通州區(qū)2025—2026學(xué)年高三年級(jí)摸底考試數(shù)學(xué)試卷2026年1月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集為，集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.53.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A. B. C.32 D.504.已知半徑為1的圓經(jīng)過，則其圓心到直線的距離的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.55.“”是“函數(shù)在上存在零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6若，則（）A. B. C. D.7.已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線.下列四個(gè)命題：①若，，，則②若，，，則③若，，，則④若，，則或其中所有真命題的序號(hào)是（）A.①② B.③④ C.①③ D.①④8.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于，若為線段的垂直平分線，，則拋物線方程為（）A. B. C. D.9.已知數(shù)列：，，…，，，，設(shè)（，），若或2，則滿足條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.21 C.35 D.7010.已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．12.已知角、的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別交單位圓（圓心在原點(diǎn)）于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則______；若點(diǎn)在第一象限，且，則______.13.有兩臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)同一型號(hào)芯片，假設(shè)第臺(tái)生產(chǎn)的次品率為，第2臺(tái)生產(chǎn)的次品率為.現(xiàn)將兩臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)出來(lái)的芯片混放在一起，已知第臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的芯片占比分別為.任取一枚芯片，則它是次品的概率為______；如果取到的芯片為合格品，則該合格品是第一臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的概率為______.14.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為______.15.已知曲線，直線與曲線交于、兩點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：①，，總有；②當(dāng)時(shí)，；③曲線所圍成區(qū)域的面積為；④當(dāng)時(shí)，，總有.其中正確結(jié)論序號(hào)是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：側(cè)面為矩形；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.開封古稱汴梁、汴京，作為北宋都城長(zhǎng)達(dá)年，是當(dāng)時(shí)世界上最大都市，《清明上河圖》描繪的正是當(dāng)年汴河兩岸的繁華盛景.如今的開封，依托深厚的歷史文化底蘊(yùn)，打造了以清明上河園、開封府、大相國(guó)寺、龍亭公園為代表的宋文化景區(qū)群，讓游客穿越千年，感受“東京夢(mèng)華”的獨(dú)特魅力.為深化游客對(duì)宋代文化的體驗(yàn)，開封旅游局推出了“宋文化深度游”項(xiàng)目.某旅行社組織了一個(gè)人的“宋文化研學(xué)團(tuán)”，其中人購(gòu)買了景點(diǎn)聯(lián)票（深度體驗(yàn)游客），人只購(gòu)買了部分景點(diǎn)門票（精選游覽游客）.為增強(qiáng)文化體驗(yàn)，旅行社準(zhǔn)備從人中隨機(jī)抽取人，贈(zèng)送珍貴的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿參與北宋蹴鞠體驗(yàn)活動(dòng).（1）求抽到的人中恰有人為“深度體驗(yàn)游客”的概率；（2）如果游客參加“蹴鞠體驗(yàn)”活動(dòng)的概率為，且是否參與相互獨(dú)立.設(shè)“抽到的人中實(shí)際參加蹴鞠體驗(yàn)的游客人數(shù)”，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（3）該旅行社對(duì)某天位精選游覽游客的游覽情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：景點(diǎn)編號(hào)一二三四景點(diǎn)名稱清明上河園開封府大相國(guó)寺龍亭公園游覽人數(shù)（人）假設(shè)每個(gè)景點(diǎn)得到人們喜歡的概率與該景點(diǎn)的參觀率相等，用表示第個(gè)景點(diǎn)得到游客喜歡，用表示第個(gè)景點(diǎn)沒有得到游客喜歡.結(jié)合上表數(shù)據(jù)，寫出方差、、、的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓：（）的離心率為，，分別是的左、右頂點(diǎn)，.（1）求橢圓方程；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，（，異于點(diǎn)），直線，分別與直線交于點(diǎn)，.試判斷四邊形是否為平行四邊形，并說明理由.20.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在，使，求的取值范圍；（3）若，求證：對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.21.已知是由，，…，（，）這個(gè)數(shù)構(gòu)成的所有排列組成的集合，例如，若，，則.定義：①與的差，②與的距離，其中，.（1）若（），寫出集合；（2）若（），且（），求的最小值.（3）若，，，，，求證：，，三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)偶數(shù).通州區(qū)2025—2026學(xué)年高三年級(jí)摸底考試數(shù)學(xué)試卷2026年1月本試卷共4頁(yè)，共150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知全集為，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先明確集合的元素，再求出集合的補(bǔ)集，最后求交集即可得到答案.【詳解】已知全集為，集合，所以；因?yàn)榧?，則.所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法及乘法計(jì)算化簡(jiǎn)，再應(yīng)用模長(zhǎng)公式計(jì)算求解.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，則.故選：C.3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A. B. C.32 D.50【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列基本量的運(yùn)算可得答案.【詳解】由

得：由于是等差數(shù)列，因此：.由等差數(shù)列通項(xiàng)公式

及得：，解得：.于是：.故選

：A4.已知半徑為1的圓經(jīng)過，則其圓心到直線的距離的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)，可得圓心滿足的條件，再用三角換元及輔助角公式可得距離的最小值.【詳解】設(shè)圓心為，因?yàn)閳A經(jīng)過，且半徑為1，所以，令，即.所以圓心到直線的距離為，其中.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以圓心到直線的距離的最小值為3.故選：B5.“”是“函數(shù)在上存在零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，進(jìn)而根據(jù)有零點(diǎn)得出，最后應(yīng)用集合間關(guān)系結(jié)合充分必要條件定義判斷求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則，所以，又因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“函?shù)在上存在零點(diǎn)”的充分而不必要條件.故選：A.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，分別賦值和即可解得.【詳解】由，令，得——①，再令，得——②.得，所以.故選：D.7.已知，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線.下列四個(gè)命題：①若，，，則②若，，，則③若，，，則④若，，則或其中所有真命題的序號(hào)是（）A.①② B.③④ C.①③ D.①④【答案】D【解析】【分析】對(duì)于①面面垂直則面面的法向量也垂直可得；對(duì)于②由條件可得或，再結(jié)合可判斷；對(duì)于③由線線平行及面面平行的關(guān)系可判斷；對(duì)于④：由和兩種情況判斷可得.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?，，，所以直線的方向向量是平面的法向量，由兩個(gè)平面垂直，所以這兩個(gè)平面的法向量也垂直，即這兩條直線也垂直，故①正確；對(duì)于②：由，，則或，而，則不能判斷，所以②不正確；對(duì)于③：若，，，則或，所以結(jié)論不一定成立，故③不正確；對(duì)于④：，，若，則；若，則，所以④正確；故選：D.8.已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，于，若為線段的垂直平分線，，則拋物線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線性質(zhì)和拋物線定義得到，設(shè)，則，結(jié)合，求出的值，從而得到拋物線方程.【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，則.因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以，設(shè).則，代入拋物線方程可得：，即.又因?yàn)?所以，.因此拋物線方程為.故選：C9.已知數(shù)列：，，…，，，，設(shè)（，），若或2，則滿足條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A.7 B.21 C.35 D.70【答案】B【解析】【分析】通過遞推關(guān)系或，將轉(zhuǎn)化為求7個(gè)和為12的1、2組合的個(gè)數(shù)，用組合數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】已知數(shù)列，且，，則.因?yàn)椋ǎ?，若?，所以.設(shè)這7個(gè)差值中有個(gè)1和個(gè)2，且，解得，.問題轉(zhuǎn)化為在7個(gè)位置中選5個(gè)放2（其余放1）的組合數(shù)，即.因此，滿足條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為.故選：B.10.已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由條件可得，再建立平面直角坐標(biāo)系得，再進(jìn)一步判斷點(diǎn)A在優(yōu)弧上，落在角的終邊上，再用三角函數(shù)來(lái)解決取值范圍問題.【詳解】由，所以點(diǎn)為的外心，又因?yàn)?，所?設(shè)，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，所以，又因?yàn)?，所以，?又因?yàn)椋渣c(diǎn)A在優(yōu)弧上，所以落在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有，即，所以，又因?yàn)?，所以，，，所?故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.12.已知角、的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別交單位圓（圓心在原點(diǎn)）于、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則______；若點(diǎn)在第一象限，且，則______.【答案】①.##②.##【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義可得出、的值，分析可知，確定角、的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，由題意可知，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榻菫榈谒南笙藿牵菫榈谝幌笙藿?，故，所?故答案為：；.13.有兩臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)同一型號(hào)芯片，假設(shè)第臺(tái)生產(chǎn)的次品率為，第2臺(tái)生產(chǎn)的次品率為.現(xiàn)將兩臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)出來(lái)的芯片混放在一起，已知第臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的芯片占比分別為.任取一枚芯片，則它是次品的概率為______；如果取到的芯片為合格品，則該合格品是第一臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的概率為______.【答案】①.##②.【解析】【分析】設(shè)事件：取到的芯片是第臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的，事件：取到的芯片是第臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的，事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品，根據(jù)條件可求出，，再由全概率公式、條件概率和乘法公式，即可求解.【詳解】設(shè)事件：取到的芯片是第臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的，事件：取到的芯片是第臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的，事件：任取一枚芯片，取到的芯片是次品，由題知，，所以.則，所以，則取到的芯片為合格品，則該合格品是第一臺(tái)光刻機(jī)生產(chǎn)的概率為.故答案為：，.14.已知函數(shù)，若，且，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，可得，結(jié)合基本不等式，即可求出的最小值.【詳解】已知函數(shù)，定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，且；又，由于，且，當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)所有實(shí)數(shù)恒成立，因此在上單調(diào)遞增.由，得，因單調(diào)遞增，故，即，由可知.所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因此的最小值為.故答案為：15.已知曲線，直線與曲線交于、兩點(diǎn).給出下列四個(gè)結(jié)論：①，，總有；②當(dāng)時(shí)，；③曲線所圍成區(qū)域的面積為；④當(dāng)時(shí)，，總有.其中正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①④【解析】【分析】分析出曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知、也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可判斷①；當(dāng)時(shí)，求出關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，可判斷②；分析可知曲線關(guān)于直線、對(duì)稱，求出曲線與這兩條直線的四個(gè)交點(diǎn)圍成的菱形的面積，可判斷③；利用配方法得出，求出的取值范圍，可判斷④.【詳解】對(duì)于①，在曲線上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，即點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，點(diǎn)、是直線與曲線的交點(diǎn)，故點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，總有，①對(duì)；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，聯(lián)立可得，可得，即，所以，若取最大值，必有，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，故，②錯(cuò)；對(duì)于③，在曲線上取點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，即點(diǎn)在曲線上，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)?，故曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，所以，取點(diǎn)、，所以，同理可得，所以，故曲線是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)曲線交直線于、兩點(diǎn)，聯(lián)立可得，此時(shí)，設(shè)曲線交直線于、兩點(diǎn)，聯(lián)立可得，故，易知四邊形為菱形，該菱形的面積為，故曲線所圍成區(qū)域的面積大于菱形的面積，即曲線所圍成區(qū)域的面積不為，③錯(cuò)；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，則，可得，解得，當(dāng)時(shí)，，總有，④對(duì).故答案為：①④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）根據(jù)余弦定理可得出關(guān)于的等式，解出的值，結(jié)合三角形的面積公式可求得的面積.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，因?yàn)?、，則，所以，可得，故.【小問2詳解】因?yàn)?，，由余弦定理可得，即，即，解得或（舍去），故的面積為.17.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：側(cè)面為矩形；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過連接交于點(diǎn)，利用中位線定理證明，從而證得線面平行；（2）選擇條件①時(shí)，可得，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角公式計(jì)算正弦值，選擇條件②利用線面垂直可證得，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角公式計(jì)算正弦值.【小問1詳解】證明：連接，交于，連接，由三棱柱的定義可知為平行四邊形，所以有為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?【小問2詳解】選擇條件①因?yàn)闉榫匦?，為矩形，所?又因?yàn)椋?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，則.于是.設(shè)直線與平面所成角為，則選擇條件②因?yàn)?，所?因，所以平面.所以.以下同條件①.18.開封古稱汴梁、汴京，作為北宋都城長(zhǎng)達(dá)年，是當(dāng)時(shí)世界上最大的都市，《清明上河圖》描繪的正是當(dāng)年汴河兩岸的繁華盛景.如今的開封，依托深厚的歷史文化底蘊(yùn)，打造了以清明上河園、開封府、大相國(guó)寺、龍亭公園為代表的宋文化景區(qū)群，讓游客穿越千年，感受“東京夢(mèng)華”的獨(dú)特魅力.為深化游客對(duì)宋代文化的體驗(yàn)，開封旅游局推出了“宋文化深度游”項(xiàng)目.某旅行社組織了一個(gè)人的“宋文化研學(xué)團(tuán)”，其中人購(gòu)買了景點(diǎn)聯(lián)票（深度體驗(yàn)游客），人只購(gòu)買了部分景點(diǎn)門票（精選游覽游客）.為增強(qiáng)文化體驗(yàn)，旅行社準(zhǔn)備從人中隨機(jī)抽取人，贈(zèng)送珍貴的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿參與北宋蹴鞠體驗(yàn)活動(dòng).（1）求抽到的人中恰有人為“深度體驗(yàn)游客”的概率；（2）如果游客參加“蹴鞠體驗(yàn)”活動(dòng)的概率為，且是否參與相互獨(dú)立.設(shè)“抽到的人中實(shí)際參加蹴鞠體驗(yàn)的游客人數(shù)”，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（3）該旅行社對(duì)某天位精選游覽游客的游覽情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：景點(diǎn)編號(hào)一二三四景點(diǎn)名稱清明上河園開封府大相國(guó)寺龍亭公園游覽人數(shù)（人）假設(shè)每個(gè)景點(diǎn)得到人們喜歡的概率與該景點(diǎn)的參觀率相等，用表示第個(gè)景點(diǎn)得到游客喜歡，用表示第個(gè)景點(diǎn)沒有得到游客喜歡.結(jié)合上表數(shù)據(jù)，寫出方差、、、的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列答案見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用組合計(jì)數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式可得出的值；（3）設(shè)表示第個(gè)景點(diǎn)得到游客喜歡的概率，則服從兩點(diǎn)分布，計(jì)算得出，求出，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性可得出、、、的大小關(guān)系.【小問1詳解】記事件“抽到的人中恰有人為“深度體驗(yàn)游客””，由古典概型的概率公式可得.【小問2詳解】由題意可知，，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列如下表所示：故.【小問3詳解】設(shè)表示第個(gè)景點(diǎn)得到游客喜歡的概率，則服從兩點(diǎn)分布，則，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由表格中的數(shù)據(jù)可知，，，，因?yàn)椋?，?19.已知橢圓：（）的離心率為，，分別是的左、右頂點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，（，異于點(diǎn)），直線，分別與直線交于點(diǎn)，.試判斷四邊形是否為平行四邊形，并說明理由.【答案】（1）；（2）是平行四邊形，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，由直線方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得，，聯(lián)立求得的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)角線互相平分得出四邊形是平行四邊形.【小問1詳解】由橢圓的離心率，是的左、右頂點(diǎn)，且，可得，解得，則，所以橢圓的方程為，【小問2詳解】設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，，即，所以，，因?yàn)?，可得，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，所以，同理可得，因?yàn)?，所以，所以中點(diǎn)是，又因?yàn)橹悬c(diǎn)是，所以四邊形是平行四邊形.20.已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在，使，求的取值范圍；（3）若，求證：對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出曲線在點(diǎn)處的斜率，再由直線的點(diǎn)斜率式，即可求解；（2）先求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出的最小值為，再結(jié)合條件可得，再求解不等式，即可求解；（3）利用（2）中的結(jié)果，將問題轉(zhuǎn)化成證明對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出其在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以