1.3《全等三角形的判定》一、單選題1．（24-25八年級上·山西大同·期末）如圖，把長度確定的兩根木棍，的一端固定在A處，和第三根木棍擺出?ABC固定，將木棍繞點A轉(zhuǎn)動，得到，這個實驗說明（

）A．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形一定不全等B．有兩角分別相等且其中一角的對邊相等的兩個三角形不一定全等C．兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等D．有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等2.如圖，已知?ABC的六個元素，甲、乙、丙三個三角形中標(biāo)出了某些元素，則其中與?ABC全等的三角形是（

）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙3．如圖所示，若，，添加后就能直接利用“”證得的條件是（

）A． B． C． D．4．根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的的是（）A．B．C．D．5．年月日—月日，河南宜陽舉辦“洛水昌谷風(fēng)箏節(jié)”，三十余種大型風(fēng)箏，形態(tài)各異，色彩斑斕．如圖，這是小穎目測的一個風(fēng)箏骨架，她根據(jù)，，不用測量就知道，小穎是通過全等三角形的知識得到的結(jié)論，則小穎判定三角形全等的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．6．在?ABC中，，將?ABC沿圖中虛線剪開，剪下的兩個三角形不一定全等的是（

）A．B．C．D．7．如圖1，已知，，線段，求作．作法：如圖2，①作線段；②在的同旁作，，與的另一邊交于點．則就是所作三角形，這樣作圖的依據(jù)是（）A．已知兩邊及夾角B．已知三邊C．已知兩角及夾邊D．已知兩邊及一邊對角8．下列命題中，真命題的是（

）A．兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等9．如圖，在?ABC中，，角平分線與相交于點，平分，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④二、填空題10．如圖是由邊長相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D，E五點均在格點上，則的度數(shù)為．11.如圖，在?ABC中，，，平分，，若，則的長為．12．如圖所示，，，，，，則13．如圖，在中，，，，為邊上的高，點從點出發(fā)，在直線上以/的速度移動，過點作的垂線交直線于點．（1）若，則；(用含的代數(shù)式表示（2）當(dāng)點運(yùn)動s時，．14．如圖，?ABC中，，D為上一點，連接，E為?ABC外一點，且，延長交的延長線于點F，連接，若，，則．15．如圖，?ABC中，，，，平分，且，則與的面積和是．三、解答題16．如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上，點A，D在l的兩側(cè)，，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．17．如圖，點C，D均在線段上，且，分別過點C，D在的異側(cè)作，連接交于點G，．(1)求證：．(2)求證：G是線段的中點．18．如圖，點B，C，D在同一條直線上，，且．(1)試說明．(2)若，C是的中點，求的長．19．思考：如圖1，把一長一短的兩根木棍的一端固定在一起，擺出?ABC．固定住長木棍，轉(zhuǎn)動短木棍，得到．這個實驗說明了什么？圖1中的?ABC與滿足兩邊和其中一邊的對角分別相等，即，，，但?ABC與不全等．這說明，有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．小明通過對上述問題的再思考，提出：兩邊和其中一邊的對角（這個角是鈍角）分別相等的兩個三角形全等．即在?ABC和中，若，，（，為鈍角），則．對于小明的結(jié)論，阿強(qiáng)和阿芳分別提出了驗證方案．(1)阿強(qiáng)的驗證方案：根據(jù)教科書中探究三角形全等判定方法的經(jīng)驗，利用尺規(guī)作圖驗證小明提出的結(jié)論．即先畫一個?ABC，使為鈍角，如圖2，再畫一個，使，，．把畫好的剪下來，放到?ABC上，看它們是否重合．請利用直尺和圓規(guī)畫出符合條件的（不寫畫法，保留作圖痕跡）；(2)阿芳的驗證方案：利用三角形全等的判定方法證明小明提出的結(jié)論．即：在和中，已知，，（，為鈍角），如圖3．求證：．請寫出證明過程．20.（1）如圖①，已知：?ABC中，，，直線m經(jīng)過點A，于D，于E，求證：≌；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：?ABC中，，D、A、E三點都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請問結(jié)論是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，在?ABC中，是鈍角，，，，直線m與的延長線交于點F，若，?ABC的面積是16，求與的面積之和．21．已知，在四邊形中，，，分別是邊上的點．且．探究線段的數(shù)量關(guān)系．(1)為探究上述問題，小寧先畫出了其中一種特殊情況，如圖①當(dāng)，小寧探究此問題的方法是：延長到點，使，連接，請你補(bǔ)全小寧的解題思路：先證明________；再證明_________；即可得出線段之間的數(shù)量關(guān)系是______________________．(2)如圖②，在四邊形中，，，分別是邊上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；(3)在四邊形中，，，分別是所在直線上的點，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．22．【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學(xué)活動課上，馬老師提出了如下問題：如圖1，在?ABC中，，．是?ABC的中線，求的取值范圍．【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把、、轉(zhuǎn)化在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是________；方法總結(jié)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形【問題解決】（2）如圖2，是?ABC的中線，是的中線，，下列四個選項中：直接寫出所有正確選項的序號是________．①；②；③；④【問題拓展】（3）如圖3，，，與互補(bǔ)，連接、，E是的中點，試說明：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長交于點F，，，則的面積是________．參考答案一、單選題1．D【詳解】解：由題意知，與?ABC中有兩邊和其中一邊的對角分別相等，與?ABC不全等，有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．故選：D．2.B【詳解】解：∵圖乙中的三角形與?ABC有兩角及其夾邊相等，∴圖乙中的三角形與?ABC全等．圖丙中：，∴圖丙中的三角形與?ABC有兩角及其夾邊相等，∴圖丙中的三角形與?ABC全等．故選B．3．C【詳解】解：用邊角邊證明兩三角形全等，已知其中一個對應(yīng)角相等和一條對應(yīng)邊相等，則還需要的條件是相等角的另外一條臨邊相等，即，故選：C．4．D【詳解】解：A、∵，不能畫出，故本選項不符合題意；B、已知三個角，不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；C、已知兩邊及其中一邊的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；D、已知兩角及其夾邊，能畫出唯一三角形，故本選項符合題意．故選：D．5．A【詳解】解：在和中，，，；故選：A6．D【詳解】解：A．滿足兩邊對應(yīng)相等且夾角相等，故剪下的兩個三角形全等；不符合題意；B．滿足兩邊對應(yīng)相等且夾角相等，故剪下的兩個三角形全等；不符合題意；C．如圖：∵，，∴，∵，，∴根據(jù)可知剪下的兩個三角形全等；不符合題意；D．如圖:同理可得：，而，但兩三角形對應(yīng)邊不一定相等，則兩個三角形不一定全等，符合題意．故選：D．7．C【詳解】解：由作圖可知，這個作圖的依據(jù)是：兩角夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，即．故選：C．8．A9．C【詳解】解：∵，為三角形的角平分線，∴，，∴，故①正確；∴，∵平分，∴，在?BDF和中，，∴，∴，，同理可得，∴，，∴，，故③④正確，符合題意；∵點G不一定是的中點，∴不能得出，∴不能得出，故②錯誤，不合題意；綜上，正確的結(jié)論是①③④．故選：C．二、填空題10．【詳解】解：由圖可知：，，，，故答案為：．11.【詳解】解：如圖，延長交于點,,,,,即,在和中，,平分,,在和中,,,,故答案為：．12．【詳解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴．故答案為：13．α2或5【詳解】解：（1）∵，∴，∵為邊上的高，∴，∴，∴，∵，∴；故答案為：（2）①如圖，當(dāng)點E在射線上移動時，∵過點E作的垂線交直線于點F，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵點E從點B出發(fā)，在直線上以的速度移動，∴E移動了：；②當(dāng)點在射線上移動時，作點作交直線于點，，∴，∵,∴，在和中，，∴，∴，∴，∵點從點B出發(fā)，在直線上以的速度移動，∴移動了：（s）；綜上所述，當(dāng)點E在射線CB上移動或時，；故答案為：2或5．14．【詳解】解：∵，，，∴，又∵，，∴?ADB≌?CEA（SAS），∴，∴，故答案為：．15．3【詳解】解：如下圖，延長交于點，∵，，，∴，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴．故答案為：3．三、解答題16．（1）證明：∵，∴，在?ABC與中，∴．（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴．17．（1）∵，∴，∵，，∴，∴；（2）∵，，，∴，∴，即G是線段的中點．18．（1）證明：，，又，，，在中，，∵，∴，，又，，，；（2）解：由（1）得，，，又點是的中點，，．19．（1）解：如圖，則即為所作；（2）證明：過作，垂足為，過作，垂足為，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在?ABC和中，，∴．20.解：（1）∵，∴，且，∴，在和中，，∴；（2）成立，證明如下：∵，∴，且，∴，在和中，，∴，，∴，，∴．（3）同（2）可證，∴，設(shè)?ABC的底邊上的高為h，則的底邊上的高為h，∴，，∵，∴．∵，∴與的面積之和為8．21．（1）解：補(bǔ)全小寧的解題思路如下：先證明；再證明；即可得出線段之間的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：，，；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖②，延長到點G，使，連接，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴∴，在與中，，∴，∴，∵，∴；（3）解：或或，理由如下：①，如圖：在上截取，使，連接，∵∴在與中，∴∴，∴，∴，∵，∴∴，在與中，，∴，∴，∵，∴；②，如圖，在上截取，同第一種情況，先證得，再證得，∴；③由（1）、（2