第八章立體幾何初步8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、教學(xué)目標(biāo)1.了解空間兩條直線之間的位置關(guān)系，理解異面直線的概念以及簡(jiǎn)單應(yīng)用．2.掌握直線與平面的位置關(guān)系并能畫圖表示，能用數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確表示出位置關(guān)系．3.掌握平面與平面的位置關(guān)系并能畫圖表示，能用數(shù)學(xué)符號(hào)準(zhǔn)確表示出位置關(guān)系．4.能夠綜合處理點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力，幫助學(xué)生提升直觀想象和空間觀念等學(xué)科素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：空間直線、平面的位置關(guān)系難點(diǎn)：會(huì)用三種語言（圖形語言、文字語言、符號(hào)語言）描述空間直線、平面的位置關(guān)系并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.

三、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境情境：世界萬物都可以看作是點(diǎn)、線、面、體等空間元素組成的，這些空間元素是如何有序排列的呢？他們之間的位置關(guān)系是怎樣的呢？當(dāng)太陽從東方的地平線徐徐升起時(shí)，太陽與海平面的位置關(guān)系可以看作點(diǎn)與平面的關(guān)系；小鳥站在高壓線上，小鳥和高壓線的關(guān)系可以抽象出點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，在繁華都市里，充滿現(xiàn)代感的高樓大廈，樓頂與地面平行，相鄰側(cè)面相交，這些都是點(diǎn)、先、線、面的關(guān)系在生活中的體現(xiàn).那么，空間中點(diǎn)、直線、平面之間還有其他位置關(guān)系嗎？這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．設(shè)計(jì)意圖：通過感受生活實(shí)例，直觀感知空間中物體之間的位置關(guān)系，抽象出平面中的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，提出問題，引入新課．（二）探究新知任務(wù)一：借助長(zhǎng)方體，探究空間中兩直線之間的位置關(guān)系.思考１：空間中點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是怎樣的？點(diǎn)與面的位置關(guān)系是怎樣的？答：空間中點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有兩種：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；如：A空間中點(diǎn)與平面的位置關(guān)系也有兩種：點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外；如：A思考2：在長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'D'中，與直線AB答案：與直線AB平行的棱：A與直線AB相交的棱：AA思考3：直線AB與直線CC'答案：既不想交也不平行，它們是異面直線.總結(jié)：我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．如：直線AB與直線CC'既不平行，也不相交，是異面直線.思考：你還能找出與直線AB異面的其它直線嗎？空間兩條直線的位置關(guān)系有幾種情形？答案：直線B'C'、直線A'空間直線間的位置關(guān)系可分為共面直線和異面直線，其中共面直線又分為平行直線和相交直線．相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．設(shè)計(jì)意圖：通過層層遞進(jìn)的問題設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生得出直線與直線的位置關(guān)系的所有情形，培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的能力.說一說：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點(diǎn)，如何作圖呢？答案：通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如下圖所示．思考：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線嗎？答案：不能把異面直線誤認(rèn)為是分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍∩b=O，所以設(shè)計(jì)意圖：通過“說一說”設(shè)置，讓學(xué)生嘗試異面直線的作圖以及對(duì)概念的辨析，進(jìn)一步加深理解直線與直線的位置關(guān)系.任務(wù)二在空間中，探究直線與平面的位置關(guān)系探究1：觀察教室兩墻面的交線與地面的關(guān)系，墻面和天花板的交線與地面的關(guān)系，再觀察你手中的筆與作業(yè)本所在平面可能的位置關(guān)系．你發(fā)現(xiàn)了什么？答案：教室兩墻面的交線與地面的關(guān)系，墻面和天花板的交線與地面的關(guān)系如下圖所示：手中的筆與作業(yè)本所在平面可能的位置關(guān)系，如下圖：探究2：以長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'D'（1）直線A'B'與平面ABCD有幾個(gè)公共點(diǎn)？（2）直線AA'與平面ABCD有幾個(gè)公共點(diǎn)？（3）直線AB與平面ABCD有幾個(gè)公共點(diǎn)？答：（1）直線A'B'與平面ABCD沒有公共點(diǎn)．（2）直線AA'與平面ABCD只有一個(gè)公共點(diǎn)A；（3）直線AB與平面ABCD有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；說一說：直線與平面的位置關(guān)系有哪些？如何用圖形表示呢？直線與平面平行直線與平面相交直線在平面內(nèi)定義：如果一條直線a和一個(gè)平面α沒有公共點(diǎn)，那么稱直線a與平面α平行；如果直線a與平面α有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么稱直線a與平面α相交；如果直線a與平面α有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么稱直線a在平面α內(nèi)．設(shè)計(jì)意圖：通過生活中的案例，讓學(xué)生感受直線與平面的位置關(guān)系，另外，從交點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度再一次理解直線與平面的位置關(guān)系，最后形成結(jié)論.任務(wù)三：探究平面與平面的位置關(guān)系思考1：觀察長(zhǎng)方體ABCD?A'B'C'D'，它的上、下底面有沒有公共點(diǎn)？下底面與平面BCC答案：長(zhǎng)方體的上、下底面無論怎樣延展都沒有公共點(diǎn)，而它的下底面與平面BCC'B'有一條公共思考2：平面與平面的位置關(guān)系有哪些情形呢？如何判定平面與平面的位置關(guān)系呢？答案：平行或相交；可以從兩個(gè)平面有無交點(diǎn)來進(jìn)行判定，如果兩個(gè)平面有交點(diǎn)，則兩個(gè)平面相交，交線必過該交點(diǎn).如果兩個(gè)平面沒有交點(diǎn)，則說明兩個(gè)平面平行.總結(jié)：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么稱這兩個(gè)平面互相平行．如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由基本事實(shí)3可知，它們相交于經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)的一條直線，此時(shí)稱這兩個(gè)平面相交．設(shè)計(jì)意圖：從熟悉的長(zhǎng)方體入手，通過生活中的案例，讓學(xué)生感受直線與平面的位置關(guān)系，另外，從交點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度再一次理解直線與平面的位置關(guān)系，最后形成結(jié)論.（三）應(yīng)用舉例例1用符號(hào)表示下列圖形中直線、平面之間的位置關(guān)系．分析：直線與平面的位置關(guān)系有幾種情形呢？直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行.解：在（1）中，α∩β=l，在（2）中，α∩β=l，a?α，b?總結(jié)：判斷直線與平面的位置關(guān)系，可以從判斷直線與平面的交點(diǎn)個(gè)數(shù)入手.例2如圖，AB∩α=B，A?α，a?α，B分析：判斷直線AB與a的位置關(guān)系的突破口是什么？?jī)芍本€是否共面，或者兩直線有無交點(diǎn).解：直線AB與a是異面直線．理由如下：若直線AB與直線a不是異面直線，則它們相交或平行．設(shè)它們確定的平面為β，則B∈β，a?β．由于經(jīng)過點(diǎn)B與直線a有且僅有一個(gè)平面α，因此平面α與平面β重合，從而AB?α，進(jìn)而A∈α，這與A?α總結(jié)：判斷異面直線的方法：1.利用異面直線的定義判斷；2.與一個(gè)平面相交的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線．設(shè)計(jì)意圖：通過例題，考查學(xué)生對(duì)空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的理解，并鍛煉學(xué)生三種語言的轉(zhuǎn)化能力．例3：如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，BB1的中點(diǎn)，則下列直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系是什么？(1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系；(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系；(3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系；(4)平面AMD1與平面BNC的位置關(guān)系解(1)AM所在的直線與平面ABCD相交．(2)CN所在的直線與平面ABCD相交．(3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行．(4)平面AMD1與平面BNC相交.例4在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)．求證：平面ACC1A1與平面BEF相交．分析：判定面面相交的突破口是什么？通過推理論證這兩個(gè)平面有交點(diǎn)即可.證明：∵在矩形AA1B1B中，E為A1B1的中點(diǎn)，∴AA1與BE不平行，則AA1，BE的延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1?平面ACC1A1，BE?平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1與平面BEF相交．總結(jié)：判斷或證明平面與平面的位置關(guān)系時(shí)主要考慮平面與平面有無公共點(diǎn)，如果有公共點(diǎn)，則兩平面平行；如果可以找到一個(gè)公共點(diǎn)，則兩平面相交．一般通過直線的交點(diǎn)來確定平面的公共點(diǎn).設(shè)計(jì)意圖：通過3,4兩個(gè)例題，考查學(xué)生對(duì)空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的理解，并能夠在常見幾何體中識(shí)別這些位置關(guān)系，同時(shí)能夠推導(dǎo).鍛煉學(xué)生解決問題的能力．（四）課堂練習(xí)1.G，N，M，H分別是下圖中正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形的是

.(填序號(hào))

解：由題意可得圖①中GH與MN平行，不合題意；

圖②中G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，∴直線GH與MN異面，符合題意；

圖③中連結(jié)MG，GM//HN，因此GH與MN共面，不合題意；

圖④中G，M，N共面，但H?平面GMN，∴直線GH與MN異面，符合題意．

故答案為②④．2.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是A1D1的中點(diǎn)，則直線MD與平面A1ACC1的位置關(guān)系是

．

解：由于M是A1D1的中點(diǎn)，延長(zhǎng)DM，

則它與3.在正方體AC1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A1F與平面D1AE的垂線垂直，如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①點(diǎn)F的軌跡是一條線段；

②A?1F與BE是異面直線；

③A?1F解：對(duì)于①，設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G，連接AG、EG，

則G為分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N，連接A1M、MN、A1N，

ME=?//B1C1∴A1M//平面D1AE．

∵A1M、MN∴平面A1MN//平面D1AE，

根據(jù)題意可得A1F//平面即點(diǎn)F是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．所以①正確；對(duì)于②，∵A1F和平面BCC1B1相交于F∴A1F與BE對(duì)于③，由①知，點(diǎn)F是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)F與M重合時(shí)，A1F與D1對(duì)于④，因?yàn)镸N//平面D1AB，則F到平面AD1B的距離是定值，三角形AB故答案為：①②④4.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是A1D1的中點(diǎn)，則直線DM與平面A1AC解：∵M(jìn)是A1

∴直線DM與直線AA1相交，

∴DM與平面A1AC