數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

計(jì)算機(jī)模擬/sundae_meng實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)模擬的基本過程與方法．1．模擬的概念．4．實(shí)驗(yàn)作業(yè)．3．計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例．2．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令．/sundae_meng連續(xù)系統(tǒng)模擬實(shí)例:追逐問題離散系統(tǒng)模擬實(shí)例:排隊(duì)問題用蒙特卡羅法解非線性規(guī)劃問題返回計(jì)算機(jī)模擬實(shí)例/sundae_meng模擬的概念

模擬就是利用物理的、數(shù)學(xué)的模型來類比、模仿現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)及其演變過程，以尋求過程規(guī)律的一種方法．

模擬的基本思想是建立一個(gè)試驗(yàn)的模型，這個(gè)模型包含所研究系統(tǒng)的主要特點(diǎn)．通過對這個(gè)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪\(yùn)行，獲得所要研究系統(tǒng)的必要信息./sundae_meng模擬的方法1．物理模擬：對實(shí)際系統(tǒng)及其過程用功能相似的實(shí)物系統(tǒng)去模仿．例如，軍事演習(xí)、船艇實(shí)驗(yàn)、沙盤作業(yè)等．

物理模擬通常花費(fèi)較大、周期較長，且在物理模型上改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和系數(shù)都較困難．而且，許多系統(tǒng)無法進(jìn)行物理模擬，如社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等．/sundae_meng

在實(shí)際問題中，面對一些帶隨機(jī)因素的復(fù)雜系統(tǒng)，用分析方法建模常常需要作許多簡化假設(shè)，與面臨的實(shí)際問題可能相差甚遠(yuǎn)，以致解答根本無法應(yīng)用．這時(shí)，計(jì)算機(jī)模擬幾乎成為唯一的選擇．

在一定的假設(shè)條件下，運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算模擬系統(tǒng)的運(yùn)行，稱為數(shù)學(xué)模擬．現(xiàn)代的數(shù)學(xué)模擬都是在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的，稱為計(jì)算機(jī)模擬．2．?dāng)?shù)學(xué)模擬

計(jì)算機(jī)模擬可以反復(fù)進(jìn)行，改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和系數(shù)都比較容易．

蒙特卡羅（MonteCarlo）方法是一種應(yīng)用隨機(jī)數(shù)來進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的方法．此方法對研究的系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)觀察抽樣，通過對樣本值的觀察統(tǒng)計(jì)，求得所研究系統(tǒng)的某些參數(shù)．/sundae_meng例1

在我方某前沿防守地域，敵人以一個(gè)炮排（含兩門火炮）為單位對我方進(jìn)行干擾和破壞．為躲避我方打擊，敵方對其陣地進(jìn)行了偽裝并經(jīng)常變換射擊地點(diǎn)．

經(jīng)過長期觀察發(fā)現(xiàn)，我方指揮所對敵方目標(biāo)的指示有50％是準(zhǔn)確的，而我方火力單位，在指示正確時(shí)，有1/3的射擊效果能毀傷敵人一門火炮，有1/6的射擊效果能全部消滅敵人．

現(xiàn)在希望能用某種方式把我方將要對敵人實(shí)施的20次打擊結(jié)果顯現(xiàn)出來，確定有效射擊的比率及毀傷敵方火炮的平均值．分析：這是一個(gè)概率問題，可以通過理論計(jì)算得到相應(yīng)的概率和期望值.但這樣只能給出作戰(zhàn)行動(dòng)的最終靜態(tài)結(jié)果，而顯示不出作戰(zhàn)行動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程.

為了能顯示我方20次射擊的過程，現(xiàn)采用模擬的方式．/sundae_meng

需要模擬出以下兩件事：

1.問題分析[2]當(dāng)指示正確時(shí)，我方火力單位的射擊結(jié)果情況[1]觀察所對目標(biāo)的指示正確與否模擬試驗(yàn)有兩種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率都是1/2．

因此，可用投擲1枚硬幣的方式予以確定，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時(shí)為指示正確，反之為不正確．

模擬試驗(yàn)有三種結(jié)果：毀傷1門火炮的可能性為1/3(即2/6)，毀傷兩門的可能性為1/6，沒能毀傷敵火炮的可能性為1/2(即3/6)．

這時(shí)可用投擲骰子的方法來確定：如果出現(xiàn)的是１、２、３點(diǎn)：則認(rèn)為沒能擊中敵人；如果出現(xiàn)的是４、５點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人一門火炮；若出現(xiàn)的是６點(diǎn)：則認(rèn)為毀傷敵人兩門火炮．/sundae_meng2.符號假設(shè)i：要模擬的打擊次數(shù)；k1：沒擊中敵人火炮的射擊總數(shù)；k2：擊中敵人一門火炮的射擊總數(shù)；k3：擊中敵人兩門火炮的射擊總數(shù)．E：有效射擊比率；E1：20次射擊平均每次毀傷敵人的火炮數(shù)．3.模擬框圖初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=k1+1k2=k2+1k3=k3+1k1=k1+1i＜20?E=E1=0×

+1×

+2×

停止硬幣正面?YNNY1，2，34，56/sundae_meng4.模擬結(jié)果/sundae_meng/sundae_meng5.理論計(jì)算/sundae_meng6.結(jié)果比較

返回

雖然模擬結(jié)果與理論計(jì)算不完全一致，但它卻能更加真實(shí)地表達(dá)實(shí)際戰(zhàn)斗動(dòng)態(tài)過程．用蒙特卡羅方法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬的步驟：[1]設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯框圖，即模擬模型．這個(gè)框圖要正確反映系統(tǒng)各部分運(yùn)行時(shí)的邏輯關(guān)系．[2]模擬隨機(jī)現(xiàn)象．可通過具有各種概率分布的模擬隨機(jī)數(shù)來模擬隨機(jī)現(xiàn)象．/sundae_meng產(chǎn)生模擬隨機(jī)數(shù)的計(jì)算機(jī)命令

在MATLAB軟件中，可以直接產(chǎn)生滿足各種分布的隨機(jī)數(shù)，命令如下：2．產(chǎn)生m×n階［０，１］均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣：

rand(m,n)

產(chǎn)生一個(gè)［０，１］均勻分布的隨機(jī)數(shù)：rand1．產(chǎn)生m×n階［a，b］上均勻分布U（a，b）的隨機(jī)數(shù)矩陣：

unifrnd(a,b,m,n)

產(chǎn)生一個(gè)［a，b］均勻分布的隨機(jī)數(shù)：unifrnd(a,b)

當(dāng)只知道一個(gè)隨機(jī)變量取值在（a，b）內(nèi)，但不知道（也沒理由假設(shè)）它在何處取值的概率大，在何處取值的概率小，就只好用U（a，b）來模擬它．例1的計(jì)算機(jī)模擬/sundae_mengToMATLAB（rnd）當(dāng)研究對象視為大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，且其中每一種變量對總和的影響都很小時(shí)，可以認(rèn)為該對象服從正態(tài)分布．機(jī)械加工得到的零件尺寸的偏差、射擊命中點(diǎn)與目標(biāo)的偏差、各種測量誤差、人的身高、體重等，都可近似看成服從正態(tài)分布．/sundae_meng若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布．指數(shù)分布的期望值為

排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)中顧客到達(dá)率為常數(shù)時(shí)的到達(dá)間隔、故障率為常數(shù)時(shí)零件的壽命都服從指數(shù)分布．指數(shù)分布在排隊(duì)論、可靠性分析中有廣泛應(yīng)用．注意：MATLAB中，產(chǎn)生參數(shù)為的指數(shù)分布的命令為exprnd()例顧客到達(dá)某商店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布

指數(shù)分布的均值為1/0.1=10．指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是10個(gè)單位時(shí)間.即平均10個(gè)單位時(shí)間到達(dá)1個(gè)顧客.顧客到達(dá)的間隔時(shí)間可用exprnd(10)模擬．/sundae_meng設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,…,且取各個(gè)值的概率為其中>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布．泊松分布在排隊(duì)系統(tǒng)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、天文、物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用．泊松分布的期望值為/sundae_meng如相繼兩個(gè)事件出現(xiàn)的間隔時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則在單位時(shí)間間隔內(nèi)事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布．即單位時(shí)間內(nèi)該事件出現(xiàn)k次的概率為：反之亦然．指數(shù)分布與泊松分布的關(guān)系：(1)指兩個(gè)顧客到達(dá)商店的平均間隔時(shí)間是10個(gè)單位時(shí)間.即平均10個(gè)單位時(shí)間到達(dá)1個(gè)顧客.(2)指一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)0.1個(gè)顧客例(1)顧客到達(dá)某商店的間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布

(2)該商店在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)服從參數(shù)為0.1的泊松分布/sundae_meng

返回例2敵坦克分隊(duì)對我方陣地實(shí)施突襲，其到達(dá)規(guī)律服從泊松分布，平均每分鐘到達(dá)４輛．（1）模擬敵坦克在３分鐘內(nèi)到達(dá)目標(biāo)區(qū)的數(shù)量，以及在第１、２、３分鐘內(nèi)各到達(dá)幾輛坦克．（2）模擬在3分鐘內(nèi)每輛敵坦克的到達(dá)時(shí)刻．

（1）用poissrnd(4)進(jìn)行模擬．ToMATLAB（poiss）（2）坦克到達(dá)的間隔時(shí)間應(yīng)服從參數(shù)為4的負(fù)指數(shù)分布，用exprnd（1/4）模擬．

ToMATLAB（time）/sundae_meng連續(xù)系統(tǒng)模擬實(shí)例:追逐問題

狀態(tài)隨時(shí)間連續(xù)變化的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)．對連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模擬只能是近似的，只要這種近似達(dá)到一定的精度，也就可以滿足要求．例追逐問題:

如圖,正方形ABCD的4個(gè)頂點(diǎn)各有1人.在某一時(shí)刻,4人同時(shí)出發(fā)以勻速v=1m/s按順時(shí)針方向追逐下一人,如果他們始終保持對準(zhǔn)目標(biāo),則最終按螺旋狀曲線于中心點(diǎn)O.試求出這種情況下每個(gè)人的行進(jìn)軌跡.OBCDA/sundae_meng1.建立平面直角坐標(biāo)系:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).2.取時(shí)間間隔為Δt,計(jì)算每一點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的坐標(biāo).4.對每一個(gè)點(diǎn)，連接它在各時(shí)刻的位置,即得所求運(yùn)動(dòng)軌跡.求解過程:ToMATLAB(chase)返回/sundae_mengv=1;dt=0.05;x=[001010];y=[010100];fori=1:4plot(x(i),y(i),'.'),holdonendd=20;while(d>0.1)x(5)=x(1);y(5)=y(1);

fori=1:4d=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d;y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d;plot(x(i),y(i),'.'),holdon

endend計(jì)算程序:ToMATLAB(chase)返回/sundae_meng離散系統(tǒng)模擬實(shí)例:排隊(duì)問題

排隊(duì)論主要研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的工作過程．

在排隊(duì)系統(tǒng)中，服務(wù)對象的到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的．排隊(duì)論通過對每個(gè)個(gè)別的隨機(jī)服務(wù)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)研究，找出反映這些隨機(jī)現(xiàn)象平均特性的規(guī)律，從而為設(shè)計(jì)新的服務(wù)系統(tǒng)和改進(jìn)現(xiàn)有服務(wù)系統(tǒng)的工作提供依據(jù)．

對于排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng),顧客常常注意排隊(duì)的人是否太多,等候的時(shí)間是否長,而服務(wù)員則關(guān)心他空閑的時(shí)間是否太短.于是人們常用排隊(duì)的長度、等待的時(shí)間及服務(wù)利用率等指標(biāo)來衡量系統(tǒng)的性能./sundae_meng[1]系統(tǒng)的假設(shè)：（1）顧客源是無窮的；（2）排隊(duì)的長度沒有限制；（3）到達(dá)系統(tǒng)的顧客按先后順序依次進(jìn)入服務(wù)，即“先到先服務(wù)”．單服務(wù)員的排隊(duì)模型：在某商店有一個(gè)售貨員，顧客陸續(xù)來到，售貨員逐個(gè)地接待顧客．當(dāng)?shù)絹淼念櫩洼^多時(shí)，一部分顧客便須排隊(duì)等待，被接待后的顧客便離開商店．設(shè)：1．顧客到來間隔時(shí)間服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布．２．對顧客的服務(wù)時(shí)間服從［４，１５］上的均勻分布．３．排隊(duì)按先到先服務(wù)規(guī)則，隊(duì)長無限制．

假定一個(gè)工作日為8小時(shí)，時(shí)間以分鐘為單位．[1]模擬一個(gè)工作日內(nèi)完成服務(wù)的個(gè)數(shù)及顧客平均等待時(shí)間t．[2]模擬100個(gè)工作日，求出平均每日完成服務(wù)的個(gè)數(shù)及每日顧客的平均等待時(shí)間．/sundae_meng

[2]符號說明

w：總等待時(shí)間；ci：第i個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)刻；

bi：第i個(gè)顧客開始服務(wù)時(shí)刻；ei：第i個(gè)顧客服務(wù)結(jié)束時(shí)刻．

xi：第i-1個(gè)顧客與第i個(gè)顧客到達(dá)之間的時(shí)間間隔

yi：對第i個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間c1b1c3c4c5c2e1b2e2b3e3b4e4b5ci=ci-1+xiei=bi+yibi=max(ci,ei-1)t/sundae_meng[3]模擬框圖初始化：令i=1，ei-1=0，w=0產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布

ci=xi

,bi=xi

產(chǎn)生服務(wù)時(shí)間隨機(jī)數(shù)yi服從[4,15]的均勻分布

ei=bi+yi累計(jì)等待時(shí)間：w=w+bi-ci準(zhǔn)備下一次服務(wù)：i=i+1產(chǎn)生間隔時(shí)間隨機(jī)數(shù)xi服從參數(shù)為0.1的指數(shù)分布

ci=ci-1+xi

確定開始服務(wù)時(shí)間：bi=max(ci,ei-1)bi＞480?YNi=i-1,t=w/i輸出結(jié)果：完成服務(wù)個(gè)數(shù)：m=i

平均等待時(shí)間：t停止[1]模擬1日

simu1.m[2]模擬100日ToMATLAB(simu2)返回/sundae_meng用蒙特卡羅法解非線性規(guī)劃問題/sundae_meng基本假設(shè)

試驗(yàn)點(diǎn)的第j個(gè)分量xj服從[aj,bj]內(nèi)的均勻分布．符號假設(shè)求解過程

先產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù)作為初始試驗(yàn)點(diǎn),以后則將上一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的第j個(gè)分量隨機(jī)產(chǎn)生，其他分量不變而產(chǎn)生一新的試驗(yàn)點(diǎn)．這樣，每產(chǎn)生一個(gè)新試驗(yàn)點(diǎn)只需一個(gè)新的隨機(jī)數(shù)分量．當(dāng)K>MAXK或P>MAXP時(shí)停止迭代．/sundae_meng框圖初始化:給定MAXK,MAXP;k=0,p=0,Q:大整數(shù)xj=aj+R(bj-aj)j=1,2,…,nj=0j=j+1,p=p+1P>MAXP?YNxj=aj+R(bj-aj)gi(X)≥0?i=1,2…nYNj<n?f(X)≥Q?YNX*=X,Q=f(X)k=k+1k>MAXK?YN輸出X,Q,停止YN/sundae_meng

在MATLAB軟件包中編程，共需3個(gè)Ｍ文件:randlp.m,mylp.m,

lpconst.m.主程序?yàn)閞andlp.m.%mylp.mfunctionz=mylp(x)

%目標(biāo)函數(shù)z=2*x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-8*x(1)-3*x(2);

%轉(zhuǎn)化為求最小值問題/sundae_meng%randlp.m

function[sol,r1,r2]=randlp(a,b,n)

%隨機(jī)模擬解非線性規(guī)劃debug=1;a=0;

%試驗(yàn)點(diǎn)下界b=10;

%試驗(yàn)點(diǎn)上界n=1000;

%試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)r1=unifrnd(a,b,n,1);

%n

1階的［a,b］均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣r2=unifrnd(a,b,n,1);sol=[r1(1)r2(1)];z0=inf;fori=1:nx1=r1(i);x2=r2(i);lpc=lpconst([x1x2])；

iflpc==1z=mylp([x1x2])；

ifz<z0z0=z；

sol=[x1x2]；

end

endendToMATLAB(randlp)返回/sundae_meng實(shí)驗(yàn)作業(yè)1．編一個(gè)福利彩票電腦選號的程序．/sundae_meng4.某設(shè)備上安裝有4只型號規(guī)格完全相同的電子管，已知電子管壽命服從1000～2000h之間的均勻分布．電子管損壞時(shí)有兩種維修方案，一是每次更換損壞的那只；二是當(dāng)其中1只損壞時(shí)4只同時(shí)更換．已知更換時(shí)間為換1只時(shí)需1h，4只同時(shí)換為2h．更換時(shí)機(jī)器因停止運(yùn)轉(zhuǎn)每小時(shí)的損失為20元，又每只電子管價(jià)格10元，試用模擬方法確定哪一個(gè)方案經(jīng)濟(jì)合理？5.

導(dǎo)彈追蹤問題：設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度(常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度為5.模擬導(dǎo)彈運(yùn)行的軌跡.乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？/sundae_meng初始化:i=0,k1=0,k2=0,k3=0i=i+1骰子點(diǎn)數(shù)?k1=