專題01利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線問題(典型例題+題型歸類練)目錄角度1：在型求切線方程角度2：過型求切線方程角度3：已知切線條數(shù)求參數(shù)角度4：公切線問題一、必備秘籍1、切線的斜率：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，即.2、曲線的切線問題（基礎(chǔ)題）（1）在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.3、已知，過點(diǎn)，可作曲線的（）條切線問題第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關(guān)于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關(guān)于的方程就有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；4、已知和存在（）條公切線問題第一步設(shè)的切點(diǎn)設(shè)的切點(diǎn)求公切線的斜率寫出并整理切線整理得：整理得：聯(lián)立已知條件消去得到關(guān)于的方程，再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；消去得到關(guān)于的方程再分類變量，根據(jù)題意公切線條數(shù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)；二、典型例題角度1：在型求切線方程例題1．（2022·福建·莆田一中高二期末）曲線在處的切線方程為_______.解題思路點(diǎn)評(píng)第1步：根據(jù)題意求曲線在處的切線方程，即切點(diǎn)為求切線問題，“在”字標(biāo)志著該點(diǎn)即為切點(diǎn)，有了切點(diǎn)，只需求斜率第2步：求斜率：；即由，有，所以利用導(dǎo)函數(shù)求斜率，公式中，此時(shí)的只能代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第3步：求切線方程：，整理得.利用點(diǎn)斜式求方程：【答案】由，有，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得.故答案為：．例題2．（2022·貴州銅仁·高二期末（理））在處的切線交軸于，則切線方程為_____________．解題思路點(diǎn)評(píng)本題中函數(shù)含參數(shù)，題意中“在”字標(biāo)志切點(diǎn)為：含參數(shù)問題，將參數(shù)代入運(yùn)算，后面根據(jù)已知條件求出參數(shù)；第1步：根據(jù)題意求曲線在處的切線方程，即切點(diǎn)為求切線問題，“在”字標(biāo)志著該點(diǎn)即為切點(diǎn)；第2步：求斜率：；即由，有利用導(dǎo)函數(shù)求斜率，公式中，此時(shí)的只能代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第3步：求切線方程：.利用點(diǎn)斜式求方程：第4步：根據(jù)切線交軸于，代入切線方程求：，得，回代入切線方程中，得到切線方程為：【答案】因?yàn)?，則，所以，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，從而有，解得.所以切線方程為，即為.故答案為：角度2：過型求切線方程例題3．（2022·湖南衡陽·高二期末）寫出過點(diǎn)與曲線相切的一條直線的方程：_____________.解題思路點(diǎn)評(píng)本題中求過點(diǎn)與曲線相切的一條直線的方程，統(tǒng)一設(shè)切點(diǎn)為：切線問題，“過”字是另一種標(biāo)志，無論該點(diǎn)是否在曲線上，都統(tǒng)一設(shè)出切點(diǎn)為；而將過的那點(diǎn)“認(rèn)為”是非切點(diǎn).第1步：根據(jù)題意設(shè)切點(diǎn)為；求導(dǎo)：求切線問題，“過”字也是一種標(biāo)志，要統(tǒng)一設(shè)出切點(diǎn)；第2步：求斜率：；即由，有利用導(dǎo)函數(shù)求斜率，公式中，此時(shí)的只能代入切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；第3步：求切線方程：.利用點(diǎn)斜式求方程：第4步：根據(jù)題意，切線過點(diǎn)，代入切線中得，解得或根據(jù)題意，求切點(diǎn)，本題中求出或，說明切點(diǎn)有兩個(gè)第5步：求切線方程：當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為.將或代入切線方程，求切線；“過”字標(biāo)志的切線問題一般能求出多條切線【答案】或(寫出其中一條即可)設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線方程為，將點(diǎn)代入得，解得或.當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為.故答案為：或例題4．（2022·新疆·烏魯木齊101中學(xué)高二期中（文））過曲線上一點(diǎn)的切線方程為_____.【答案】或設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)椋郧芯€斜率所以切線方程為…①因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以整理得，即解得或，代入①整理得或故答案為：或角度3：已知切線條數(shù)求參數(shù)例題5．（2022·湖南郴州·高二期末）過點(diǎn)作曲線的切線有且只有兩條，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．解題思路本題屬于已知切線有幾條問題，注意到標(biāo)志詞“過”說明，本題需先設(shè)出切點(diǎn),再求出切線，利用切線過點(diǎn)，代入切線中，，由題意知切線有2條；將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化：說明兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；通過研究，畫出的圖象，在圖象中尋找使得；有兩個(gè)交點(diǎn)的范圍，從而求解.第1步：設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)：第2步：求切線：第3步：將代入切線中：第4步：等價(jià)轉(zhuǎn)化：有兩個(gè)根，等價(jià)于：兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)第5步：研究畫出圖象：，則，令則，令則，當(dāng)；畫出圖象:（注意:本題中畫圖是重點(diǎn)，如果沒有考慮：當(dāng)；畫出草圖可能就錯(cuò)誤了，這樣的取值范圍就錯(cuò)誤了）第6步：在圖象中尋找使得；有兩個(gè)交點(diǎn)的范圍：【答案】A設(shè)切點(diǎn)為，，故過的切線方程為，即.故有且僅有兩根.設(shè)，則，令則，令則，且，又當(dāng)時(shí)，，.故有且僅有兩根則b的取值范圍為故選：A例題6．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．解題思路本題屬于已知切線有幾條問題，注意到標(biāo)志詞“過”說明，本題需先設(shè)出切點(diǎn),再求出切線，利用切線過點(diǎn)，代入切線中，，由題意知切線有3條；將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化：說明該方程有三個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)：，說明函數(shù)與軸有3個(gè)交點(diǎn)，接下去研究，令，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,所以在時(shí)取得極大值,在時(shí)取得極小值,由三次函數(shù)圖象知（極大值，且極小值），從而：得.第1步：設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)：第2步：求切線：第3步：將代入切線中：第4步：構(gòu)造函數(shù)：等價(jià)于函數(shù)與軸有3個(gè)交點(diǎn)第5步：研究令，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,所以在時(shí)取得極大值,在時(shí)取得極小值,由三次函數(shù)圖象知，解得【答案】D設(shè)切點(diǎn)為，，∴切線斜率為，∴切線方程為，將代入得方程，即，由題設(shè)該方程有3個(gè)不等實(shí)根.令，，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,所以在時(shí)取得極大值,在時(shí)取得極小值,由三次函數(shù)圖象知,解得,因?yàn)榭梢酝瞥?，所以也正確.故選：D角度4：公切線問題例題7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若曲線與曲線：=有公切線，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．+ B．- C．+ D．解題思路本題屬于，兩條曲線與曲線=有公切線問題，解題時(shí)，分別求出每條曲線的切線，對(duì)比兩條曲線的斜率，縱截距：設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，則切線斜率為，在曲線上的切點(diǎn)為，切線斜率為，得到第一個(gè)等式：；寫出兩條曲線的切線方程分別為、，化簡為斜截式：、，對(duì)比縱截距相等，得到第二個(gè)等式：；聯(lián)立兩個(gè)條件得到：，代入消去；再分離變量得：等價(jià)轉(zhuǎn)化為：和有交點(diǎn)；問題轉(zhuǎn)為研究函數(shù)，畫出的圖象，，令，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，畫出圖象：最后在尋找與圖象有交點(diǎn)的情況，求出【答案】C設(shè)在曲線上的切點(diǎn)為，則切線斜率為，在曲線上的切點(diǎn)為，切線斜率為，所以切線方程分別為、，即、，有，整理得，設(shè)，則，令，令，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上，如圖，由圖可知，即k的最大值為.故選：C.例題8．（2022·福建省福州第八中學(xué)高二期末）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】設(shè)公切線與曲線和的交點(diǎn)分別為，，其中，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，即.∴正實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.三、題型歸類練1．（2022·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】由題知，，令，又，解得，因?yàn)?，所以切線的方程為.，設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，所以，故，即，，解得或.故選：D2．（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)切線：，即切線：，即，令在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：A．3．（2022·福建廈門·高二期末）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C，設(shè)切點(diǎn)，所以在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，整理為，即，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間和單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值是，函數(shù)的極小值是，若函數(shù)與有3個(gè)交點(diǎn)，則，即.故選：C4．（2022·浙江省長興中學(xué)高二期末）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D解：設(shè)切點(diǎn)為，,由題得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，所以，所以有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，所以.故選：D5．（2022·全國·益陽平高學(xué)校高二期末）若過點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)切點(diǎn)為，由，故切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，所以代入切線方程得，則關(guān)于t的方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則或，所以當(dāng)，時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，且時(shí)，，時(shí)，，所以只需，解得故選：A6．（2022·山東泰安·高二期中）過曲線外一點(diǎn)作的切線恰有兩條，則（

）A． B． C． D．【答案】A，過點(diǎn)作曲線C的切線，設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為：，將代入得：即（*）

由條件切線恰有兩條，方程（*）恰有兩根．令，，顯然有兩個(gè)極值點(diǎn)與，于是或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)經(jīng)過與條件不符，所以，故選：A.7．（2022·湖北·宜城市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．且【答案】D作出的圖象，由圖可知，若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，點(diǎn)應(yīng)在曲線外，設(shè)切點(diǎn)為，所以，，所以切線斜率為，整理得，即方程在上有兩個(gè)不同的解，所以，，所以且.故選：D．8．（多選）（2022·河北石家莊·高二期末）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值可能是（

）A．1.2 B．4 C．5.6 D．【答案】ABD由，則，由，則設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，則斜率為，所以切線方程為，即

①設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，則斜率為：，則切線方程為，即，②根據(jù)題意方程①，②表示同一條直線，則所以，令（），則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由題意.故答案為：ABD9．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A． B． C． D．【答案】AD解：設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，與曲線相切于點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，，則，解得，所以，即.對(duì)于函數(shù)，，則，又，所以，又，所以，.故選：AD10．（2022·陜西渭南·高二期末（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______.【答案】因?yàn)?，所以在點(diǎn)的斜率，又因?yàn)?，所以切線方程為，化簡得.故答案為：.11．（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高二期末（文））已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_______．【答案】解：因?yàn)椋?，又，所以，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，所以切線方程為，整理得；故答案為：12．（2022·河北張家口·高二期末）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】易知，又，所以切線的斜率，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.故答案為：13．（2022·福建三明·高二期末）已知曲線在點(diǎn)處的切線為l，則直線l的方程為___．【答案】因?yàn)?，所以，，所以切線方程為：，即，故答案為：14．（2022·廣東茂名·高二期中）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，則直線l的方程為__________.【答案】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為又直線l過點(diǎn)，所以，整理得，解得，所以，直線l的斜率，所以直線l的方程為，故答案為：.15．（2022·北京·匯文中學(xué)高二期中）過點(diǎn)的切線方程是__________.【答案】或解：由題，設(shè)切點(diǎn)為，，所以，切線方程為：因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，，即，解得或.所以，當(dāng)時(shí)，切線方程為：；當(dāng)時(shí)，切線方程為：；綜上，所求切線方程為：或故答案為:或16．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函數(shù)f（x）=x3－3x，則過點(diǎn)（1，－2）的切線方程為__________．【答案】和由函數(shù)，則，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，則，即切線的斜率，所以切線的方程為，當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，則，即，解得或（舍去），所以所以切線的方程為，即．故答案為：和．17．（2022·四川成都·高二期中（文））過點(diǎn)的直線l與曲線相切，則直線l的斜率為___________.【答案】3或##或3因?yàn)?，所以，，?dāng)為切點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)不為切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，所以，所以切線方程為：，過點(diǎn)，所以即，即，解得或（舍），所以切點(diǎn)為，所以，綜上所述：直線l的斜率為3或，故答案為：3或18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，請寫出與的一條公切線的方程______．【答案】或設(shè)公切線與相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，，，公切線斜率；公切線方程為：或，整理可得：或，，即，，解得：或，公切線方程為：或.故答案為：或.19．（2022·福建泉州·高二期中）函數(shù)與有公切線，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】4根據(jù)題意，函數(shù)與有公切線，設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，；所以且，所以公切線為，則有，設(shè)，則在上遞增，又，故，，故答案為：420．（2022·山東德州·高二期末）