(1)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率；

P(B|A)(2)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；P(AB)

性質(zhì)1:若B和C互斥，則P(BUC|A)=P(

B|A)+P(

C|A)性質(zhì)2:若B和B互為對(duì)立事件，則P(B|A)=1-P(B|A)舊知回顧——條件概率與積事件的概率P(AB)P(A)P(B|A)=P(AB)=P(A)P(B)(前提：A,B相互獨(dú)立)將條件記為事件A,將目標(biāo)記為事件B.P(AB)=P(A)P(B|A)P(B|A)的實(shí)際意義例題回顧

把一個(gè)復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單的事件運(yùn)算的結(jié)果例3.已銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢時(shí),忘記了密碼的最后1位數(shù)字.求：(1)任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率；(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率

.析：記事件A為“第i次按對(duì)密碼”,事件A

為“不超過2次就按對(duì)”,則A=A?U(A?A?),且A?與

A?A?互斥，

概率加法公式(2)記事件B

為“最后一位為偶數(shù)”,概率乘法公式因?yàn)槌楹灳哂泄叫?，所以?次摸到紅球的概率也應(yīng)該是a+b但是這個(gè)結(jié)果并不顯然，因?yàn)榈?次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo).問題1:

從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

.那么第2次摸到紅球的概率是多大?如

何計(jì)算這個(gè)概率呢?問題引入問題1:

從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然第1次摸到紅球的概率為

第2次摸到紅球的概率也應(yīng)該是證明：用A?

表示事件“第1次摸到紅球”,A?表示事件“第1次摸到藍(lán)球”,

B表示事件“第2次摸到紅球”.

則B=

,

故P(B)=P(A?BUA?B)問題引入=P(A?B)+P(A?B)概率加法公式=P(A)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)

概率乘法公式把一個(gè)復(fù)雜事件表示為若干個(gè)互斥事件的并設(shè)A?,A?,…,An

是一組兩兩互斥的事件，

A?UA?U…UAn=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n

,

則對(duì)任意的事件B

≌Ω,有P(B)=Z'=1P(A;)P(B|A;).稱為全概率公式.=P(A?)P(B|A?)+…+P(An)P(B|An)第

一

次發(fā)生的事件A?,A?,且A,A?,A?

互斥則Ω=AUA?UA?,第二次發(fā)生的事件為則B=ABUA?BUA?B,PB)=PAB)+PA?B)+P(AB)=RA)PB|A)+PA)PB|A)+PA)RB|A)新知：全概率公式例題講解——全概率公式的運(yùn)用例4.某學(xué)校有A,B

兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐

.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.解：記A?="第1天去A餐廳",A?="

第1天去B

餐廳",則Ω=A?UA?,且A?,A?互斥.記B="第2天去A餐廳",則B=A?BUA?B,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)

=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7全概率公式針對(duì)的是已知一定的條件，求出某個(gè)結(jié)果的概率問題，解題步驟一般如下：(1)找出條件事件里某一個(gè)完備事件組，分別命名為A,

且A;兩兩互斥(2)命名目標(biāo)事件為事件B;(3)代入全概率公式求解.方法小結(jié)——全概率公式的運(yùn)用P52-4.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲

箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球

.

求摸到紅球的概率.P52-1.

現(xiàn)有12道四選一的單選題，學(xué)生張君對(duì)其中9道題有思路，3道題完全沒

有思路.有思路的題做對(duì)的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個(gè)答案，猜

對(duì)答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機(jī)選擇1題，求他做對(duì)該題的概率.練習(xí)鞏固——全概率公式的運(yùn)用P52-1.現(xiàn)有12道四選一的單選題，學(xué)生張君對(duì)其中9道題有思路，3道題完全沒

有思路.有思路的題做對(duì)的概率為0.9,沒有思路的題只好任意猜一個(gè)答案，猜

對(duì)答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機(jī)選擇1題，求他做對(duì)該題的概率.解：記A?="選到有思路的題'

,A?="

選到?jīng)]思路的題，且A?,A?互斥

.記B="

選到的題能做對(duì)',則B=ABUA?B,由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)

練習(xí)鞏固——全概率公式的運(yùn)用練習(xí)鞏固——全概率公式的運(yùn)用P52-4.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲箱子隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙箱子中隨機(jī)摸出1個(gè)球

.

求摸到紅球的概率.解：記A?="從甲箱摸球'

,A?="

從乙箱摸球',且A?,A?互斥

.B="

摸到紅球",則B=A?BUA?B,由全概率公式得，解：記A?="取到第i治臺(tái)機(jī)床加工的零件(i=1,2,3),則Ω=AUA?UA?,且

A,A?,A?

互斥.記B="取到的零件為次品，則B=A?

BUA?

BUA?B,由全概率公式得

P(B)=P(A)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525例5.有3臺(tái)機(jī)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.

已知第1,2,3臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；例題講解——全概率公式的運(yùn)用解：記A="

取到第治加工的零件'(i=1,2,3),記B="

取到的零件為次品，由(1)得P(B)=0.0525,-0252同理可

若對(duì)加工的次品要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任，則就分別是第1,2,3臺(tái)機(jī)床操作員應(yīng)承擔(dān)的份額.

例題講解例5.有3臺(tái)機(jī)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%,第2,3臺(tái)加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺(tái)機(jī)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i=1,2,3)臺(tái)機(jī)床加工的概率.思考：P(A?)

與P(A?|B)

的實(shí)際意義是什么?P(A?)是試驗(yàn)之前就已知的，它是第1臺(tái)機(jī)床加工的零件所占的比例，稱為先驗(yàn)概率.P(A?

IB)是已知抽到的零件是次品，這件次品來自第1臺(tái)機(jī)床的可能性，稱為后驗(yàn)概率.新知：貝葉斯公式A?U

A?U…U

An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,

…

,n,則對(duì)任意的事件B≌Ω,P(B)>0,(選學(xué)內(nèi)容*)貝葉斯公式：設(shè)A?

,A?

,…An是一組兩兩互斥的事件，1761)發(fā)現(xiàn)的，它有

,i=1,2,…,n.用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.

將例5中的問題(2)一般化，可以得到貝葉斯公式.貝葉斯公式是由英國(guó)

數(shù)學(xué)家貝葉斯(T.Bayes,例題講解——全概率公式例6.在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.

已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1;發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.(1)分別求接收的信號(hào)為0和1的概率；解：記A="

發(fā)送的信號(hào)為0",B="接收的信號(hào)為0",則A="發(fā)送的信號(hào)為",B="接收的信號(hào)為I",(1)∵B=ABUAB,.由全概率公式得P(B)

=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475

P(B)=1-P(B)=1-0.475=0.525例6.在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1;發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.(1)分別求接收的信號(hào)為0和1的概率；(2)已知接收的信號(hào)為0,求發(fā)送的信號(hào)是1的概率.解：記A="發(fā)送的信號(hào)為0",B="接收的信號(hào)為0",由(1)得P(B)=0.475,例題講解——貝葉斯公式則A="發(fā)送的信號(hào)為I",B="

接收的信號(hào)為I",(2由貝葉斯公式A?="

選取的人來自C地",B="

選取的人患流感，(1)由全概率公式得P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)(2)由貝葉斯公式P53-5.在A,B,C三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為5:7:8,現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人.(1)求這個(gè)人患流感的概率；(2)*如果此人患流感，求此人選自A

地區(qū)的概率解：記A?="

選取的人來自A地",A?="選取的人來自B地",練習(xí)鞏固——全概率公式和貝葉斯公式甲罐中有4個(gè)紅球、2個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和2個(gè)黑

球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機(jī)取出一球.若以A?

表

示“從甲罐取出的球是紅球”的事件，以M表示“從乙罐取出的球是紅球”的事件，

則P(M|A?)=

,

P(M)=

.A?

表示“從甲罐取出紅球”A?表示“從甲罐取出白球”A?表示“從甲罐取出黑球”P(M)=P(A?)P(M|A?)+P(A?)P(M|A?)+P(A?)P(M|A?)4

5

2

4

2

4

98

10

8

10

8

10

20練習(xí)鞏固——全概率公式和貝葉斯公式P52-2.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%,次品率為5%;第二批占60%,次品率為4%,將兩批產(chǎn)品混合，從中任取一件.(1)求這件產(chǎn)品是合格品的概率；(2)*已知取到的是合格品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率.=0.4×0.95+0.6×0.96=0.956(2)由貝葉斯公式得(AIB)=P(B)PAPB?)009565≈0937解：記A,="

取

到

第i批的產(chǎn)品"(i=1,2),

記B="

取到的產(chǎn)品為合格品，1

由全概率公式得

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)解：記A?

="甲命中目標(biāo)',A?

="

乙命中目標(biāo)',B="

目標(biāo)至少被命中次",則A?和A?相

互

獨(dú)

立P(B)=1-P(A?A?)=1-P(A)P(A?)=1-0.4×0.5=0.8P(A?B)=P(A?A?UA?A?)=P(A?)P(A?)+P(A?)P(A?)=0.6×0.5+0.6×0.5=0.6練習(xí)鞏固——事件的分解與積事件的計(jì)算P52-3.甲、乙兩人向同一目標(biāo)各射擊1次，已知甲命中目標(biāo)的概率為0.6,乙命中目標(biāo)的概率為0.5,已知目標(biāo)至少被命中1次，求甲命中目標(biāo)的概率.貝P53-7.一批產(chǎn)品共有100件，其中5件為不合格品.收貨方從中不放回地隨機(jī)抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，并按以下規(guī)則判斷是否接受這批產(chǎn)品：如果抽檢的第1件產(chǎn)品不合格，則拒絕整批產(chǎn)品；如果抽檢的第1件產(chǎn)品合格，則再抽1件，如果抽檢的第2件產(chǎn)品合格，則接受整批產(chǎn)品，否則拒絕整批產(chǎn)品.求這批產(chǎn)品被拒絕的概率.練習(xí)鞏固——事件的運(yùn)算與積事件的計(jì)算解：記A,="抽檢的第i件產(chǎn)品不合格'(i=1,2),記B="這批產(chǎn)品被拒絕',∴P(B)=P(A?)+P(A?A?)=P(A?)+P(A)P(A?|A?)則B=A?UA?A?練習(xí)鞏固——全概率公式P53-8.孟德爾豌豆試驗(yàn)中，子二代的基因型為DD,Dd,dd,其中D為顯性基因

，d為隱性基因，且這三種基因型的比為1:2:1.如果在子二代中任意選取

2顆豌豆作為親本進(jìn)行雜交試驗(yàn)，那么子三代中基因型為dd的概率是多大?P(B)=P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)+P(A?)P(B|A?)解：記A?="親

本

選

到Dd,Dd",A?="親

本

選

到dd,dd",A?="親

本

選

到Dd,dd"B="子三代基因型為dd".由全概率公式得P91-7.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1h

,這些人的近視率約為50%,現(xiàn)從

每天玩手機(jī)不超過1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，求他近視的概率.析：即A="選到的一名學(xué)生玩手機(jī)超過1h",B="

選到的一名學(xué)生近視由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)即0.4=0.2×0.5+0.8×P(B|A),解

練習(xí)鞏固——全概率公式P91-10.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率.∴P(A+1)=P(A)P(A+1|A)+P(A)P(A+1IA?)析：設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為

,

考

：n=1時(shí)

，p?=0,即pn+1=Pn

·∵·[變1]甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在乙手中的概率.∴P(Bn+1)=P(Bn)P(Bn+1|B?)+P(Bn)P(Bn+1|Bn)記B

。="n次傳球后球在乙手中，則B?

+=B?

B??

UBB?

+1析：設(shè)n次傳球后球在乙手中的概率為pn,即Pn+1=Pn[變2]甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球

者都等可能地將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率.記A="n次傳球后球在甲手中，則A+1=A,A?+1+A,A?+1∴P(A+1)=P(A,)P(An+1IA)+P(A)P(A+1|A,)析：設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為p,n=1

時(shí)，p?=0,日,

氏*(2023山西二模)甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，設(shè)第n次傳球后球在甲手中的方法數(shù)為an,

在乙手中的方法數(shù)為bn,

則(ABD

)A.an+an-1