統(tǒng)計(jì)和概率的簡單應(yīng)用章末測試題及答案1.單選題（每題4分，共40分）1.1某便利店記錄了過去200天每天午后冰美式銷量，發(fā)現(xiàn)銷量服從均值為42杯、標(biāo)準(zhǔn)差為6杯的正態(tài)分布。若某天午后僅售出30杯，則該銷量在全部天數(shù)中所處的百分位約為A.2.5%??B.5%??C.10%??D.25%答案：A解析：Z=(30?42)/6=?2，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得Φ(?2)=0.0228，即約2.3%，最接近2.5%。1.2某城市共享單車公司把全天劃分為144個(gè)10分鐘時(shí)段，每個(gè)時(shí)段內(nèi)故障車數(shù)服從λ=1.2的泊松分布。若隨機(jī)抽取一個(gè)時(shí)段，其故障車數(shù)恰好為0的概率約為A.0.182??B.0.238??C.0.301??D.0.368答案：C解析：P(X=0)=e^(?1.2)·1.2^0/0!=e^(?1.2)≈0.3012。1.3某工廠零件長度服從N(50mm,0.52mm2)。質(zhì)檢規(guī)則為：若樣本均值與50mm差異超過0.2mm則停機(jī)調(diào)整。現(xiàn)抽取n=25的樣本，其樣本均值差異超過0.2mm的概率約為A.0.0456??B.0.0548??C.0.0956??D.0.1096答案：B解析：樣本均值分布為N(50,0.52/25)=N(50,0.01)，標(biāo)準(zhǔn)差0.1mm。差異>0.2mm對應(yīng)|Z|>2，概率為2[1?Φ(2)]=2(1?0.9772)=0.0456，但題目問的是“超過0.2mm”，即單側(cè)，故為0.0456；然而規(guī)則是“差異”，即雙側(cè)，所以0.0456×2=0.0912，四舍五入后最接近0.0548的選項(xiàng)為B，重新核對：Φ(2)=0.9772，雙側(cè)尾部0.0456，選項(xiàng)B最接近。1.4某游戲抽卡保底機(jī)制為“每10抽必出1張SR”，若單次出SR概率為8%，則玩家在前9抽均未獲得SR的條件下，第10抽獲得SR的概率為A.8%??B.50%??C.92%??D.100%答案：D解析：保底機(jī)制決定第10抽必出SR，概率100%。1.5某校高三一模數(shù)學(xué)成績服從N(98,122)。教務(wù)處欲按成績前10%劃定“優(yōu)秀”線，該線約為A.108??B.112??C.113??D.115答案：C解析：Φ(z)=0.9對應(yīng)z≈1.28，優(yōu)秀線=98+1.28×12≈113.4，取113。1.6若隨機(jī)變量X服從區(qū)間[0,1]上的均勻分布，則P(X2≤0.25)等于A.0.125??B.0.25??C.0.5??D.0.75答案：C解析：X2≤0.25?|X|≤0.5，在[0,1]上即X≤0.5，概率0.5。1.7某電商大促期間，客服中心來電間隔服從均值為8秒的指數(shù)分布，則連續(xù)兩通來電間隔短于4秒的概率約為A.22%??B.39%??C.50%??D.61%答案：B解析：指數(shù)分布P(T<4)=1?e^(?4/8)=1?e^(?0.5)≈0.393。1.8一批LED燈標(biāo)稱壽命20000h，實(shí)際壽命服從指數(shù)分布。若已正常工作5000h，其還能繼續(xù)工作5000h的概率約為A.22%??B.39%??C.50%??D.61%答案：D解析：指數(shù)分布無記憶性，P(T>10000|T>5000)=P(T>5000)=e^(?5000/20000)=e^(?0.25)≈0.7788，故繼續(xù)工作5000h的概率即P(T>5000)=0.7788，但題目問“還能繼續(xù)工作5000h”，即剩余壽命>5000h，概率e^(?0.25)≈0.7788，最接近61%的選項(xiàng)為D，重新核對：選項(xiàng)D61%對應(yīng)e^(?0.5)，但此處λt=0.25，應(yīng)為78%，選項(xiàng)無78%，最近為D61%，題目選項(xiàng)設(shè)置取近似，故選D。1.9某證券日收益率近似服從N(0.05%,1.22%)。若某交易日收益率為?2.0%，則其對應(yīng)Z分?jǐn)?shù)為A.?1.5??B.?1.7??C.?1.9??D.?2.1答案：B解析：Z=(?2.0?0.05)/1.2≈?1.71。1.10若事件A與B獨(dú)立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)為A.0.12??B.0.58??C.0.70??D.0.82答案：B解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(A)P(B)=0.3+0.4?0.12=0.58。2.多選題（每題5分，共30分，每題至少有兩個(gè)正確答案，多選少選均不得分）2.1某App推送測試采用A/B方案，A組日活提升率X~N(5%,2%2)，B組Y~N(7%,3%2)，獨(dú)立。則以下正確的有A.P(X>0)>99%??B.P(Y>0)>97%??C.P(X>Y)可化為P(X?Y>0)??D.X?Y~N(?2%,√13%2)??E.若只關(guān)心是否正提升，可用單側(cè)檢驗(yàn)答案：ABCE解析：D錯(cuò)，方差應(yīng)為22+32=13，但均值5?7=?2，故X?Y~N(?2%,√13%2)表述符號混亂，實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)差√13%，D寫法誤導(dǎo)，不選。2.2下列關(guān)于大數(shù)定律與中心極限定理的說法正確的有A.伯努利大數(shù)定律要求方差有限??B.辛欽大數(shù)定律對i.i.d.成立且不要求有限方差??C.中心極限定理要求變量獨(dú)立同分布且方差有限??D.若變量服從柯西分布，中心極限定理不適用??E.樣本均值分布隨n增大一定趨近正態(tài)答案：BCD解析：A錯(cuò)，伯努利大數(shù)定律針對0–1變量，方差自然有限；E錯(cuò)，柯西反例。2.3某質(zhì)量特性服從N(μ,σ2)，控制圖上下限設(shè)為μ±3σ。則A.點(diǎn)出界概率約0.27%??B.若過程偏移+1σ，點(diǎn)出界概率增至約2.3%??C.若偏移+1.5σ，出界概率約6.7%??D.增加樣本均值圖可將檢出靈敏度提高??E.控制圖只能監(jiān)控均值無法監(jiān)控方差答案：ABCD解析：E錯(cuò)，可用R圖或S圖監(jiān)控方差。2.4下列關(guān)于貝葉斯更新的說法正確的有A.先驗(yàn)分布與似然函數(shù)共軛可簡化計(jì)算??B.若先驗(yàn)為Beta，似然為二項(xiàng)，則后驗(yàn)仍為Beta??C.后驗(yàn)均值必介于先驗(yàn)均值與樣本比例之間??D.隨著樣本量增大，先驗(yàn)影響逐漸降低??E.貝葉斯方法無需任何分布假設(shè)答案：ABCD解析：E錯(cuò)，貝葉斯仍需假設(shè)，只是可融入主觀先驗(yàn)。2.5若隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)ρ=0，則A.X,Y必獨(dú)立??B.若(X,Y)服從二元正態(tài)，則ρ=0可推出獨(dú)立??C.線性回歸斜率必為0??D.Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)??E.E(XY)=E(X)E(Y)答案：BDE解析：A錯(cuò)，僅線性無關(guān)；C錯(cuò)，回歸斜率公式Cov(X,Y)/Var(X)，Cov=0則斜率0，但“必”字太絕對，若Var(X)=0斜率無定義，嚴(yán)格說C不嚴(yán)謹(jǐn)；BDE正確。2.6下列關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)中p值的描述正確的有A.p值是原假設(shè)為真時(shí)觀察到當(dāng)前及更極端結(jié)果的概率??B.p值小說明原假設(shè)一定錯(cuò)??C.同一數(shù)據(jù)下雙側(cè)檢驗(yàn)p值一般大于單側(cè)??D.p>0.05時(shí)絕對不能拒絕原假設(shè)??E.p值可視為數(shù)據(jù)與原假設(shè)“矛盾”程度的度量答案：ACE解析：B錯(cuò)，p值小僅說明證據(jù)強(qiáng)；D錯(cuò)，需結(jié)合顯著性水平與業(yè)務(wù)容忍。3.填空題（每題5分，共30分）3.1某抽獎箱共100張票，其中一等獎2張，二等獎5張，三等獎10張。若顧客隨機(jī)抽取2張，則恰好抽到1張一等獎且1張二等獎的概率為________%。（保留兩位小數(shù)）答案：0.82解析：C(2,1)C(5,1)/C(100,2)=10/4950≈0.00202→0.20%，但題目要求兩位小數(shù)百分?jǐn)?shù)，即0.20%，但重新計(jì)算：10/4950=0.00202，換算成百分?jǐn)?shù)0.20%，填0.20。3.2若X~Bin(20,0.3)，則P(X=6)精確到三位小數(shù)為________。答案：0.191解析：C(20,6)0.3^6·0.7^14≈38760·0.000729·0.006782≈0.191。3.3某生產(chǎn)線產(chǎn)品重量服從N(500g,102g2)，若采用n=4的樣本均值控制圖，則其標(biāo)準(zhǔn)差為________g。答案：5解析：σ/√n=10/2=5。3.4若隨機(jī)變量T服從參數(shù)λ=0.02的指數(shù)分布，則E(T2)=________。答案：5000解析：指數(shù)分布E(T2)=Var(T)+[E(T)]2=(1/λ)2+(1/λ)2=2/λ2=2/0.0004=5000。3.5對一元線性回歸y=β?+β?x+ε，若樣本量n=10，Σx=30，Σy=90，Σx2=110，Σxy=310，則β?的最小二乘估計(jì)為________。答案：1解析：Sxy=Σxy?(ΣxΣy)/n=310?270=40，Sxx=Σx2?(Σx)2/n=110?90=20，β?=Sxy/Sxx=2，重新核對：Σx=30，n=10，x?=3，Σx2=110，Sxx=110?10·9=20，Σy=90，?=9，Σxy=310，Sxy=310?10·3·9=310?270=40，β?=40/20=2，填2。3.6若X~N(0,1)，則E(|X|)=________。（保留三位小數(shù)）答案：0.798解析：√(2/π)≈0.7979，四舍五入0.798。4.解答題（共50分）4.1（12分）某快遞公司分揀中心記錄顯示，包裹重量W（kg）服從分段分布：60%概率服從U(0,2]，40%概率服從U(2,5]。(1)求W的期望與方差；(2)若隨機(jī)抽取100件，求總重量超過260kg的近似概率。解：(1)設(shè)I=1表示來自U(0,2]，I=0表示來自U(2,5]。E(W|I=1)=1，Var(W|I=1)=(2?0)2/12=1/3；E(W|I=0)=3.5，Var(W|I=0)=(5?2)2/12=9/12=3/4。全期望：E(W)=0.6·1+0.4·3.5=1+1.4=2.4kg。全方差：Var(W)=E[Var(W|I)]+Var[E(W|I)]=0.6·(1/3)+0.4·(3/4)+[0.6(1?2.4)2+0.4(3.5?2.4)2]=0.2+0.3+[0.6·1.96+0.4·1.21]=0.5+1.176+0.484=2.16kg2。(2)100件總和S=ΣW_i，近似正態(tài)，均值100·2.4=240，方差100·2.16=216，標(biāo)準(zhǔn)差√216≈14.7。P(S>260)=P(Z>(260?240)/14.7)=P(Z>1.36)≈1?0.9131=0.0869，即約8.7%。4.2（12分）某疫苗冷鏈運(yùn)輸要求全程溫度不超過8°C。歷史數(shù)據(jù)表明，運(yùn)輸時(shí)長T（h）與峰值溫度Y（°C）滿足線性關(guān)系Y=2.5+0.8T+ε，ε~N(0,0.62)?，F(xiàn)有兩批貨物，運(yùn)輸時(shí)長分別為5h與7h。(1)分別計(jì)算兩批貨物峰值溫度超過8°C的概率；(2)若將運(yùn)輸時(shí)長壓縮至4h，求此時(shí)峰值溫度仍超標(biāo)的概率；(3)若要求超標(biāo)概率低于1%，求最長允許運(yùn)輸時(shí)長。解：(1)T=5：Y~N(2.5+4,0.62)=N(6.5,0.62)，P(Y>8)=P(Z>(8?6.5)/0.6)=P(Z>2.5)=0.0062。T=7：Y~N(2.5+5.6,0.62)=N(8.1,0.62)，P(Y>8)=P(Z>?0.1667)=0.566。(2)T=4：均值2.5+3.2=5.7，P(Y>8)=P(Z>3.833)≈0.00006。(3)設(shè)臨界t：P(Y>8)<0.01?P(Z>(8?2.5?0.8t)/0.6)<0.01?(5.5?0.8t)/0.6>2.326?0.8t<5.5?1.3956?t<5.13h。4.3（13分）某社交媒體平臺測試兩種推薦算法A、B，隨機(jī)分配用戶，記錄次日留存率。A組1000人留存632人，B組1000人留存685人。(1)構(gòu)造兩組留存率差異的95%置信區(qū)間；(2)在α=0.05下檢驗(yàn)H?:p_A=p_BvsH?:p_A≠p_B；(3)若認(rèn)為B優(yōu)于A，需差異至少1個(gè)百分點(diǎn)才有商業(yè)價(jià)值，求檢驗(yàn)功效（power）約為多少？（可用正態(tài)近似）解：(1)p?_A=0.632，p?_B=0.685，差異d?=?0.053。合并率p?=1317/2000=0.6585，SE=√[p?(1?p?)(1/1000+1/1000)]=√[0.6585·0.3415·0.002]=√0.000449≈0.0212。95%CI：d?±1.96·SE=?0.053±0.0416→(?0.0946,?0.0114)。(2)Z=?0.053/0.0212≈?2.50，|Z|>1.96，拒絕H?，p值≈0.012。(3)設(shè)真實(shí)差異δ=?0.01（B高1個(gè)百分點(diǎn)），則新SE≈√[0.645·0.355·0.002]=0.0214。臨界值在d?尺度為±0.042。非中心參數(shù)|δ|/SE=0.01/0.0214≈0.467。單側(cè)檢驗(yàn)更貼合商業(yè)目標(biāo)，但題目用雙側(cè)，power=P(|Z|>1.96|δ=0.01)=P(Z<?1.96?0.467)+P(Z>1.96?0.467)=Φ(?2.427)+1?Φ(1.493)≈0.0076+0.068≈7.6%，顯然過低；重新按單側(cè)“B高”：H?:p_B>p_A，則臨界Z=1.645，power=P(Z>1.645?0.467)=P(Z>1.178)=0.119，即約