福建省晉江市四校2026屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.2．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.3．算盤是中國古代的一項重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖2中算盤表示整數(shù)51）．如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（）A.8 B.10C.15 D.164．在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.5．已知F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a，當(dāng)a為3和5時，點P的軌跡分別為()A.雙曲線和一條直線 B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線 D.雙曲線的一支和一條射線6．均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象.在平面直角坐標(biāo)系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點的坐標(biāo)來描述.設(shè)曲線上任意一點，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點的對應(yīng)點為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點的對應(yīng)點為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.7．焦點坐標(biāo)為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.8．若動圓的圓心在拋物線上，且恒過定點，則此動圓與直線（）A.相交 B.相切C.相離 D.不確定9．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，，，則公差A(yù).1 B.2C.3 D.411．已知二次函數(shù)交軸于，兩點，交軸于點.若圓過，，三點，則圓的方程是（）A. B.C. D.12．已知拋物線的焦點為，直線過點與拋物線相交于兩點，且，則直線的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓C：的左、右焦點分別為，，P為橢圓上異于左右頂點的任意一點，、的中點分別為M、N，O為坐標(biāo)原點，四邊形OMPN的周長為4，則的周長是_____14．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)．用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）．如前四個四棱錐數(shù)為第n個四棱錐數(shù)為1+4+9+…+n2＝．中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…若一個“三角垛”共有20層，則第6層有____個球，這個“三角垛”共有______個球15．有一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據(jù)的方差為________.16．?dāng)?shù)列的前項和為，若，則=____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積18．（12分）某企業(yè)2021年年初有資金5千萬元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長率可達(dá)到．每年年底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產(chǎn)．設(shè)從2021年的年底起，每年年底企業(yè)扣除消費基金后的剩余資金依次為，，，…（1）寫出，，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）至少到哪一年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元？（lg19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在的最大值.20．（12分）一項“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆正六面體骰子次，每次擲得的點數(shù)均相互獨立，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于，則算過關(guān).（1）這個游戲最多過幾關(guān)？（2）某人連過前兩關(guān)的概率是？（3）某人連過前三關(guān)的概率是？21．（12分）已知是拋物線的焦點，點在拋物線上，且.（1）求的方程；（2）過上一動點作的切線交軸于點.判斷線段的中垂線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.22．（10分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若的前n項和為，且，，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長為，則，故，.點睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.2、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.3、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠，有兩類辦法，由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分，則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法，在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法，由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法，所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選：A4、D【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角△中應(yīng)用等面積法求到直線的距離.【詳解】由正方體的性質(zhì)：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.5、D【解析】由雙曲線定義結(jié)合參數(shù)a的取值分類討論而得.【詳解】依題意得，當(dāng)時，，且，點P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時，，故點P的軌跡為一條射線.故選D.故選：D6、C【解析】設(shè)單位圓上一點為，經(jīng)過題設(shè)變換后坐標(biāo)為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設(shè)，單位圓上一點坐標(biāo)為，經(jīng)過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對應(yīng)坐標(biāo)為，∴，則，故中，可得：.故選：C.7、D【解析】依次確定選項中各個拋物線的焦點坐標(biāo)即可.【詳解】對于A，的焦點坐標(biāo)為，A錯誤；對于B，的焦點坐標(biāo)為，B錯誤；對于C，焦點坐標(biāo)為，C錯誤；對于D，的焦點坐標(biāo)為，D正確.故選：D.8、B【解析】根據(jù)題意得定點為拋物線的焦點，為準(zhǔn)線，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義判斷即可.【詳解】解：由題知，定點為拋物線的焦點，為準(zhǔn)線，因為動圓的圓心在拋物線上，且恒過定點，所以根據(jù)拋物線的定義得動圓的圓心到直線的距離等于圓心到定點，即圓心到直線的距離等于動圓的半徑，所以動圓與直線相切.故選：B9、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.10、B【解析】由，將轉(zhuǎn)化為表示，結(jié)合，即可求解.【詳解】，.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】由已知求得點A、B、C的坐標(biāo)，則有AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，由，可求得圓M的半徑和圓心，由此求得圓的方程.【詳解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因為圓過，，三點，所以AB的垂直平分線必過圓心，所以設(shè)圓的圓心為，所以，即，解得，所以圓心，半徑，所以圓的方程是，即，故選：C12、B【解析】設(shè)直線傾斜角為，由，及，可求得，當(dāng)點在軸上方，又，求得，利用對稱性即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)直線傾斜角為，由，所以，由，，所以，當(dāng)點在軸上方，又，所以，所以由對稱性知，直線的斜率.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先證明則四邊形OMPN是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義求出a，再求出c，最后求出答案.【詳解】因為M,O,N分別為的中點，所以，則四邊形OMPN是平行四邊形，所以，由四邊形OMPN的周長為4可知，，即，則，于是的周長是.故答案為：.14、①.21②.1540【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到＝，由此可求的值，以及前20層的總球數(shù)【詳解】由題意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+??+a20＝（12+22+32+??+202）+（1+2+3+??+20）＝×+×＝1540故答案為：21；154015、2【解析】由已知得，，然后計算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.16、【解析】利用裂項相消法求和即可.【詳解】解：因為，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、.【解析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結(jié)合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.18、（1），，，證明見解析（2）至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元【解析】（1）由題意可知，，，，再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解（2）由（1）知，，則，令，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)運(yùn)算，即可求解【小問1詳解】依題意知，，，,,所以,又，所以是首項為3，公比為1.5的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，，所以令，解得，所以，所以至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會超過21千萬元19、（1）（2）【解析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，整體代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1），解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)的最大值為.20、（1）關(guān)（2）（3）【解析】（1）由題意，可判斷時，，當(dāng)，所以可判斷出最多只能過關(guān)；（2）記一次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，兩次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，得基本事件的總數(shù)以及滿足題意的基本事件的個數(shù)，計算出，，從而根據(jù)概率相乘求解得連過前兩關(guān)的概率；（3）設(shè)前兩次和為，第三次點數(shù)為，列出第三關(guān)過關(guān)的基本事件的個數(shù)，利用概率相乘即可得連過前三關(guān)的概率.【小問1詳解】因為骰子出現(xiàn)的點數(shù)最大為，當(dāng)時，，而，所以時，這次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和均小于，所以最多只能過關(guān).【小問2詳解】記一次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個，符合題意的點數(shù)為，共個，所以；記兩次拋擲所出現(xiàn)的點數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個，不符合題意的點數(shù)為，共個，則由對立事件的概率得，所以連過前兩關(guān)的概率為;【小問3詳解】前兩次和為，第三次點數(shù)為則考慮再考慮2種3種4種5種6種5種4種3種2種1種所以滿足共有因此某人連過前三關(guān)的概率是.21、（1）（2）過定點，定點為【解析】（1）利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與拋物線C相切，由求得，再得到，寫出線段的中垂線方程求解.【小問1詳解】解：由題意得，，解得=2p，因為點M（，4）在拋物線C上，所以42=2p=4p2，解得p=2，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由已知得，直線的斜率存在且不為0，所以設(shè)直線