章末小結(jié)第二章《直線和圓的方程》標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程點(diǎn)與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系方程形式圓位置關(guān)系平行相交

垂直點(diǎn)到直線的距離兩條直線的位置關(guān)系點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式一般式知識(shí)網(wǎng)絡(luò)直線斜率與傾斜角方程形式肖線①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線向上的方向

之間所成的角α叫做直線l

的傾斜角。②范圍：

0°≤a<180°當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定其傾斜角α=0°③方向相同的直線，傾斜角相同知識(shí)梳理—

—1.直線的傾斜角和斜率知識(shí)梳理—

—1.直線的傾斜角和斜率a的范圍α=0°0°<α<90°α=90°90°<α<180°k的范圍k=0k>0k不存在k<0與x軸平行或重合

與x軸垂直a

為銳角時(shí)，a

越大，斜率越大，k由0變化到+0∞0;a

為鈍角時(shí)

，a

越大，斜率越大，k由

-

變化到0;把一條直線的傾斜角α的正切值tan

a叫做這條直線的斜

率，常用k表示.k=tana

(a≠90°)所有的直線都有傾斜角；但不是所有直線都有斜率。類型斜率存在斜率不存在條件a?=a?=90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l?//L?

→k?=k?兩條直線斜率都不存在圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l?

的斜率不存在，

l?

的斜率為0

=l?

⊥l?圖示知識(shí)梳理——1.直線的傾斜角和斜率知識(shí)梳理—

—1.直線的傾斜角和斜率若直線過兩點(diǎn)P(x?,y?),P?(x?,y?),

且,則

或

若直線的方向向量坐標(biāo)為x,y),貝則

直線l

的方向向量可為1,k),k為斜率名稱幾何條件方程局限性點(diǎn)斜式過點(diǎn)(xo,yo),斜率為ky—yo=k(x—xo)不含垂直于x軸的直線斜截式斜率為k,縱截距為by=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)(xi,y1),(x?

,y2)(x?

≠x2,y?

≠y2)y—y1二x—x1y2—y1X2—X1不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式在x軸、y軸上的截距分別為a,b(a,b≠0)不包括垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式—

Ax+By+C=0(A,B不全為0)知識(shí)梳理——2.直線的方程名稱斜截式y(tǒng)=kx+b一

般式Ax+By+C=0相交k?

≠k?時(shí)，記垂直

或kik2=-1時(shí)，記平行k?=

k?且

b?

≠

b?時(shí)，記知識(shí)梳理——3.直線的位置關(guān)系與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0(m≠C),與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設(shè)為Bx—Ay+m=0.方程組的解唯一解無數(shù)個(gè)解無解直線l?和l?

交點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè)無數(shù)個(gè)0個(gè)直線l?和l?

的位置關(guān)系相交重合平行知識(shí)梳理——4.兩直線的交點(diǎn)解方程組得唯一的x,y的值；則交點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y).(2)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與直線位置關(guān)系：l?:A?x+B?y+C?=0M(x,y)xl?:A?x+B?y+C?=0(1)求交點(diǎn)坐標(biāo)：聯(lián)立兩直線方程(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：中點(diǎn)公式(2)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱：AA'⊥l,AA

'的中點(diǎn)在l上[注]點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為(b,a)(3)線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱：斜率相等，求(1)型對(duì)稱點(diǎn)知識(shí)梳理——5.點(diǎn)與直線的對(duì)稱問題光線的反射問題是直線部分常考的題型之一，此類問題可借

助光學(xué)性質(zhì)：入射角等于反射

角，或使用對(duì)稱思想(一般找對(duì)

稱點(diǎn))解決.m(4)線關(guān)于線的對(duì)稱：求交點(diǎn)P,求(2)型對(duì)稱點(diǎn)P(3)兩條平行線間的距離：兩條平行線Ax+By+C?=0與A

間的距離(1)兩點(diǎn)間的距離：平面上的兩點(diǎn)A(x?,y?),B(x?

,y2)

間的距離

d=|AB|=√(x?—x?)2+(y?—y?)2

.(2)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P(x?,y?)到直線l:Ax+By+C=0

的距離知識(shí)梳理——6.距離公式表示圓心

半徑為

的圓.x2與y2

系數(shù)相同且不為0

.①D2+E2-4F>0

時(shí)，方程表示以(

為圓心，以

為半徑的圓②D2+E2-4F=0

時(shí)，方程表示點(diǎn)(

③D2+E2-4F<0

時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解不表示任何圖形

知識(shí)梳理——7.圓的方程1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2表示圓心為a,b),半徑為r的圓.圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2+y2=r22.圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

(其中D2+E2-4F>0).3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧。4.求弦長(zhǎng)：①兩點(diǎn)距離：聯(lián)立直線與圓的方程求兩交點(diǎn)A,B

的坐標(biāo)知識(shí)梳理——8.圓的弦長(zhǎng)1.弦

：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段。①直徑是圓的最長(zhǎng)弦；②圓心在弦的中垂線上.2.弦心距：

圓心到弦所在直線的距離；②勾股/垂徑定理：弦

長(zhǎng)

(d為弦心距)弦長(zhǎng)AB=√(x?—x?)2+(y?-y?)2[注]①當(dāng)兩圓方程中二次項(xiàng)系數(shù)相同時(shí)，才能作差求解，否則應(yīng)先化同系數(shù).②兩圓相

切時(shí)，(*)表示過切點(diǎn)且垂直于連心線的切線方程；③兩圓外離或內(nèi)含時(shí)，(*)表示垂直于連心線的直線方程；6.求兩圓公共弦長(zhǎng)：法1:聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn)，求兩點(diǎn)距離法2:求公共弦所在直線方程+垂徑定理

|ABI=2√r2-d2知識(shí)梳理——9.圓的弦長(zhǎng)5.求兩圓公共弦所在直線方程：法1:聯(lián)立兩圓方程求交點(diǎn)，由兩點(diǎn)求直線方程法2:兩圓方程作差(D?-D?)x+(E?-E?)y+(F?-F?)=0①圓心到切線的距離等于半徑(d=r);②圓心與切點(diǎn)的連線垂直于切線(斜率積為-1);③過圓外一點(diǎn)且與圓相切的直線有2條，切線長(zhǎng)相等.

和兩個(gè)圓都相切的直線叫做這兩個(gè)圓的公切線。外公切線：

兩圓在公切線的同旁。內(nèi)公切線：

兩圓在公切線的兩側(cè)。位置關(guān)系圖形公切線條數(shù)外離外切3相交變2內(nèi)切b1內(nèi)含)0知識(shí)梳理—

—10.圓的切線圓的切線的性質(zhì)本質(zhì)：√(x?-a)2+(y。-b)2_r點(diǎn)M在圓上：|MA=r?(x?-a)2+(yo-b)2<r2?x

。2+y

。2+Dx?+Ey

。+F=0點(diǎn)M

在圓內(nèi)：MAkr?(x?-a)2+(yo-b)2=r2?x?2+y2+Dx?+Ey+F<0點(diǎn)M

在圓外：|MA>r?(x?-a)2+(yo-b)2>r2?x?2+y

。2+Dx?+Ey?+F>0知識(shí)梳理—

—11.1點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x?,yo)

與圓的位置關(guān)系：代數(shù)法幾何法直

線

與

圓

的

位

置

關(guān)

系相交相切相離圖示直線與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1個(gè)0個(gè)幾何法：圓心到直線的距離d<rd=rd>r代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程

，消元得px2+qx+t=0的解的個(gè)數(shù)(△的正負(fù))△>0△=0△<0知識(shí)梳理—

—11.2直線與圓的位置關(guān)系圓(x-a)2+(y-b)2=r

2(r>0)

與直線Ax+By+C=0位置關(guān)系的判斷圓與圓的位置

關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示兩圓交點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)1個(gè)0個(gè)幾何法：圓心距d與R±r的關(guān)系I0?O?

>R+rI0?O?|=R+r|R-rk|O?O?KR+rIO?O?=|R-r0≤10?O?K|R-r|代數(shù)法：聯(lián)立

兩圓方程，消

元所得方程解的個(gè)數(shù)(△的正負(fù))△<0△=0△>0△=0△<0當(dāng)4=0或4<0時(shí)，

不

能

確

定

兩

圓

的

位

置

關(guān)

系知識(shí)梳理—

—11.3圓與圓的位置關(guān)系圓O?

:(x-a)2+(y-b)2=R2與圓O?

:(x-a?2+(y-b?)2=r2位置關(guān)系的判斷

λ≠-1時(shí)，方程x2+y2+Dx+E?y+F?+2(x2+y2+D?x+E?y+F?)=0

表示過

圓C?:x2+y2+D?x+E?y+F?=0和圓C?:x2+y2+D?x+E?y+F?=0交點(diǎn)的圓系方程(但不

包括圓C?

).Vλ∈R,方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0

表示過圓x2+y2+Dx+E?y+F?=0

和直線Ax+By+C=0交點(diǎn)的圓系方程知識(shí)梳理—

—12.直線系、圓系方程2(A?x+B?y+C?)=0

表示過直線交點(diǎn)的直線束方程，但不包括直線l?

.當(dāng)λ(λ∈R)變化時(shí)，方程A?x+B?y+C?+l:A?x+B?y+C?=0和L?:A?x+B?y+C?=0若斜率存在，且相等，且兩直線有公共點(diǎn)三點(diǎn)

共線若斜率不存在，且兩直線有公共點(diǎn)方法歸納——1.三點(diǎn)共線問題從三點(diǎn)中任取兩點(diǎn)，求其斜率用斜率公式解決三點(diǎn)共線問題的方法求兩直線的交點(diǎn)的方法：設(shè)兩條直線的方程是l?:A?x+B?y+C?=0,l?:A?x+B?y+C?=0,兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組

的解.若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)坐標(biāo)；

若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；

反之，亦成立.方法歸納——2.兩直線交點(diǎn)問題方法歸納——3.求知頂點(diǎn)坐標(biāo)的三角形面積求|AB|求直線AB的方程求點(diǎn)C到直線AB的距離h

求三角形面積求直線AB的方程求lB

的與x軸交點(diǎn)D

求|CDI三角形面積作差求

|AB|,AC|,IBCI余弦定理求cosA求sinA求三角形面積(1)直線的斜截式方程是由點(diǎn)斜式推導(dǎo)而來的.直線與y軸的交點(diǎn)(0,b)的縱坐標(biāo)b稱為此直線的縱截距，值得強(qiáng)調(diào)的是，

截距是坐標(biāo)，它可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，還可能是0,不能將其理解為“距離”而恒為非負(fù)數(shù).(2)直線與x軸的交點(diǎn)(a,O)的橫坐標(biāo)a稱為此直線的橫截距.并不是每條直線都有橫

截距和縱截距，如直線x=1沒有縱截距，直線y=2沒有橫截距.(3)橫縱截距相等的直線：傾斜角為135°或過原點(diǎn)橫縱截距互為相反數(shù)的直線：傾斜角為45°或過原點(diǎn)方法歸納——4.“截距”的理解(4)在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長(zhǎng)等問題時(shí)，經(jīng)常使

用截距式；若設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別為a,b,則直線與坐標(biāo)軸所圍成的三

角形面積為,

周

長(zhǎng)C=la|+|b|+

√a2+b2.(5)注意分類討論：當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零.在這兩種情況下都不能用截距式.方法歸納——4.“截距”的理解審

明確參數(shù)個(gè)數(shù)，x項(xiàng)、y項(xiàng)的系數(shù)

題

及常數(shù)項(xiàng)(1)A,B

不同時(shí)為0依

(

2

)

斜

率

一A(B≠0)據(jù)

(3)在x軸上的截距(4)在y軸上的截距-求

值

結(jié)

解方程或不等式求值，檢驗(yàn)是否

檢驗(yàn)

論

符合題意，得出參數(shù)的值(范圍)方法歸納——5.直線的含參一般式方程已知含參的直線的一般式方程求參數(shù)的值或取值范圍的步驟：列式子明條件(即連接PC并延長(zhǎng)，M為PC

與圓的交點(diǎn)，N

為PC延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)).(2)已知圓C

及圓內(nèi)一定點(diǎn)P,

則過點(diǎn)P

的最長(zhǎng)弦為直徑，最短弦為與該直徑垂直的弦AB.與圓相關(guān)的最值結(jié)論

：(1)已知圓C

及圓外一定點(diǎn)P,

設(shè)圓C

的半徑為r,則圓上點(diǎn)到點(diǎn)P

距離的最小值為IPM|=|PC|一r,最大值為|PM=|PC|+r方法歸納——5.與圓相關(guān)的最值問題與圓相關(guān)的最值結(jié)論：(3)如圖，已知圓C

和圓外的一條直線l,則圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為IPM|=d—r,距離的最大值為IPN=d+r

(過圓心C

作l

的垂線，垂足為