件為(2)第二類邊界條件該邊界條件給出了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的取值，即2.邊界條件其中n是沿著邊界的外法線方向。例如，對于細桿的縱振動問題，如果在細桿的某端(x=a)作用一個沿著端點外法線方向的作用力

f(t)，則根據(jù)胡克定律及受力平衡，則該作用力應(yīng)等于該點的應(yīng)力，即當(dāng)a=0時，外法線方向沿著x

軸的負方向，有而當(dāng)a=l時，外法線方向沿著x軸的正方向，有若

f(t)=0，則細桿的振動在該點是自由的。又如，對于細桿的熱傳導(dǎo)問題，如果在細桿的某個端點(x=a)有熱量

f(t)沿著外法線方向流出，則根據(jù)傅里葉定律，有2.邊界條件若熱量是流入的，則有對于絕熱情況，有(3)第三類邊界條件該邊界條件規(guī)定了所研究的物理量及其在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)的線性組合的取值，即

2.邊界條件

由此可以得到其中

H

是比例系數(shù)。關(guān)于邊界條件，還需做如下兩點說明：(1)前面討論的都是線性邊界條件，但在某些情況下，邊界條件可以是非線性的。例如，如果物體表面是按照斯蒂芬定律向外界輻射熱量，即輻射的熱量與溫度的四次方成正比，則這時就會出現(xiàn)非線性邊界條件。以細桿的熱傳導(dǎo)為例，如果在它的某一端(x=a)按照斯蒂芬定律向外界輻射熱量，則有其中σ為比例系數(shù)。2.邊界條件(2)除了前面討論的第一、第二及第三類邊界條件外，還存在著其他邊界條件，如銜接條件、自然邊界條件及周期性條件等。銜接條件是指：物理量在兩個不同介質(zhì)的交界面上的取值應(yīng)相等。由兩個不同材料的細桿接成的一根細桿，當(dāng)桿做縱振動時，在連接點(x=x0)處應(yīng)滿足如下條件其中u1=u1(x，t)及u2=u2(x，t)分別為桿在不同介質(zhì)交界處的位移，E1

及E2

分別為不同介質(zhì)的楊氏模量。此外，在研究電磁學(xué)的問題時，要經(jīng)常用到銜接條件。例如，在兩種不同電介質(zhì)的交界面上，要求電勢及電位移矢量的法線分量要連續(xù)。自然邊界條件：在所討論的問題中，要求物理量必須滿足有界條件。例如，在本書的后面將看到，我們在球坐標系中求解拉普拉斯方程時，除了要求它的解在θ=0及θ=π有界外，還要求在球心處(r=0)及無窮遠處(r

→∞)有界。這些都是自然邊界條件。周期性條件：當(dāng)所考慮的物理問題具有軸對稱性時，該物理量必須滿足周期性的條件u(φ)=u(φ+2π)。目錄第8章

分離變量法8.1直角坐標系中的分離變量法8.2平面極坐標系中的分離變量法8.3柱坐標系中的分離變量法8.4球坐標系中的分離變量法第2篇

數(shù)學(xué)物理方程8.5施圖姆-劉維爾型方程的本征值問題8.1直角坐標系中的分離變量法1.齊次波動方程我們以細弦的振動方程為例,來介紹如何采用分離變量法求解齊次波動方程。對于兩端固定的一根細弦的自由振動問題,其定解問題歸結(jié)為泛定方程:邊界條件:初始條件:其中?(x)及ψ(x)為已知函數(shù)。由于方程(8.1-1)是一個齊次方程,這樣可以把波函數(shù)u(x,t)分解成如下形式其中

X(x)和T(t)僅是空間變量x

和時間變量t的函數(shù)。

將式(8.1-4)代入方程(8.1-1),且兩邊同除以

X(x)T(t),則可以得到1.齊次波動方程由于上式左邊僅是空間變量x

的函數(shù),而右邊僅是時間變量t的函數(shù),這說明僅當(dāng)?shù)仁絻蛇叾嫉扔谕粋€常數(shù)時,上式才能成立。設(shè)這個常數(shù)為-λ,則有這樣就把原來一個偏微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成兩個常微分方程的求解問題。從數(shù)學(xué)的角度來看,求解常微分方程要比求解偏微分方程簡單得多,但同時也要注意到,在此轉(zhuǎn)化過程中引入了一個待定的常數(shù)λ。此外,式(8.1-4)還要滿足邊界條件(8.1-2),即因為T(t)≠0(否則只有零解),則有這樣由常微分方程(8.1-5)和邊界條件(8.1-7)就構(gòu)成了空間函數(shù)

X(x)的定解問題。實際上,在確定函數(shù)X(x)的過程中,同時還要把待定常數(shù)λ確定出來。下面分三種情況進行討論。1.齊次波動方程(1)假設(shè)λ<0,則方程(8.1-5)的解為其中A

及B

為常數(shù),由邊界條件(8.1-7)來確定由此可以得到A=0及B=0,從而導(dǎo)致一個平庸的解u(x,t)=0,所以就排除了λ<0。(2)假設(shè)λ=0,則方程(8.1-5)的解為常數(shù)A

及B

由邊界條件(8.1-7)來確定,即(3)假設(shè)λ>0,則方程(8.1-5)的解為1.齊次波動方程再由邊界條件(8.1-7),可以得到由于常數(shù)B≠0,否則只有平庸解u(x,t)=0。因此,只有一種可能,即這樣常數(shù)λ

的取值為相應(yīng)地,函數(shù)

X(x)的形式為其中Bn

是一個常數(shù)。由此可見,在給定的第一類齊次邊界條件下,常數(shù)λ不能為負數(shù)或零,甚至不能取任意的正數(shù),只能取由式(8.1-8)給出的離散的正整數(shù)。

通常稱常數(shù)λn

為本征值,函數(shù)Xn(x)為本征函數(shù)。方程(8.1-5)和條件(8.1-7)則構(gòu)成所謂的本征值問題。1.齊次波動方程將本征值λn

代入方程(8.1-6),則該方程變?yōu)樗慕鉃槠渲蠧n

及Dn

為常數(shù)。這樣根據(jù)式(8.1-9)和式(8.1-10),就得到了泛定方程(8.1-1)在邊界條件(8.1-2)下的特定解其中已把

Xn(x)中的常數(shù)Bn

歸結(jié)到Cn

和Dn

中。

疊加后的函數(shù)仍是方程(8.1-1)的解,且滿足初始條件(8.1-3)。我們稱式(8.1-12)為泛定方程(8.1-1)的一般解,其中系數(shù)Cn

及Dn

由初始條件確定。1.齊次波動方程將式(8.1-12)代入初始條件(8.1-3),則有

則可以得到1.齊次波動方程這樣給定初始條件,即函數(shù)?(x)和ψ(x)的形式,我們就可以確定系數(shù)Cn和Dn,進而確定了函數(shù)u(x,t)的形式。至此,我們已經(jīng)完成了對泛定方程(8.1-1)的求解過程。這里需要強調(diào)的是,采用分離變量法求解數(shù)學(xué)物理方程,必須滿足如下兩個條件:①

泛定方程和邊界條件都必須是齊次的,否則無法進行變量分離;②

泛定方程必須是線性的,否則無法利用疊加原理得到一般的解。最后,我們分析一下上述結(jié)果的物理意義?？梢詫⑻亟?8.1-11)改寫成如下形式其中

由于弦的兩端是固定的,將使得波在兩個端點之間往復(fù)反射,造成入射波和反射波的疊加,從而形成駐波現(xiàn)象。雖然弦的振動是一個特殊的問題,但它卻能比較直觀地反映出波動問題的基本特征,并能形象地說明一些相關(guān)的物理概念,如駐波、節(jié)點及本征頻率等。2.齊次輸運方程下面我們以細桿的熱傳導(dǎo)方程為例,來介紹如何采用分離變量法求解齊次輸運方程。考慮一個長為l的均勻細桿,其一端的溫度保持為零,另一端與外界絕熱,初始溫度為

f(x),求該細桿上的溫度分布。設(shè)細桿上的溫度分布為u(x,t),則根據(jù)上述條件,對應(yīng)的泛定方程和定解條件分別為由于該泛定方程和邊界條件都是齊次的,因此可以直接進行分離變量。與先前的做法一樣,令u(x,t)=X(x)T(t),則對上述泛定方程及邊界條件進行分離變量后,可以得到如下常微分方程及2.齊次輸運方程這樣,方程(8.1-21)就構(gòu)成了一個本征值問題。可以驗證,僅當(dāng)λ>0時,方程(8.1-21)才存在著不為零的本征解,而且對應(yīng)的本征值λn

和本征函數(shù)Xn(x)分別為及其中An

為常數(shù)。我們再看方程(8.1-22)的解。將式(8.1-23)代入方程(8.1-22),可以得到其解為其中Bn

為常數(shù)。這樣根據(jù)式(8.1-24)及式(8.1-25),方程(8.1-18)的特解為其中Cn=AnBn

為常數(shù)。2.齊次輸運方程根據(jù)以上結(jié)果,方程(8.1-18)的一般解為其中常數(shù)Cn

由初始條件(8.1-20)來確定。利用三角函數(shù)的正交性,則可以得到這樣,一旦初始溫度分布函數(shù)

f(x)的具體形式確定,就可以確定出常數(shù)Cn,進而可以確定出細桿上任一點在任意時刻(t>0)的溫度分布。對于由式(8.1-27)給出的溫度場分布,需要做如下兩點說明:(1)對于給定t=0時刻的初始溫度分布,利用熱傳導(dǎo)方程和邊界條件,只能確定出t>0以后時刻的溫度場分布,而不能反推出t<0以前時刻的溫度場分布。從數(shù)學(xué)上看,當(dāng)t<0時,式(8.1-27)中的指數(shù)項隨著t→∞而發(fā)散,即溫度場變得無限大,這是不可能的。關(guān)于這一點,輸運過程(包括熱傳導(dǎo)和擴散)不同于振動過程。(2)從式(8.1-27)可以看出,在t>0時刻,細桿上的溫度隨著時間的增加而快速地下降,而且當(dāng)t→∞時,溫度下降為零。這是因為沒有熱源維持的結(jié)果。3.拉普拉斯方程下面以橫截面為矩形的散熱片為例,來說明用分離變量法求解穩(wěn)態(tài)二維熱傳導(dǎo)方程(即拉普拉斯方程)的過程。設(shè)散熱片的橫截面的長和寬分別為a和b,而且在y=b處保持恒溫u0,而在其他三邊x=0,x=a

及y=0處均保持為零溫。這樣二維穩(wěn)態(tài)溫度場u(x,y)所遵從的泛定方程及定解條件為其中式(8.1-30)對應(yīng)于第一類齊次邊界條件。由于泛定方程(8.1-29)和邊界條件(8.1-30)都是齊次的,我們可以直接進行變量分離。令u(x,y)=X(x)Y(y),則可以得到其中λ為待定的常數(shù)。

方程(8.1-32)就構(gòu)成了本征值問題,其本征值λn

和本征函數(shù)Xn(x)分別為3.拉普拉斯方程其中An

為常數(shù)。將本征值λn

代入方程(8.1-33),則可以得到該方程的解為其中Cn

及Dn

為常數(shù)。再根據(jù)式(8.1-35)及式(8.1-36),則方程(8.1-29)的特解為其中已把常數(shù)An

并入常數(shù)Cn

及Dn

中。這樣,方程(8.1-29)的一般解為其中常數(shù)Cn

及Dn

由邊界條件(8.1-31)來確定。根據(jù)式(8.1-31),并利用三角函數(shù)的正交性,則可以得到3.拉普拉斯方程由此可以解得這樣,最后得到散熱片的溫度場分布為對于三維拉普拉斯方程,也可以做類似地處理。3.拉普拉斯方程本節(jié)分別介紹了在直角坐標系中采用分離變量法求解三類不同形式的齊次方程的基本過程。分離變量法的基本步驟為:(1)采用分離變量法,將原來的偏微分方程轉(zhuǎn)化成兩個或多個常微分方程,并引入了一些待定的常數(shù),即本征值。同時,對齊次邊界條件進行分離變量。(2)將齊次邊界條件與所對應(yīng)的常微分方程聯(lián)立,確定出本征值和本征函數(shù)。對于一維情況,表8.1給出了不同齊次邊界條件下的本征值和本征函數(shù)。(3)將本征值代入其余的常微分方程中,確定出該常微分方程的解,進而確定出泛定方程的特解。(4)將泛定方程的特解進行線性疊加,給出它的一般解,并根據(jù)初始條件或其他非齊次邊界條件確定出一般解中的疊加系數(shù)。8.2平面極坐標系中的分離變量法1.拉普拉斯方程我們首先以拉普拉斯方程為例,來介紹如何在平面極坐標系中進行分離變量。在平面極坐標系(r,φ)中,拉普拉斯方程的定解問題為

為了將變量r

和φ

分離開,令將上式代入方程(8.2-1),則可以得到上式左邊僅是r

的函數(shù),與φ

無關(guān);右邊僅是φ

的函數(shù),與r

無關(guān)。要使上式左右兩邊相等,只有它們等于同一個常數(shù)。記這個常數(shù)為λ,則有1.拉普拉斯方程常微分方程(8.2-4)的本征值問題由周期性條件

Φ(φ)=Φ(φ+2π)來確定,其本征值和本征函數(shù)為其中Am

及Bm

為常數(shù)。當(dāng)λ=m2

時,方程(8.2-5)是一個典型的歐拉方程,其解為其中Cm

及Dm

為常數(shù)。這樣,對上面的特解Rm(r)Φm(φ)進行線性疊加,就可以得到拉普拉斯方程在平面極坐標系中的一般解把式(8.2-7)和式(8.2-8)代入上式,并對系數(shù)進行重新組合,則可以得到拉普拉斯方程在平面極坐標系中的一般解1.拉普拉斯方程其中Am

、Bm

、Cm

及Dm

為疊加系數(shù)。這里需要說明一點,對于拉普拉斯方程在平面極坐標系中的定解問題,不需要其徑向上的邊界條件是齊次的,因為本征值問題是由周期性條件確定的。當(dāng)所考慮的問題位于半徑為ρ0

的圓形區(qū)域內(nèi)(r<ρ0)時,由于拉普拉斯方程的解在r

→0處應(yīng)有界,則式(8.2-10)中的系數(shù)Dm

應(yīng)為零,因此有其中C0

→A0/2,AmCm

→Am

及BmCm

→Bm

。利用三角函數(shù)的正交性,疊加系數(shù)可以由邊界條件u|r=ρ0=f(φ)來確定在第二章中,我們曾把柯西公式應(yīng)用到一個半徑為a的圓形區(qū)域中,并得到了一個解析函數(shù)的實部或虛部,其形式與式(8.2-11)完全相同,見式(2.4-15)和式(2.4-16)。1.拉普拉斯方程求解在環(huán)形區(qū)域a

≤r

≤b

內(nèi)拉普拉斯方程的定解問題其中a

和b

為常數(shù)。解：在環(huán)形區(qū)域內(nèi),拉普拉斯方程的一般解應(yīng)為式(8.2-10)。

但根據(jù)邊界條件的形式,可以把該方程的解簡化為利用邊界條件,可以得到比較兩邊的系數(shù),則可以得到1.拉普拉斯方程由此解得所以式(8.2-13)的定解為1.拉普拉斯方程可以近似地認為帶電云層與大地之間的靜電場是均勻分布的,且電場強度E0

的方向豎直向下?，F(xiàn)將一個半徑為a的無限長直導(dǎo)線水平架設(shè)在該電場中,求導(dǎo)線周圍的電場分布。解：當(dāng)導(dǎo)線處于均勻電場E0

中時,將會在其表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷,因此導(dǎo)線周圍的電場應(yīng)為感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場與原來的均勻電場之和。這時導(dǎo)線周圍的電場不再是均勻分布的。取導(dǎo)線的軸線為z軸,由于導(dǎo)線是無限長的,因此導(dǎo)線周圍的電場和電勢分布與變量z

無關(guān)。這樣,在如下討論中只考慮導(dǎo)線某一個橫截面周圍的電場和電勢分布就可以了。由于在導(dǎo)線的外部沒有電荷存在,因此電勢u(r,φ)滿足拉普拉斯方程由于電勢只具有相對意義,因此可以假設(shè)導(dǎo)體表面上的電勢為零,即

1.拉普拉斯方程根據(jù)前面的討論,方程(8.2-16)的一般解應(yīng)為式(8.2-10)。但為了便于確定疊加系數(shù),可以把該解改寫為如下形式(對系數(shù)進行重新組合)根據(jù)邊界條件(8.2-17),有對上式兩邊進行比較,可以得到1.拉普拉斯方程由此解得當(dāng)r→∞時,式(8.2-19)中含有l(wèi)nr和r-m

的項遠小于含有rm

的項,因此式(8.2-19)在r

→∞時變?yōu)楦鶕?jù)邊界條件(8.2-18),則有比較上式兩邊的系數(shù),則得到1.拉普拉斯方程根據(jù)以上結(jié)果,最后可以得到導(dǎo)線外部的電勢分布為

很容易看到,當(dāng)φ=±π/2時,電勢的值為零;徑向電場在φ=0,π及r=a處最大,其值為是原來均勻電場的兩倍。這說明在這兩處電場很強,導(dǎo)線容易被擊穿。2.齊次波動方程在平面極坐標系(r,φ)中,波動方程為

將它代入方程(8.2-26),可以得到由于上式左邊僅是時間變量t的函數(shù),而右邊僅是空間變量r的函數(shù)。若要上式成立,只有兩邊都等于同一個常數(shù)。設(shè)這個常數(shù)為-k2,則可以得到如下兩個方程后面將會看到,k2

為本征值,且是實數(shù)。2.齊次波動方程偏微分方程(8.2-29)為亥姆霍茲方程。下面繼續(xù)對亥姆霍茲方程進行分離變量。令將上式代入方程(8.2-29),則可以得到上式左邊僅是r

的函數(shù),與φ

無關(guān);右邊僅是φ

的函數(shù),與r

無關(guān)。要使上式左右兩邊相等,只有它們等于同一個常數(shù)。記這個常數(shù)為λ,則有對于常微分方程(8.2-31),可以由周期性邊界條件確定本征值和本征函數(shù)其中Am

及Bm

為常數(shù)。2.齊次波動方程當(dāng)λ=m2

時,并令x=kr,則方程(8.2-32)變?yōu)樵摲匠谭Q為m

階的貝塞爾方程。在第十三章我們將看到,貝塞爾方程的一般解為其中Jm(kr)和

Nm(kr)分別為第一類和第二類m

階貝塞爾函數(shù),Cm

和Dm

為常數(shù)。為了確定常數(shù)k,要求波動方程(8.2-26)在徑向上的邊界條件必須是齊次的。

將式(8.2-36)與該齊次邊界條件聯(lián)立,就可以確定出貝塞爾方程的本征值我們將在第十三章對此進行詳細地討論。當(dāng)k為離散的本征值kn

時,方程(8.2-28)的解為其中En

和Fn

為常數(shù)。這樣,對上面得到的特解進行線性疊加,就可以得到波動方程在平面極坐標系中的一般解2.齊次波動方程注意:在對波動方程進行分離變量的過程中,引入了6個疊加系數(shù)Am,Bm,Cm,Dm,En

和Fn。實際上,這些疊加系數(shù)并不是都獨立地出現(xiàn)在式(8.2-39)中,這取決于所考慮的區(qū)域。例如,當(dāng)所考慮的區(qū)域是一個半徑為ρ0的區(qū)域時,即r<ρ0,由于第二類貝塞爾函數(shù)Nm

(kr)在r=0處為無窮,則要求式(8.2-36)中的

Dm=0。這時把式(8.2-34),式(8.2-36)及式(8.2-38)代入式(8.2-39),并對疊加系數(shù)進行重新組合,有

3.齊次輸運方程在平面極坐標系下,輸運方程為與前面的討論一樣,先將時間變量t和空間變量r={r,φ}進行分離,可以得到如下兩個方程同理,k2

為本征值,且僅可能是實數(shù)?？梢钥闯龇匠?8.2-43)也是一個亥姆霍茲方程。與上面的做法相同,進一步對變量r

和變量φ

進行分離變量,可以得到本征函數(shù)Φm(φ)和

Rm(r),見式(8.2-34)和式(8.2-36)。對于常數(shù)k,仍需要由徑向上的齊次邊界條件來確定。當(dāng)k

為分立的本征值kn

時,方程(8.2-42)的解為3.齊次輸運方程在輸運方程的分離變量過程中,引入了5個疊加系數(shù):Am,Bm,Cm,Dm

和En。同樣,這些疊加系數(shù)也并不是都獨立地出現(xiàn)在式(8.2-45)中。當(dāng)所考慮的區(qū)域是一個半徑為ρ0

的區(qū)域時(r<ρ0),可以把式(8.2-45)轉(zhuǎn)化成

對上面得到的特解進行線性疊加,就可以得到輸運方程在平面極坐標系中的一般解為8.3柱坐標系中的分離變量法1.拉普拉斯方程在柱坐標系中,拉普拉斯方程為

下面對方程(8.3-1)進行分離變量,令并將它代入式(8.3-1),可以得到以下三個方程其中λ及μ

為兩個待定的常數(shù)。1.拉普拉斯方程與前面的討論一樣,常微分方程(8.3-4)與自然周期性邊界條件構(gòu)成本征值問題,對應(yīng)的本征值和本征函數(shù)分別為其中Am

及Bm

為常數(shù)。當(dāng)λ=m2時,方程(8.3-6)為下面分兩種情況來討論方程(8.3-5)和(8.3-9)的解。(1)側(cè)面為齊次邊界條件當(dāng)柱的側(cè)面為齊次邊界條件時,可以取μ>0,方程(8.3-9)為m

階貝塞爾方程,其一般解為其中Cm

和Dm

為常數(shù)。與先前的討論一樣,這時本征值μ

應(yīng)由圓柱側(cè)面的齊次邊界條件來確定,有μ=μn(n=1,2,3,…)。當(dāng)μ>0時,方程(8.3-5)的一般解為其中En

及Fn

為常數(shù)。1.拉普拉斯方程(2)兩端為齊次邊界條件當(dāng)柱的上下兩端為齊次邊界條件時,可以取μ<0。令μ=-ν2,并令x=νr,則方程(8.3-9)變?yōu)樵摲匠虨閙階虛宗量貝塞爾方程,它的一般解為其中Im(νr)和

Km(νr)分別為第一類和第二類m

階虛宗量貝塞爾函數(shù),Cm

和Dm

為常數(shù)。我們將在第十三章中詳細討論虛宗量貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)。當(dāng)μ=-ν2<0時,方程(8.3-5)與圓柱體上下兩端的齊次邊界條件將構(gòu)成一個本征值問題,對應(yīng)的本征函數(shù)為其中En

及Fn

為常數(shù)。對于不同的齊次邊界條件,本征值νn

及常數(shù)En(或Fn)的取值是不同的。例如,對于第一類邊界條件,本征值為1.拉普拉斯方程而且常數(shù)Fn=0。對于以上兩種情況,可以把拉普拉斯方程(8.3-1)的一般解統(tǒng)一地表示為對于上面兩種不同的情況,Rm(r)和Zn(z)的形式是不一樣的。由上面的討論可以看出,對于不同的邊界條件,拉普拉斯方程解的形式是不一樣的。如果柱的側(cè)面上是齊次邊界條件,由此可以確定出本征值μn,而且徑向函數(shù)所遵從的方程為貝塞爾方程;反之,如果兩端為齊次邊界條件,由此可以確定出本征值μ=-ν2,而且徑向函數(shù)所遵從的方程為虛宗量貝塞爾方程。因此,在求解柱坐標系中的拉普拉斯方程時,首先要分辨清楚是柱側(cè)面為齊次邊界條件,還是兩端為齊次邊界條件,以便確定本征值問題。2.波動方程在柱坐標系(r,φ,z)下,齊次波動方程為與前面的做法一樣,首先將空間變量和時間變量進行分離,可以將方程(8.3-17)轉(zhuǎn)化成如下兩個方程其中k2為待定的實常數(shù)。下面進一步對變量r,φ

及z

進行分離。令并引入兩個常數(shù)λ和ν2,則很容易得到如下三個常微分方程2.波動方程如同前面的討論一樣,方程(8.3-21)與周期性邊界條件構(gòu)成了本征值問題,本征值和本征函數(shù)分別為由于方程(8.3-22)和(8.3-23)各含一個待定的常數(shù),分別為ν和k,因此在這種情況下,必須要求圓柱的側(cè)面和兩端都是齊次邊界條件。這樣,方程(8.3-23)與圓柱側(cè)面的齊次邊界條件構(gòu)成了一個本征值問題,對應(yīng)的本征值和本征函數(shù)分別為其中Cm

和Dm

為疊加系數(shù)。同樣,方程(8.3-22)與圓柱兩端的齊次邊界條件也構(gòu)成了一個本征值問題,對應(yīng)的本征函數(shù)為2.波動方程其中νn

為本征值,En

和Fn

為疊加系數(shù)。同樣,對于不同的齊次邊界條件,本征值νn

及常數(shù)En(或Fn)的取值是不一樣的。

其中Gnj

和Hnj

為疊加系數(shù)。這樣,可以把波動方程(8.3-17)在柱坐標系中的一般解表示為由以上討論可以看出,對于波動方程在柱坐標系中的定解問題,存在三個本征值,即λ,ν2

及μ=k2-ν2,它們分別由周期性條件,圓柱兩端的齊次邊界條件和圓柱側(cè)面的齊次邊界條件來確定。3.輸運方程我們以一個半徑為ρ0、高度為h

的圓柱體的熱傳導(dǎo)問題為例。在柱坐標系下,輸運方程為與前面的做法一樣,首先將空間變量和時間變量進行分離,可以得到如下兩個方程

這樣,輸運方程(8.3-31)的一般解為8.4球坐標系中的分離變量法1.拉普拉斯方程在球坐標系(r,θ,φ)下,拉普拉斯方程為

可以從有關(guān)微積分教科書中找到它的形式。我們首先將徑向變量r

分離出來,令將上式代入方程(8.4-1),則可以得到該方程左邊僅是r的函數(shù),而右邊則是θ和φ的函數(shù),要使得它們相等,僅有它們等于同一個常數(shù)。通常把這個常數(shù)取為λ,這樣可以得到1.拉普拉斯方程偏微分方程(8.4-5)被稱為球函數(shù)方程,Y(θ,φ)為球函數(shù)。下面再對球函數(shù)方程進行分離變量。令將式(8.4-6)代入方程(8.4-5),則可以得到該式左邊僅是θ的函數(shù),而右邊僅是φ

的函數(shù)。若左右兩邊相等,僅可能它們都等于同一個常數(shù)。設(shè)這個常數(shù)為μ,則有與前面的討論一樣,常微分方程(8.4-7)與周期性邊界條件結(jié)合,可以確定出本征值和本征函數(shù)其中Am

及Bm

為常數(shù)。1.拉普拉斯方程

對于方程(8.4-11),也存在著一個自然邊界條件,即要求在x=±1(對應(yīng)于θ=0,π)處,該方程的解應(yīng)存在。在第十二章將會看到:僅當(dāng)λ=l(l+1),且l只能取整數(shù)時,這個自然邊界條件才能成立。這樣,方程(8.4-11)變?yōu)樵摲匠瘫环Q為l階連帶勒讓德方程,它的解為所謂的連帶勒讓德函數(shù)

1.拉普拉斯方程其解為所謂的勒讓德函數(shù)y=Pl(cosθ)。我們將在第十二章中詳細討論勒讓德方程和連帶勒讓德方程的解,以及勒讓德函數(shù)和連帶勒讓德函數(shù)的性質(zhì)。當(dāng)λ=l(l+1)時,方程(8.4-4)變?yōu)檫@是一個歐拉型的常微分方程,其解為其中Cl及Dl為常數(shù)。這樣,拉普拉斯方程(8.4-1)在球坐標系中的一般解為將式(8.4-10)和式(8.4-16)代入式(8.4-17),并對系數(shù)進行重新組合,則可以得到1.拉普拉斯方程

其中Pl(cosθ)為勒讓德函數(shù)。在球內(nèi)(r<r0)區(qū)域,式(8.4-20)退化為我們將在第十二章針對一些具體的問題,詳細介紹勒讓德函數(shù)和連帶勒讓德函數(shù)的應(yīng)用。這里需要強調(diào)的是:(1)對于拉普拉斯方程在球坐標系中的定解問題,球面上的邊界條件可以是非齊次的;(2)在分離變量過程中,出現(xiàn)的兩個本征值μ

和λ

分別是由周期性條件和自然邊界條件確定2.波動方程在球坐標系(r,θ,φ)下,齊次波動方程為

將它代入方程(8.4-22),可以得到由于上式左邊僅是時間變量t的函數(shù),而右邊僅是空間變量r的函數(shù)。若要上式成立,只有兩邊都等于同一個常數(shù)。設(shè)這個常數(shù)為-k2,則可以得到如下兩個方程后面將會看到,k2為本征值,且僅可能是實數(shù)。2.波動方程偏微分方程(8.4-25)也是一個亥姆霍茲方程。下面繼續(xù)對亥姆霍茲方程進行分離變量。先將徑向變量r

分離出來,令將上式代入方程(8.4-25),則可以得到該方程左邊僅是r的函數(shù),而右邊僅是θ和φ的函數(shù),要使得它們相等,僅有它們等于同一個常數(shù)。通常把這個常數(shù)取為l(l+1),這樣可以得到

2.波動方程該方程為l階的球貝塞爾方程。在第十二章將看到,球貝塞爾方程的一般解為其中jl(x)和nl(x)分別為l階第一類和第二類球貝塞爾函數(shù)。對于波動方程,為了確定常數(shù)k(本征值),其徑向上的邊界條件必須是齊次的。這樣,可以得到