第八章立體幾何初步8.5.1直線(xiàn)與直線(xiàn)平行

一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)復(fù)習(xí)平面內(nèi)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的情形，理解基本事實(shí)4，并能應(yīng)用基本事實(shí)4解決線(xiàn)線(xiàn)平行的相關(guān)問(wèn)題.2.理解等角定理，并會(huì)應(yīng)用這個(gè)定理解決相關(guān)問(wèn)題，通過(guò)經(jīng)歷等角定理的假設(shè)、推導(dǎo)過(guò)程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：基本事實(shí)4和等角定理．難點(diǎn)：利用基本事實(shí)4和等角定理解決相關(guān)問(wèn)題．

三、教學(xué)過(guò)程創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)回顧：1.在平面幾何的學(xué)習(xí)中，我們研究過(guò)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，同一平面中，兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有哪些呢？答：平行、相交2.在同一平面中，如何判定兩條直線(xiàn)平行呢？答：(1)定義法：如果兩直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)，那么兩直線(xiàn)平行.(2)定理法：同位角相等，兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行平行公理：平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行.思考：如何判定空間中兩直線(xiàn)平行呢？這些方法仍然適用嗎？答：利用平行直線(xiàn)的定義或基本事實(shí)4證明；仍然適用.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)同一平面內(nèi)直線(xiàn)平行的相關(guān)知識(shí)，制造認(rèn)知沖突，引出新課．探究新知任務(wù)1在空間中，探究平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)的關(guān)系探究1：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB，則DC與A1B1平行嗎？觀察你所在的教室，你能找到類(lèi)似的實(shí)例嗎？答：通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)，DC//A1B1,，在教室里，黑板邊所在直線(xiàn)AA'和門(mén)框所在直線(xiàn)CC'都平行于墻與墻的交線(xiàn)BB'，可以發(fā)現(xiàn)CC'//AA'．探究2：如圖，將一張長(zhǎng)方形的紙如圖進(jìn)行折疊,則各折痕a,b,c,d,e,…之間平行嗎？答：a//b//c//d//e設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)生活案例的設(shè)計(jì)，探究基本事實(shí)4，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，思考能力以及抽象思維．思考：通過(guò)任務(wù)一，你能得到怎樣的結(jié)論呢？基本事實(shí)4平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行．符號(hào)表示：a//b，b//c?a//c．【總結(jié)】基本事實(shí)4的作用含義：空間中平行于同一條直線(xiàn)的所有直線(xiàn)都互相平行．作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)．判定空間中兩直線(xiàn)平行的2種方法：1.兩直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)2.基本事實(shí)4設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)基本事實(shí)4的剖析，培養(yǎng)學(xué)生辨析能力，以及對(duì)知識(shí)的歸納總結(jié)能力．任務(wù)二：類(lèi)比平面中的等角定理，探究空間中的等角定理思考1：如圖,四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面是平行四邊形，∠ADC與∠A'D'C'，∠ADC與∠B'A'D'的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何?答：圖(1)中，∠ADC=∠A'D'C'圖(2)中，∠ADC與∠B'A'D'互補(bǔ)思考2：如圖，當(dāng)空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行時(shí)，這兩個(gè)角有怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)理由．答：對(duì)于圖（1），可以構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，使∠BACQUOTEBAC和∠B'A'C'QUOTE∠B'A'C'是它們的對(duì)應(yīng)角，從而證明∠BAC=∠B'A'C'QUOTEBAC=B'A'C'．如下圖，分別在∠BACQUOTEBAC和∠B'A'C'的兩邊上截取AD，AE和A'D'QUOTEA'D'，A'E'QUOTEA'E'，使得AD=A'D'QUOTEAD=A'D'，AE=A'E'QUOTEAE=A'E'．連接AA'，DE'，EE'，DE，D'E'．QUOTEAA'，DD'，EE'，DE，D'E'.∵AD∥A'D'且AD=A'D'，∴四邊形ADD'A'QUOTEADD'A'是平行四邊形．∴AA'∥DD'且AA'=DD'．同理可證AA'∥EE'且∴DD'∥EE'且DD'=EE'．∴四邊形DD'E'EQUOTEDD'E'E是平行四邊形．∴DE=D'E'．∴△ADE≌△A'D'E'．∴∠BAC=∠B'A'C'．對(duì)于圖（2），同理可證．思考1：通過(guò)任務(wù)二的探究過(guò)程，你能得到怎樣的結(jié)論呢？等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．2.如何理解等角定理的實(shí)質(zhì)呢？若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向都相同(或方向都相反)，則這兩個(gè)角相等,如圖：若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．如圖：設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)在長(zhǎng)方體中角之間的關(guān)系，探究等角定理，接著通過(guò)全等三角形證明定理，最后深度剖析定理，形成完整的學(xué)習(xí)閉環(huán)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，以及歸納總結(jié)能力．（三）應(yīng)用舉例例1：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：EFGH是平行四邊形．分析：判定平行四邊形的依據(jù)是什么？利用平行四邊形的判定定理來(lái)證明證明：連接BD．∵EH是△ABD的中位線(xiàn)，∴EH∥BD，且EH=1同理FG∥BDQUOTEFG//BD，且FG=12BDQUOTEFG=12BD.∴EH∥FG且EH=FG．∴四邊形EFGH為平行四邊形．【總結(jié)】基本事實(shí)4是證明空間中直線(xiàn)的平行關(guān)系的重要依據(jù)，有時(shí)也叫平行線(xiàn)的傳遞性，解題時(shí)首先找到一條直線(xiàn)，使所證的直線(xiàn)都與這條直線(xiàn)平行．例２：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形BB1M1M為平行四邊形；(2)求證：∠BMC＝∠B1M1C1．證明：(1)∵ABCD-A1B1C1D1為正方體．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分別為棱AD，A1D1的中點(diǎn)，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四邊形AMM1A1為平行四邊形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四邊形BB1M1M為平行四邊形．【總結(jié)】通過(guò)基本事實(shí)4證明空間中的直線(xiàn)平行，常常借助平行四邊形性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)性質(zhì)等．(2)法一：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1∥BM．同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1．法二：由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形，∴B1M1＝BM．同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形，∴C1M1＝CM．又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1．【總結(jié)】利用等角定理證明空間角相等時(shí)，需要說(shuō)明角的兩組對(duì)應(yīng)邊分別平行，且同向或方向相反．例3：如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖,如果將它還原為正方體,那么AB,CD,EF,GH這四條線(xiàn)段所在直線(xiàn)平行直線(xiàn)有多少對(duì)?異面直線(xiàn)呢？分析：得到正確解答的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？做到不重不漏.解：平行直線(xiàn)有1對(duì)，異面直線(xiàn)有3對(duì).設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，熟悉直線(xiàn)與直線(xiàn)平行的相關(guān)解題方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力．（四）課堂練習(xí)1.如果OA//O'A'，OB//O'B'，那么∠AOB和∠A'O'B'(

)A.互補(bǔ) B.可能相等，也可能互補(bǔ)

C.大小無(wú)關(guān) D.相等

解：若∠AOB和∠A'O'B'方向相同，則∠AOB=∠A'O'B'；

若∠AOB和∠A'O'B'方向相反，則∠AOB+∠A'O'B'=π．

故選B．2.下列命題正確的是A.不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行

C.經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面

D.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等

解：在A中，由基本事實(shí)1，不共線(xiàn)的三點(diǎn)可以確定唯一的一個(gè)平面，故A正確；

在B中，由基本事實(shí)4可知，平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行，故B正確;

在C中，由推論3可知，經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)有且僅有一個(gè)平面，C正確;

在D中，由等角定理，如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等或互補(bǔ)，故D錯(cuò)誤．

故選：ABC．3.四面體ABCD中，E?、?F?、?G?、?H分別是各邊AB、BD、DC、CA的中點(diǎn)，若AD=BC，則EFGH是

形.(填四邊形的形狀)

解：證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，

∴HG//AD，F(xiàn)E//AD，GF//CB，HE//BC，

∴GH//EF，HE//GF(平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行);

∴四邊形EFGH是平行四邊形，

∵四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，

∴HG是△ACD的中位線(xiàn)，HE是△ABC的中位線(xiàn)，

∴GH=12AD，HE=12BC，

∵AD=BC，

∴GH=HE，

4.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M(1)求證：四邊形MNA(2)求證：∠DNM=∠證明：(1)連接AC，在△ACD中，

∵M(jìn)，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)，

∴MN是三角形的中位線(xiàn)，

∴MN//AC，MN=12AC．

由正方體的性質(zhì)得：AC//A1C1，AC=A1C1．

∴MN//A1C1，且MN=12A1C1，即MN≠A1C1，

∴四邊形MNA1C1是梯形；