陽泉市2025～2026學年度第一學期期末教學質量監(jiān)測試題高二數(shù)學（考試時長：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡相應的位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.4.考試結束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（共40分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.頂點在原點，焦點是的拋物線方程（）A. B. C. D.2.若圓：上存在無數(shù)對點關于直線對稱，則直線一定過點（）A. B. C. D.3.在等差數(shù)列中，，，則（）A.5 B.7 C.8 D.94.“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.用充氣筒吹氣球，氣球會鼓起來，假設此時氣球是一個標準的球體，且氣球的體積隨著氣球半徑的增大而增大.當半徑時，氣球的體積相對于的瞬時變化率為（）A. B. C. D.6.一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和，則公比（）A. B. C. D.7.設數(shù)列的通項公式為，（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知，是橢圓：與雙曲線的公共焦點，，分別是和在第二、四象限的公共點.若四邊形為矩形，則的離心率為（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.當時，方程可以表示的曲線有（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線10.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，則下列說法正確的是（）A B.C. D.11.數(shù)學史上，到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為“卡西尼曲線”.卡西尼是法國天文學家，他在1675年研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)了這種類型的曲線.設卡西尼曲線的兩定點為和，常數(shù)為（）.則給出下列四個結論正確的是（）A.曲線一定過原點B.曲線一定關于坐標軸對稱C.當且僅當時，曲線上存在到，距離相等的點D.曲線上存在點使得的面積大于第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分.）12.已知直線與圓相交于，兩點，則______.13.甲、乙兩物體分別從相距的兩處同時出發(fā)相向運動，甲第一分鐘運動，以后每分鐘比前一分鐘多運動，乙每分鐘運動.甲、乙開始運動后______分鐘相遇？14.如圖，某綠色蔬菜種植基地在處，現(xiàn)要把此處生產的蔬菜沿道路或運送到農貿市場中去，已知，，，在農貿市場中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側的點沿道路運送蔬菜較近，則該界線的方程為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，且在處的切線方程是．（1）求實數(shù)，值；（2）求函數(shù)單調區(qū)間和極值．16.已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（2）求數(shù)列前項和.17.如圖，在直三棱柱中，，，點分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得點在平面內？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.18.如圖，拋物線（）上一點到軸的距離是到焦點距離的一半，（）是軸上一點，過點作直線交拋物線于，兩點.（1）求拋物線的方程；（2）若，求線段中點的軌跡方程；（3）過點作拋物線的另一條弦，若直線與軸交于點，連接，，求證：.19.已知函數(shù)，其中且.（1）當時，證明：；（2）討論的單調性；（3）求證：對任意的且，都有：.陽泉市2025～2026學年度第一學期期末教學質量監(jiān)測試題高二數(shù)學（考試時長：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.本試題分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡相應的位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.4.考試結束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（共40分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.頂點在原點，焦點是的拋物線方程（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的定義即可求得答案．【詳解】由題意設拋物線的方程為，因焦點坐標為，則，，拋物線的方程為.故選：B.本題考查拋物線的標準方程，由焦點位置確定方程類型以及的值是關鍵，屬于基礎題．2.若圓：上存在無數(shù)對點關于直線對稱，則直線一定過點（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓上存在無數(shù)對點關于直線對稱，得出直線一定過圓的圓心，進而得到直線一定過的點.【詳解】由圓：，得圓：，可得圓心，因為在圓上存在無數(shù)對點關于直線對稱，所以直線一定過點.故選：A.3.在等差數(shù)列中，，，則（）A.5 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】等差數(shù)列的性質和基本量計算.【詳解】設等差數(shù)列的公差為.由等差數(shù)列性質：，已知，則，得，已知，由，代入得：，解得，，綜上，.故選：C4.“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先判斷時兩直線是否垂直確定充分性，再由兩直線垂直求出的值判斷必要性.【詳解】當時，兩直線分別為和，根據(jù)兩直線垂直的判定條件可得：，所以兩直線垂直，充分性成立，若兩直線垂直，則，即，求解可得或，所以必要性不成立.所以“”是“直線和直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.5.用充氣筒吹氣球，氣球會鼓起來，假設此時氣球是一個標準的球體，且氣球的體積隨著氣球半徑的增大而增大.當半徑時，氣球的體積相對于的瞬時變化率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】球體積公式為，對其求導并代入計算即可【詳解】由球的體積公式可得，得，所以時，氣球的體積關于半徑的瞬時變化率為.故選：C.6.一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和，則公比（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列為，且公比為，根據(jù)其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和，由求解即可.【詳解】設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列為，且公比為，因為其每一項都等于它后面的相鄰兩項之和，所以，即，所以，解得或（舍去）.故選：C.7.設數(shù)列的通項公式為，（），若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用遞增數(shù)列的定義列式求解即得.【詳解】由數(shù)列為遞增數(shù)列，得，，而，（），則，，即對恒成立，即小于的最小值，因為當時，的最小值為，所以.故選：B.8.已知，是橢圓：與雙曲線的公共焦點，，分別是和在第二、四象限的公共點.若四邊形為矩形，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由橢圓方程求出半焦距為，根據(jù)題中條件，由橢圓定義求出，利用雙曲線的定義以及離心率計算公式，即可求解.【詳解】由橢圓方程：，可得半焦距為，因為四邊形是矩形，所以；由在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可得，則，所以，設雙曲線的實軸長為，則，即，所以雙曲線的離心率為．故選：D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.當時，方程可以表示的曲線有（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】【分析】對，，，四種情況進行討論，結合方程得出曲線的形狀.【詳解】當時，方程，該方程表示的曲線為圓，當時，，方程表示橢圓，當時，方程，可得，該方程表示兩條平行直線，當時，，方程表示雙曲線.綜上所述，該方程可以表示圓，橢圓，雙曲線.故選：ABC.10.如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可判斷AB；根據(jù)向量的數(shù)量積計算可判斷CD.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，所以，故D正確.故選：BCD.11.數(shù)學史上，到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為“卡西尼曲線”.卡西尼是法國天文學家，他在1675年研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)了這種類型的曲線.設卡西尼曲線的兩定點為和，常數(shù)為（）.則給出下列四個結論正確的是（）A.曲線一定過原點B.曲線一定關于坐標軸對稱C.當且僅當時，曲線上存在到，距離相等的點D.曲線上存在點使得的面積大于【答案】BC【解析】【分析】利用軌跡方程的求法先求出曲線，利用對稱性可判斷AB；把問題轉化為與曲線有無交點問題，進而計算可判斷C；求出的面積并求其最大值，可判斷D.【詳解】設曲線上任意一點，由，可得，對于A，將代入上式，可得：，即當時，曲線才過原點，故A錯誤；對于B，將x換為，y不變，代入方程，可得方程不變，則圖像關于y軸對稱；將y換為，x不變，可得方程不變，則圖像關于x軸對稱，故B正確；對于C，到距離相等的點在直線上，將代入曲線方程，解得，方程有解當且僅當，即，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：BC第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分.）12.已知直線與圓相交于，兩點，則______.【答案】8【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓的半徑，利用弦長公式求得弦長．【詳解】由圓，可得圓心，半徑，圓心到直線的距離，故弦長．故答案為：8．13.甲、乙兩物體分別從相距的兩處同時出發(fā)相向運動，甲第一分鐘運動，以后每分鐘比前一分鐘多運動，乙每分鐘運動.甲、乙開始運動后______分鐘相遇？【答案】6【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式可得關于時間n的方程，從而可得n的值.【詳解】設n分鐘后相遇，依題意得，整理得，解得或(舍去)，所以甲、乙開始運動后分鐘相遇．故答案為：6.14.如圖，某綠色蔬菜種植基地在處，現(xiàn)要把此處生產的蔬菜沿道路或運送到農貿市場中去，已知，，，在農貿市場中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側的點沿道路運送蔬菜較近，則該界線的方程為______.【答案】（）【解析】【分析】以所在直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系，由余弦定理可求得，進而求得，由雙曲線的定義求解可得該界線的方程.【詳解】以所在直線為軸，以的中垂線為軸建立平面直角坐標系，如上圖所示：在中，由余弦定理可得，可得；設是邊界上任一點，則滿足，所以；由雙曲線定義可知，點所在的界線是以為焦點，實軸長為的雙曲線靠近的一支，并且在農貿市場內的部分；由，可得，所以雙曲線方程為（）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，且在處的切線方程是．（1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)單調區(qū)間和極值．【答案】（1），（2）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）由（1）可得，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出極值.【小問1詳解】因為，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．【小問2詳解】由（1）可得定義域為，則，當時，，此時函數(shù)單調遞減，當時，，此時函數(shù)單調遞增，則在處取得極小值，所以的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，因此極小值為，無極大值．16.已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）變形為，進而利用等比數(shù)列定義證明即可；（2）先求得，然后結合等比數(shù)列求和公式，利用分組求和法求解即可.【小問1詳解】因為，所以，設，則，又因為，所以是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知，是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，則，所以.17.如圖，在直三棱柱中，，，點分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在一點，使得點在平面內？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）（3）存在；【解析】【分析】（1）連接，證明點為的中點即可證明，再根據(jù)線面平行判定定理即可證明；（2）結合題意，過作平面，以為原點，分別為軸的正方向，利用坐標法求解即可；（3）設，則，利用點滿足即可求解；【小問1詳解】證明：連接，因為在直三棱柱中，四邊形是平行四邊形，點為的中點.所以點為的中點，又因為點為的中點，所以，又平面，平面所以平面【小問2詳解】因，為中點，所以，且，過作平面，以為原點，分別為軸的正方向，則，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為【小問3詳解】設，則，，由在平面內可知，即，解得，所以存在點，當時，點在平面內.18.如圖，拋物線（）上一點到軸距離是到焦點距離的一半，（）是軸上一點，過點