臺灣省數(shù)學(xué)應(yīng)用能力測驗(yàn)解析試題及答案考試時長：120分鐘滿分：100分班級：__________姓名：__________學(xué)號：__________得分：__________試卷名稱：臺灣省數(shù)學(xué)應(yīng)用能力測驗(yàn)解析試題及答案考核對象：高中階段學(xué)生及同等學(xué)力人員題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增，則其反函數(shù)f?1(x)在區(qū)間[f(a),f(b)]上單調(diào)遞增。2.圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，若a=b=0且r>0，則該圓與x軸相切。3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的唯一指標(biāo)。4.若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)。5.某班級隨機(jī)抽取10名學(xué)生測量身高，樣本容量為10。6.拋擲一枚均勻硬幣兩次，出現(xiàn)“正正”的概率為1/4。7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a?+a?)/2。8.若三角形的三邊長分別為3,4,5，則該三角形為直角三角形。9.函數(shù)y=2^x在R上單調(diào)遞增且無界。10.對任意實(shí)數(shù)x，log?(x)的定義域?yàn)?0,∞)。二、單選題（每題2分，共20分）1.已知集合A={x|x2-4x+3=0}，則A的元素個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.32.函數(shù)y=|x-1|在區(qū)間[0,2]上的最小值為（）A.-1B.0C.1D.23.若向量a=(1,2)，b=(3,-4)，則a·b的值為（）A.-5B.5C.11D.-114.從5名男生和4名女生中隨機(jī)選出3人，至少有1名女生的概率為（）A.1/4B.3/8C.5/12D.7/125.拋擲三枚均勻骰子，點(diǎn)數(shù)之和為10的概率為（）A.1/6B.1/12C.5/54D.1/186.已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)為a,ar,ar2，則其公比為（）A.aB.rC.arD.ar27.圓x2+y2-6x+8y-11=0的圓心坐標(biāo)為（）A.(3,-4)B.(-3,4)C.(3,4)D.(-3,-4)8.函數(shù)y=sin(x)的周期為（）A.πB.2πC.π/2D.4π9.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相切，則k的值為（）A.±1B.±√2C.0D.±√310.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為90%，隨機(jī)抽取4件產(chǎn)品，至少有1件不合格的概率為（）A.0.1B.0.9C.0.0016D.0.9984三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減的有（）A.y=-xB.y=1/xC.y=x2D.y=ln(x)2.關(guān)于拋物線y=ax2+bx+c，以下說法正確的有（）A.若a>0，則拋物線開口向上B.若b=0，則拋物線關(guān)于y軸對稱C.若Δ=b2-4ac<0，則拋物線與x軸無交點(diǎn)D.若Δ=0，則拋物線與y軸相切3.下列命題中，正確的有（）A.若A?B，則P(A)≤P(B)B.若事件A與B獨(dú)立，則P(A∩B)=P(A)P(B)C.若樣本方差S2=4，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2D.若正態(tài)分布的均值為μ，則P(X>μ)=0.54.關(guān)于數(shù)列，以下說法正確的有（）A.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)dB.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=a?(1-r?)/(1-r)C.若數(shù)列{a?}單調(diào)遞增，則其極限一定存在D.若數(shù)列{a?}有極限，則其必為收斂數(shù)列5.下列圖形中，面積一定小于周長的有（）A.正方形B.等邊三角形C.直角三角形D.圓6.關(guān)于三角函數(shù)，以下說法正確的有（）A.sin(π/4)=cos(π/4)B.tan(π/3)>tan(π/6)C.arctan(1)=π/4D.sin2(x)+cos2(x)=1對所有x成立7.下列不等式成立的有（）A.log?(8)>log?(4)B.e^2>2^eC.√2>1.4D.(-3)2>(-2)38.關(guān)于概率分布，以下說法正確的有（）A.二項(xiàng)分布是離散型分布B.正態(tài)分布是連續(xù)型分布C.泊松分布適用于描述稀有事件D.超幾何分布適用于不放回抽樣9.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.y=|x|B.y=x3C.y=1/xD.y=ln|x|10.關(guān)于線性規(guī)劃，以下說法正確的有（）A.最優(yōu)解一定在可行域的頂點(diǎn)處取得B.若可行域無界，則問題無最優(yōu)解C.若目標(biāo)函數(shù)無界，則問題無最優(yōu)解D.若約束條件不滿足線性關(guān)系，則問題無解四、案例分析（每題6分，共18分）1.數(shù)據(jù)統(tǒng)計問題：某班級50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績分布如下：[60,70):5人，[70,80):10人，[80,90):20人，[90,100):15人。（1）求樣本均值（精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）若成績在85分以上的為優(yōu)秀，求優(yōu)秀率。2.幾何問題：已知三角形ABC的三邊長分別為a=5，b=7，c=8，求其面積及內(nèi)角A的余弦值。3.概率問題：某公交線路每10分鐘發(fā)一班車，乘客在任意時刻到達(dá)車站，求乘客等待時間不超過3分鐘的概率。五、論述題（每題11分，共22分）1.函數(shù)單調(diào)性證明：證明函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增。2.統(tǒng)計推斷應(yīng)用：某工廠聲稱其產(chǎn)品合格率為95%，隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有5件不合格。試分析該工廠的聲明是否可信（提示：使用正態(tài)近似）。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√；反函數(shù)單調(diào)性與原函數(shù)一致。2.√；圓心在原點(diǎn)，半徑為√11，與x軸相切。3.×；方差、極差等也可衡量離散程度。4.√；互斥事件概率加法公式。5.√；樣本容量為10。6.×；概率為1/4。7.√；等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。8.√；勾股定理。9.√；指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增且無界。10.×；log?(x)需x>0且x≠1。二、單選題1.C；解得x=1,3。2.B；最小值為0（當(dāng)x=1時）。3.D；a·b=1×3+2×(-4)=-5。4.C；至少1名女生的概率=1-5/9=5/12。5.C；列舉法或組合計算，共有5/54種情況。6.B；公比為r。7.C；配方得(x-3)2+(y+4)2=20。8.B；sin函數(shù)周期為2π。9.A；相切時Δ=0，解得k=±1。10.D；P(至少1不合格)=1-0.9?≈0.9984。三、多選題1.A,C；y=-x單調(diào)遞減，y=x2單調(diào)遞增。2.A,B,C；Δ<0時無實(shí)根，Δ=0時切點(diǎn)在x軸。3.B,C；獨(dú)立事件乘法公式，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為√S2。4.A,B,D；單調(diào)數(shù)列極限不一定存在（如發(fā)散數(shù)列），但收斂數(shù)列必有極限。5.B,C；等邊三角形周長>面積，直角三角形周長>面積。6.A,B,C；tan(π/3)=√3>tan(π/6)=√3/3。7.A,C；log?(8)=3>2，√2≈1.414>1.4。8.A,B,C,D；超幾何分布適用于不放回抽樣。9.B,C；y=|x|在x=0不可導(dǎo)，y=ln|x|可導(dǎo)。10.A,C；無界目標(biāo)函數(shù)無最優(yōu)解，線性規(guī)劃最優(yōu)解必在頂點(diǎn)。四、案例分析1.（1）均值=(60×5+75×10+85×20+95×15)/50=83.5；（2）優(yōu)秀率=(20+15)/50=70%。2.面積=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，s=(5+7+8)/2=10，面積=√[10×5×3×2]=30；cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(49+64-25)/(2×7×8)=21/112=3/16。3.等待時間均勻分布于[0,10)，概率=3/10=0.3。五、論述題1.證明：f'(x)=3x2-3