廣東省揭陽市產(chǎn)業(yè)園2026屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.3．在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-15．和的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（）A.， B.2，C.， D.1，6．若直線被圓截得的弦長為4，則的最大值是（）A. B.C.1 D.27．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．8．已知的周長為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.9．已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，點(diǎn)為切點(diǎn).若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（）A. B.C. D.12．若兩條直線與互相垂直，則的值為（）A.4 B.-4C.1 D.-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是______14．已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________15．雙曲線離心率__________.16．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)在線段上，、分別為、的中點(diǎn).設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓焦距為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程18．（12分）已知點(diǎn)在橢圓：上，橢圓E的離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若不平行于坐標(biāo)軸且不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，判斷是否可能為等邊三角形，并說明理由.19．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，且過點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）已知過的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試探究在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得是一個(gè)確定的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由20．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）在第（2）問條件下，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請問：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱時(shí)的面積是否達(dá)到最大？并說明理由.21．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線的方程；(2)求的面積.22．（10分）已知橢圓，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，且，.求證：為定值，并計(jì)算出該定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.2、A【解析】由和的分母異號(hào)可得【詳解】由題意，解得或故選：A3、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以有，因此，故選：C4、A【解析】由題可得，利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以故選：A.5、C【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念分別求值即可.【詳解】和的等差中項(xiàng)為，和的等比中項(xiàng)為.故選：C.6、A【解析】根據(jù)弦長求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線過圓心，即，由于為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：A7、D【解析】由題可知：，，，故選；D8、D【解析】分析可知點(diǎn)的軌跡是除去長軸端點(diǎn)的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)的位置可得出頂點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點(diǎn)不共線，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長軸端點(diǎn)的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.9、C【解析】由題意，設(shè)，直線方程為，則由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，再聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及弦長公式求出，進(jìn)而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的性質(zhì)：在拋物線上任意一點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，所以在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為，聯(lián)立直線與拋物線方程有，消去得，由得，，由韋達(dá)定理得，所以弦長，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.10、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點(diǎn)即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以有，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A11、C【解析】當(dāng)成立，寫出左側(cè)的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，寫出對應(yīng)的關(guān)系式，觀察計(jì)算即可【詳解】從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為，因此增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：C12、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件知：，即可求的值.【詳解】由兩直線垂直，可知：，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的圖象列式可求出結(jié)果.【詳解】,當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時(shí)取得極小值為，也是最小值，因?yàn)楫?dāng)趨近于正負(fù)無窮時(shí)，都是趨近于正無窮，所以要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.14、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，過焦點(diǎn)F作直線：的垂線，此時(shí)取得最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，以及拋物線的最值問題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于中檔試題.15、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：16、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，由向量法可得，令，，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據(jù)已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)，則，0，，，0，，，1，，設(shè)，，，，，，，，，，，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，時(shí)，函數(shù)取得最大值，的最大值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距為解出，再把點(diǎn)代入橢圓方程中，即可解出答案.（2）根據(jù)題意求出當(dāng)直線與軸重合時(shí)，由求出值，即求出的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，上任意一點(diǎn)均使，設(shè)出直線方程與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，化簡得證，即可得到答案.【小問1詳解】.由于點(diǎn)在橢圓C上，則故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線與軸重合時(shí)，是橢圓的左右頂點(diǎn)，不妨設(shè)，設(shè)，則是上的任意一點(diǎn)，即方程對任意實(shí)數(shù)都成立，此時(shí)的方程為.故只需證：當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，上任意一點(diǎn)均使即可，設(shè)直線的方程為，，設(shè)則由y得證.故的方程為.18、（1）（2）三角形不可能是等邊三角形，理由見解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)和離心率可得橢圓方程；（2）假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，，利用得出矛盾.小問1詳解】由點(diǎn)在橢圓上，得，即，又，即，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】假設(shè)為等邊三角形，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，由得，故，所以的中點(diǎn)為，所以，故，與等邊三角形中矛盾，所以假設(shè)不成立，故三角形不可能是等邊三角形.19、（1）（2）存在，定點(diǎn)【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合是常數(shù)列方程，從而求得定點(diǎn)的坐標(biāo).小問1詳解】，，由題可得：.【小問2詳解】當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，所以則恒成立，則，解得，，，此時(shí)，即存在定點(diǎn)滿足條件當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝－2，可得，，設(shè)要使得是一個(gè)常數(shù)，即，顯然，也使得成立；綜上所述：存在定點(diǎn)滿足條件.20、（1）；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱時(shí)，的面積達(dá)到最大，理由見解析.【解析】（1）設(shè)，可得出，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，即可得出直線的方程；（3）設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為零可求得，分析可知當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，的面積達(dá)到最大，求出直線與橢圓的切點(diǎn)坐標(biāo)，可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因?yàn)椋O(shè)，則，，所以，橢圓的方程可表示為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則軸，故直線、的傾斜角互補(bǔ)，易知點(diǎn)，若直線軸，則、為橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)、，則，，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，則，所以，解得，因此，直線的方程為.【小問3詳解】解：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，聯(lián)立，可得（*），，解得，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積取最大值，當(dāng)時(shí)，方程（*）為，解得，此時(shí)，即點(diǎn).此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，因此，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱時(shí)，的面積達(dá)到最大.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值21、（1）；（2）【解析】（1）由題意可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），運(yùn)用拋物線的定義，可得23，解得p＝2，進(jìn)而得到拋物線的方程；（2）由題意，直線AB方程為y＝x﹣1，與y2＝4x消去y得：x2﹣6x+1＝0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，算出|AB|；利用點(diǎn)到直線的距離公式算出點(diǎn)O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積【詳解】（1）拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過一點(diǎn)P（2，m），可設(shè)拋物線的方程為y2＝2px（p＞0），P（2，m）到焦點(diǎn)的距離為3，即有P到準(zhǔn)線的距離為6，即23，解得p＝2，即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x；（2）聯(lián)立方程化簡，得x2﹣6x+1＝0設(shè)交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）∴x1+x2＝6，x1x2＝1可得|AB||x1﹣x2|＝8點(diǎn)O到直線l的距離d，所以△AOB的面積為S