2011-2012-2線性代數(shù)46學(xué)時(shí)期末試卷(A)考試方式:閉卷考試時(shí)間:一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1、設(shè)為矩陣,齊次線性方程組僅有零解得充分必要條件就是得(A).()列向量組線性無(wú)關(guān),()列向量組線性相關(guān),()行向量組線性無(wú)關(guān),()行向量組線性相關(guān).2.向量線性無(wú)關(guān),而線性相關(guān),則(C)。()必可由線性表出,()必不可由線性表出,()必可由線性表出,()必不可由線性表出、3、二次型,當(dāng)滿足(C)時(shí),就是正定二次型.();();();().4.初等矩陣(A);()都可以經(jīng)過(guò)初等變換化為單位矩陣;()所對(duì)應(yīng)得行列式得值都等于1;()相乘仍為初等矩陣;()相加仍為初等矩陣5.已知線性無(wú)關(guān),則(C)A、必線性無(wú)關(guān);B、若為奇數(shù),則必有線性相關(guān);C、若為偶數(shù),則必有線性相關(guān);D、以上都不對(duì)。二、填空題(每小題3分,共15分)6.實(shí)二次型秩為2,則7.設(shè)矩陣,則8.設(shè)就是階方陣,就是得伴隨矩陣,已知,則得特征值為。9.行列式=__________;10、設(shè)A就是4×3矩陣,,若,則=_____________;三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11.求行列式得值。12.設(shè)矩陣,矩陣滿足,求。13.求線性方程組得通解。14.已知,求出它得秩及其一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。15、設(shè)為三階矩陣,有三個(gè)不同特征值依次就是屬于特征值得特征向量,令,若,求得特征值并計(jì)算行列式、四、解答題(10分)16、已知,求五、證明題(每小題5分,共10分)17、設(shè)就是非齊次線性方程組得一個(gè)特解,為對(duì)應(yīng)得齊次線性方程組得一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:向量組線性無(wú)關(guān)。18、已知與都就是 階正定矩陣,判定就是否為正定矩陣,說(shuō)明理由、2010-2011-2線性代數(shù)期末試卷(本科A)考試方式:閉卷統(tǒng)考考試時(shí)間:2011、5、28一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.設(shè)為階矩陣,下列運(yùn)算正確得就是()。A、B、C、D、若可逆,,則;2.下列不就是向量組線性無(wú)關(guān)得必要條件得就是()。A.都不就是零向量;B、中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示;C、中任意兩個(gè)向量都不成比例;D、中任一部分組線性無(wú)關(guān);3、設(shè)為矩陣,齊次線性方程組僅有零解得充分必要條件就是得()。A.列向量組線性無(wú)關(guān);B、列向量組線性相關(guān);C、行向量組線性無(wú)關(guān);D、行向量組線性相關(guān);4.如果(),則矩陣A與矩陣B相似。A、;B、;C、與有相同得特征多項(xiàng)式;D、階矩陣與有相同得特征值且個(gè)特征值各不相同;5.二次型,當(dāng)滿足()時(shí),就是正定二次型。A、;B、;C、;D、。二、填空題(每小題3分,共15分)6.設(shè),則＝;7.設(shè)為行列式中元素得代數(shù)余子式,則;8.=;9.已知向量組線性無(wú)關(guān),則向量組得秩為;10、設(shè)為階方陣,,且,則得一個(gè)特征值;三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11.設(shè),求。12.設(shè)三階方陣,滿足方程,試求矩陣以及行列式,其中。13.已知,且滿足,其中為單位矩陣,求矩陣。14.取何值時(shí),線性方程組無(wú)解,有唯一解或有無(wú)窮多解？當(dāng)有無(wú)窮多解時(shí),求通解。15、設(shè),求該向量組得秩與一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。四、解答題(10分)16.已知三階方陣得特征值1,2,3對(duì)應(yīng)得特征向量分別為,,。其中:,,,。(1)將向量用,,線性表示;(2)求,為自然數(shù)。證明題(每小題5分,共10分)17.設(shè)就是階方陣,且,;證明:有非零解。18.已知向量組(I)得秩為3,向量組(II)得秩為3,向量組(III)得秩為4,證明向量組得秩為4。2010-2011-1線性代數(shù)期末試卷(本科A)考試方式:閉卷統(tǒng)考考試時(shí)間:2010、12、19一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.滿足下列條件得行列式不一定為零得就是()。(A)行列式得某行(列)可以寫(xiě)成兩項(xiàng)與得形式;(B)行列式中有兩行(列)元素完全相同;(C)行列式中有兩行(列)元素成比例;(D)行列式中等于零得個(gè)數(shù)大于個(gè)、2.下列矩陣中()不滿足。(A);(B);(C);(D)、3、設(shè)為同階可逆方陣,則()。(A);(B)存在可逆矩陣;(C)存在可逆矩陣;(D)存在可逆矩陣、4.向量組QUOTE線性無(wú)關(guān)得充分必要條件就是()(A)QUOTE均不為零向量;(B)QUOTE中有一部分向量組線性無(wú)關(guān);(C)QUOTE中任意兩個(gè)向量得分量不對(duì)應(yīng)成比例;(D)QUOTE中任意一個(gè)向量都不能由其余QUOTE個(gè)向量線性表示。5.零為方陣A得特征值就是A不可逆得()。(A)充分條件;(B)充要條件;(C)必要條件;(D)無(wú)關(guān)條件;二、填空題(每小題3分,共15分)6.設(shè),則=;7.已知設(shè)則;8.設(shè)就是三階方陣,且,則;9.已知向量組則該向量組得秩為;10、已知,,且于相似,則。三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)12.已知3階非零矩陣得每一列都就是方程組得解、①求得值;②證明、13.設(shè)3階矩陣滿足等式,其中求矩陣。14.求向量組得秩及最大無(wú)關(guān)組。15、設(shè)1、求二次型所對(duì)應(yīng)得矩陣;2、求得特征值與對(duì)應(yīng)得特征向量。四、解答題(10分)16.,試討論為何值時(shí)(1)不能用線性表示;(2)可由唯一地表示,并求出表示式;(3)可由表示,但表示式不唯一,并求出表示式。五、證明題(每小題5分,共10分)17.設(shè)QUOTE就是一組維向量,證明它們線性無(wú)關(guān)得充分必要條件就是:任一QUOTE維向量都可由它們線性表示。18.設(shè)為對(duì)稱矩陣,為反對(duì)稱矩陣,且可交換,可逆,證明:就是正交矩陣。。武漢科技大學(xué)2010-2011-2線性代數(shù)期末試卷(本科A)解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.設(shè)為階矩陣,下列運(yùn)算正確得就是(D)。A、B、C、D、若可逆,,則;2.下列不就是向量組線性無(wú)關(guān)得必要條件得就是(B)。A.都不就是零向量;B、中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示;C、中任意兩個(gè)向量都不成比例;D、中任一部分組線性無(wú)關(guān);3、設(shè)為矩陣,齊次線性方程組僅有零解得充分必要條件就是得(A)。A.列向量組線性無(wú)關(guān);B、列向量組線性相關(guān);C、行向量組線性無(wú)關(guān);D、行向量組線性相關(guān);4.如果(D),則矩陣A與矩陣B相似。A、;B、;C、與有相同得特征多項(xiàng)式;D、階矩陣與有相同得特征值且個(gè)特征值各不相同;5.二次型,當(dāng)滿足(C)時(shí),就是正定二次型.A、;B、;C、;D、。二、填空題(每小題3分,共15分)6.設(shè),則＝;7.設(shè)為行列式中元素得代數(shù)余子式,則-1;8.=;9.已知向量組線性無(wú)關(guān),則向量組得秩為2;10、設(shè)為階方陣,,且,則得一個(gè)特征值-3;三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11.設(shè),求。解:....................5分..................10分12.設(shè)三階方陣,滿足方程,試求矩陣以及行列式,其中。解:由,得,即......................3分由于,,,,...........................6分,....8分所以。......................................................10分13.已知,且滿足,其中為單位矩陣,求矩陣。解:因?yàn)?所以可逆,...........................2分由,得,故,即,....4分不難求出,.................................8分因此。...............10分14.取何值時(shí),線性方程組無(wú)解,有唯一解或有無(wú)窮多解？當(dāng)有無(wú)窮多解時(shí),求通解。解:由于方程個(gè)數(shù)等于未知量得個(gè)數(shù),其系數(shù)行列式;.......................3分1、當(dāng)時(shí),有,,原方程組無(wú)解;..............................5分2、當(dāng)時(shí),有,所以原方程得通解為..................................8分3、當(dāng)時(shí),方程組有唯一解。....................................10分15、設(shè),求該向量組得秩與一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解:.6分所以向量組得秩為2,.................................................8分因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)向量均不成比例,所以任意兩個(gè)向量都就是該向量組得一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。......................10分四、解答題(10分)得分16.已知三階方陣得特征值1,2,3對(duì)應(yīng)得特征向量分別為,,。其中:,,,。(1)將向量用,,線性表示;(2)求,為自然數(shù)。解:(1)把用線性表示,即求解方程故。.................................................5分(2)..........10分五、證明題(每小題5分,共10分)17.設(shè)就是階方陣,且,;證明:有非零解。證明:,................................2分,........................4分所以有非零解。.................................................5分18.已知向量組(I)得秩為3,向量組(II)得秩為3,向量組(III)得秩為4,證明向量組得秩為4。證明:向量組得秩為3,向量組得秩為3,所以為向量組得一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,因此可唯一得由線性表示;....2分假設(shè)向量組得秩不為4,又因?yàn)橄蛄拷M得秩為3,所以向量組得秩為3,因此也可唯一得由線性表示;...4分因此可唯一得由線性表示,而向量組得秩為4,即線性無(wú)關(guān),因此不能由線性表示,矛盾,因此向量組得秩為4。.............................................5分武漢科技大學(xué)2010-2011-1線性代數(shù)期末試卷(本科A)解答與參考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.滿足下列條件得行列式不一定為零得就是(A)。(A)行列式得某行(列)可以寫(xiě)成兩項(xiàng)與得形式;(B)行列式中有兩行(列)元素完全相同;(C)行列式中有兩行(列)元素成比例;(D)行列式中等于零得個(gè)數(shù)大于個(gè)、2.下列矩陣中(C)不滿足。(A);(B);(C);(D)、3、設(shè)為同階可逆方陣,則(D)。(A);(B)存在可逆矩陣;(C)存在可逆矩陣;(D)存在可逆矩陣、4.向量組QUOTE線性無(wú)關(guān)得充分必要條件就是(D)(A)QUOTE均不為零向量;(B)QUOTE中有一部分向量組線性無(wú)關(guān);(C)QUOTE中任意兩個(gè)向量得分量不對(duì)應(yīng)成比例;(D)QUOTE中任意一個(gè)向量都不能由其余QUOTE個(gè)向量線性表示。5.零為方陣A得特征值就是A不可逆得(B)。(A)充分條件;(B)充要條件;(C)必要條件;(D)無(wú)關(guān)條件、二、填空題(每小題3分,共15分)6.設(shè),則=0。7.已知設(shè)則;8.設(shè)就是三階方陣,且,則27;9.已知向量組則該向量組得秩為2;10、已知,,且于相似,則6。三、計(jì)算題(每小題10分,共50分)11.解:5分8分10分12.已知3階非零矩陣得每一列都就是方程組得解、①求得值;②證明、解:①因?yàn)榉橇憔仃嚨妹恳涣卸季褪驱R次方程組得解,所以齊次線性方程組有非零解,即5分②由題意可得,8分因?yàn)?所以,即不可逆,所以10分注:第二問(wèn)也可以用反證法,方法對(duì)即可。13.設(shè)3階矩陣滿足等式,其中求矩陣。解:3分8分所以。10分14.求向量組得秩及最大無(wú)關(guān)組。解:,6分所以,任意兩個(gè)不成比例得向量組均就是得一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。10分15、設(shè)1、求二次型所對(duì)應(yīng)得矩陣;2、求得特征值與對(duì)應(yīng)得特征向量。解:1、二次型所對(duì)應(yīng)得矩陣,3分2.(二重)6分當(dāng)時(shí),,所以為對(duì)應(yīng)得特征向量。8分當(dāng)時(shí),,所以為對(duì)應(yīng)得特征向量。