第第頁(yè)人教A版高二下學(xué)期數(shù)學(xué)（必修二）《6.2.4向量數(shù)量積》同步練習(xí)題含答案第1課時(shí)向量數(shù)量積的概念一、必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(探究點(diǎn)一)在正六邊形ABCDEF中,向量AB與A.π6 B.π3 C.2π2.(探究點(diǎn)三)已知|a|=9,|b|=62,a·b=-54,則a與b的夾角θ為()A.45° B.135° C.120° D.150°3.(探究點(diǎn)二)已知|b|=3,a在b方向上的投影向量是12b,則a·bA.3 B.92 C.2 D.4.(探究點(diǎn)三·2025陜西延安高一期中)下面給出的關(guān)系式中,正確的個(gè)數(shù)是()①0·a=0;②0·b=0;③a2=|a|2;④在|a·b|≤|a||b|中,若a,b是非零向量,當(dāng)且僅當(dāng)a與b方向相同時(shí),等號(hào)成立.A.0 B.1 C.2 D.35.(探究點(diǎn)三·2025天津河西高一期中)設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,則“a·b<0”是“a與b的夾角為鈍角”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.(探究點(diǎn)二·2025浙江溫州高一期中)已知向量a,b的夾角是60°,且|a|=5,|b|=2,則b在a方向上的投影向量是()A.12b B.12a C.15b 7.(探究點(diǎn)三)設(shè)非零向量a,b,c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,則<a,b>等于()A.150° B.120° C.60° D.30°8.(探究點(diǎn)二)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,則a在b方向上的投影向量的模是.

9.(探究點(diǎn)一)已知|a|=2,b2=3,在下列情況下分別求a·b.(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a與b的夾角為150°.10.(探究點(diǎn)一)如圖,在?ABCD中,|AB|=4,|AD|=3,∠DAB=60°,求:(1)AD·(2)AB·二、關(guān)鍵能力提升練11.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)條件中,能使a|a|A.a=b B.a+b=0C.a·b=0 D.a·b=|a|·|b|12.(多選題)給出下列判斷,其中正確的是()A.若a2+b2=0,則a=b=0B.已知a,b,c是三個(gè)非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|C.a,b共線?a·b=|a||b|D.|a||b|<a·b13.如圖所示,一個(gè)大小為5N,與水平方向夾角37°的拉力F作用在小車(chē)上,小車(chē)沿水平方向向右運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,小車(chē)受到的阻力大小為3N,方向水平向左.小車(chē)向右運(yùn)動(dòng)的距離為2m的過(guò)程中,小車(chē)受到的各個(gè)力都沒(méi)有發(fā)生變化.求在此過(guò)程中:拉力F對(duì)小車(chē)做的功(取cos37°≈0.8)為,小車(chē)克服阻力做的功為.

14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則DE·CB的值為15.已知向量e1,e2分別是與向量a,b方向相同的單位向量,若a·b=-9,a在b上的投影向量為-3e2,b在a上的投影向量為-32e1,則a與b的夾角θ=16.已知點(diǎn)A,B,C滿足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB·BC+三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.如圖所示為正六邊形P1P2P3P4P5P6,則下列向量的數(shù)量積中最大的是()A.P1P2C.P1P218.如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形EFGH拼成的一個(gè)大正方形ABCD.如圖,若正方形ABCD的面積是25,正方形EFGH的面積是1,求AD·參考答案1.B如圖,設(shè)AD與BE交于點(diǎn)O,由正六邊形的性質(zhì)可知△AOB為等邊三角形,所以∠OAB=π3,則向量AB與AD的夾角為π32.Bcosθ=a·b|又因?yàn)?≤θ≤π,所以θ=3π4,即θ=3.Ba·b=b·(12b)=12×9=4.C0·a=0,①顯然正確;0·b=0,所以②錯(cuò)誤;a2=|a|2,③正確;當(dāng)a與b方向相反時(shí),等號(hào)也成立,④錯(cuò)誤.故選C.5.B若a·b<0,則a與b的夾角可能為180°,不一定是鈍角,因此充分性不成立;若a與b的夾角為鈍角,則可得cos<a,b><0,因此可得a·b=|a||b|cos<a,b><0,所以必要性成立,即“a·b<0”是“a與b的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選B.6.D由題意,b在a方向上的投影向量為|b|·cos<a,b>·a|a|=1×故選D.7.B如圖所示,設(shè)OA=a,OC=b,因?yàn)閨a|=|b|=|c|,a+b=c,所以以線段OA,OC為鄰邊作平行四邊形OABC,可得△OAB是等邊三角形,所以<a,b>=120°.8.4設(shè)a與b的夾角是θ,與b方向相同的單位向量為e,則e=b|b|,則a在b方向上的投影向量為|a|cosθe=(a·b|b|)b9.解因?yàn)閨a|=2,b2=3,所以|b|=3.(1)當(dāng)a∥b時(shí),a·b=|a||b|cos0°=2×3×1=23,或a·b=|a||b|cos180°=2×3×(-1)=-23.(2)當(dāng)a⊥b時(shí),a·b=|a||b|cos90°=2×3×0=0.(3)當(dāng)a與b的夾角為150°時(shí),a·b=|a||b|cos150°=2×3×(-32)=-310.解(1)因?yàn)锳D∥BC,且方向相同,所以AD與BC的夾角是0°,所以AD·BC=|AD||BC|·cos(2)因?yàn)锳B與AD的夾角為60°,所以AB與DA的夾角為120°,所以AB·DA=|AB||DA|·cos120°=4×3×(11.B由a|a|+b|b|=0,得a|a|=-b|b|,所以向量a與b方向相反.對(duì)于A,由a=b得向量a與b的方向相同,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由a+b=0得向量a與b方向相反,B正確;對(duì)于C,由a·b=0得a⊥b,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由a·b=|a|·12.AB由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,則a=b=0,故A正確;若a+b=0,則a=-b,又a,b,c是三個(gè)非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故B正確;a,b共線?a·b=±|a||b|,所以C不正確;對(duì)于D,應(yīng)有|a||b|≥a·b,所以D不正確.故選AB.13.8J6J拉力F對(duì)小車(chē)做的功W1≈5×2×0.8=8(J),小車(chē)克服阻力做的功為W2=3×2=6(J).14.1如圖所示,設(shè)DA與DE的夾角是根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義可得DE·CB=DE·DA=|DE|·|DA|cosθ.由圖可知,|DE|·cosθ=|DA|,因此DE·15.120°由題意,得|a|∴cosθ=a·b|a||b|=-96×3=-16.-25因?yàn)閨CA|2=|AB|2+|BC|2,所以B=90°,所以AB·BC=0.因?yàn)閏osC=45,cosA=35,所以BC·CA=|BC|·|CA|cos(180°-C)=4×5×(-45)=-16.CA·AB=|CA|·|AB|cos(180°-A所以AB·BC+17.A由于P1P2⊥P1P5,故其數(shù)量積是0;P1P2與P1P6的夾角是2π3,故其數(shù)量積小于0;設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)是a,則P1P2·P1P3=|P18.解因?yàn)檎叫蜛BCD的面積是25,正方形EFGH的面積是1,所以A