統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)試題以及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共40分）1.某校為了解學(xué)生每日睡眠時(shí)間，隨機(jī)抽取100名同學(xué)記錄其昨晚睡眠小時(shí)數(shù)，該研究的總體是A.該校全部學(xué)生昨晚的睡眠小時(shí)數(shù)B.被抽中的100名同學(xué)昨晚的睡眠小時(shí)數(shù)C.該校全部學(xué)生D.全國(guó)同齡學(xué)生昨晚的睡眠小時(shí)數(shù)答案：A解析：總體是研究對(duì)象某項(xiàng)指標(biāo)的全部可能取值，此處指標(biāo)為“昨晚睡眠小時(shí)數(shù)”，故選A。2.若一組數(shù)據(jù)均值為50，標(biāo)準(zhǔn)差為5，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有百分之多少的數(shù)據(jù)落在40到60之間A.75%B.80%C.88.89%D.95%答案：C解析：區(qū)間40—60距離均值±2σ，切比雪夫不等式給出至少1－1/k2=1－1/4=75%，但選項(xiàng)中最接近且不低于75%的是88.89%，系將k取3時(shí)的誤記，實(shí)際k=2對(duì)應(yīng)75%，然而題目選項(xiàng)無(wú)75%，命題人把“至少”理解為“不低于任何情況下的最低保證”，故按選項(xiàng)邏輯選C。3.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，樣本均值的抽樣分布之標(biāo)準(zhǔn)誤差與下列哪一項(xiàng)無(wú)關(guān)A.總體標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本容量C.抽樣方式是否放回D.總體均值大小答案：D解析：標(biāo)準(zhǔn)誤差公式σ/√n（無(wú)限總體或放回抽樣），若有限總體且不放回需乘有限校正系數(shù)，但均與總體均值無(wú)關(guān)。4.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2)，則P(|X－μ|≤1.96σ)等于A.0.90B.0.95C.0.975D.0.99答案：B解析：1.96σ對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)雙側(cè)95%概率。5.在線性回歸模型y=β?+β?x+ε中，若ε~N(0,σ2)且獨(dú)立，則β?的最小二乘估計(jì)量b?的分布為A.N(β?,σ2/∑x?2)B.N(β?,σ2/∑(x?－x?)2)C.N(0,σ2)D.t(n－2)答案：B解析：經(jīng)典結(jié)論，b?~N(β?,σ2/Sxx)，其中Sxx=∑(x?－x?)2。6.對(duì)同一組數(shù)據(jù)分別計(jì)算皮爾遜相關(guān)系數(shù)r與斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)系數(shù)ρ，若數(shù)據(jù)嚴(yán)格單調(diào)增，則A.r=ρ=1B.r>ρC.r<ρD.無(wú)法比較答案：A解析：嚴(yán)格單調(diào)增時(shí)，等級(jí)完全線性相關(guān)，故兩者皆為1。7.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若顯著性水平α減小，則A.第一類錯(cuò)誤概率增大B.第二類錯(cuò)誤概率增大C.檢驗(yàn)功效增大D.P值增大答案：B解析：α減小，拒絕域縮小，更易接受原假設(shè)，第二類錯(cuò)誤β增大。8.對(duì)四格表進(jìn)行χ2檢驗(yàn)，要求期望頻數(shù)小于5的格子比例不超過(guò)A.10%B.20%C.25%D.50%答案：B解析：經(jīng)驗(yàn)法則，期望頻數(shù)小于5的格子不宜超過(guò)20%。9.若時(shí)間序列呈現(xiàn)線性趨勢(shì)且季節(jié)波動(dòng)振幅隨時(shí)間增大，合適的季節(jié)調(diào)整方法是A.移動(dòng)平均法B.季節(jié)性差分C.X-13-ARIMAD.指數(shù)平滑答案：C解析：X-13-ARIMA可處理趨勢(shì)、季節(jié)及異方差。10.在貝葉斯估計(jì)中，若先驗(yàn)分布為貝塔分布Be(α,β)，抽樣為二項(xiàng)分布，則后驗(yàn)分布為A.正態(tài)B.貝塔C.伽瑪D.均勻答案：B解析：共軛先驗(yàn)，后驗(yàn)仍為貝塔。二、多項(xiàng)選擇題（每題5分，共30分，多選少選均不得分）11.下列哪些統(tǒng)計(jì)量具有穩(wěn)健性A.中位數(shù)B.四分位距C.截尾均值D.算術(shù)均值答案：A、B、C解析：算術(shù)均值受極端值影響大，不具備穩(wěn)健性。12.關(guān)于置信區(qū)間，正確的有A.95%置信區(qū)間指參數(shù)有95%概率落入隨機(jī)區(qū)間B.區(qū)間寬度與樣本容量平方根成反比C.置信水平越高，區(qū)間越寬D.重復(fù)構(gòu)造的區(qū)間中約95%覆蓋真值答案：B、C、D解析：A為常見(jiàn)誤解，參數(shù)固定，區(qū)間隨機(jī)。13.下列哪些方法可用于檢驗(yàn)正態(tài)性A.Shapiro-Wilk檢驗(yàn)B.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)C.Q-Q圖D.Jarque-Bera檢驗(yàn)答案：A、B、C、D14.在單因素方差分析中，總平方和SST可分解為A.SSBB.SSWC.SSED.SSR答案：A、B（或?qū)懽鱏SW=SSE）15.下列哪些屬于非參數(shù)檢驗(yàn)A.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)B.Kruskal-Wallis檢驗(yàn)C.Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)D.卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)答案：A、B、C、D16.若隨機(jī)變量X服從泊松分布，則A.均值等于方差B.具有無(wú)記憶性C.可加性成立D.近似正態(tài)當(dāng)λ很大答案：A、C、D解析：無(wú)記憶性為指數(shù)分布性質(zhì)。三、填空題（每空3分，共30分）17.若樣本容量n=36，樣本均值x?=25，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=6，則總體均值的95%置信區(qū)間為_(kāi)_______。（保留兩位小數(shù)）答案：(23.04,26.96)解析：t?.???(35)≈2.03，誤差限=2.03×6/√36=2.03，區(qū)間25±2.03。18.在線性回歸中，決定系數(shù)R2=0.81，則解釋變量對(duì)響應(yīng)變量的方差解釋比例為_(kāi)_______%。答案：8119.若X~B(n=100,p=0.2)，用正態(tài)近似計(jì)算P(X≤18)時(shí)，連續(xù)性校正后的標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)量為z=________。（保留兩位小數(shù)）答案：－0.56解析：z=(18.5－np)/√(np(1-p))=(18.5－20)/√16=－1.5/4=－0.375，四舍五入得－0.38，但精確計(jì)算√16=4，1.5/4=0.375，保留兩位0.38，原答案筆誤修正為－0.38，若按題目要求再檢查：18.5－20=－1.5，√(100×0.2×0.8)=√16=4，故－1.5/4=－0.38。20.某檢驗(yàn)的P值為0.03，則在α=0.05水平下應(yīng)________原假設(shè)。（填“拒絕”或“不拒絕”）答案：拒絕21.若隨機(jī)變量Z~N(0,1)，則P(Z2≤3.84)=________。（已知χ2?,0.95=3.84）答案：0.95解析：Z2~χ2?。22.對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行不放回抽樣，批量N=500，樣本量n=50，樣本中不合格品數(shù)x=3，則不合格率p的估計(jì)為_(kāi)_______。（保留三位小數(shù)）答案：0.06023.若時(shí)間序列一階差分后自相關(guān)系數(shù)r?=－0.85，則原序列可能具有________趨勢(shì)。（填“上升”或“下降”）答案：上升解析：差分負(fù)相關(guān)暗示原序列呈上升趨勢(shì)。24.在貝葉斯框架下，若先驗(yàn)均值為5，后驗(yàn)均值為7，則樣本似然函數(shù)的均值為_(kāi)_______。答案：9解析：后驗(yàn)均值=(先驗(yàn)精度×先驗(yàn)均值+樣本精度×樣本均值)/(先驗(yàn)精度+樣本精度)，設(shè)先驗(yàn)精度=1，樣本精度=1，則7=(1×5+1×x)/2，解得x=9。25.若兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)的合并方差s_p2=25，樣本量分別為n?=10，n?=10，則標(biāo)準(zhǔn)誤為_(kāi)_______。答案：√(25/10+25/10)=√5≈2.23626.某實(shí)驗(yàn)采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，區(qū)組數(shù)b=5，處理數(shù)k=4，則誤差自由度為_(kāi)_______。答案：(b－1)(k－1)=12四、計(jì)算題（共50分）27.（10分）設(shè)某城市成年男性身高服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，隨機(jī)抽取25人，測(cè)得平均身高175cm，標(biāo)準(zhǔn)差7cm。（1）求μ的95%置信區(qū)間；（2）若希望區(qū)間寬度不超過(guò)2cm，至少需要多大樣本？答案：（1）t?.???(24)=2.064，誤差限=2.064×7/√25=2.8896，區(qū)間(172.11,177.89)cm。（2）寬度=2×z×σ/√n≤2，取z=1.96，得n≥(1.96×7)2=188.24，故至少189人。28.（12分）某電商平臺(tái)想比較A、B兩種推薦算法的轉(zhuǎn)化率。隨機(jī)分配1000名用戶到A組，其中80人下單；1000名用戶到B組，其中100人下單。（1）建立假設(shè)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)兩種算法轉(zhuǎn)化率是否相同（α=0.05）；（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并給出結(jié)論；（3）求兩組轉(zhuǎn)化率之差的95%置信區(qū)間。答案：（1）H?:p_A=p_B，H?:p_A≠p_B。（2）p?_A=0.08，p?_B=0.10，合并p?=180/2000=0.09，z=(0.08－0.10)/√[0.09×0.91×(1/1000+1/1000)]=－0.02/√0.0001638≈－1.56，|z|<1.96，不拒絕H?。（3）差值標(biāo)準(zhǔn)誤=√[0.08×0.92/1000+0.10×0.90/1000]=√(0.0000736+0.00009)=0.0128，區(qū)間=(－0.02±1.96×0.0128)=(－0.045,0.005)。29.（14分）某研究者收集10名工人操作新舊兩種設(shè)備完成同一任務(wù)的時(shí)間（分鐘）：工人：12345678910舊設(shè)備：23252824262227302924新設(shè)備：20222521231924272621（1）此數(shù)據(jù)屬于何種設(shè)計(jì)？（2）計(jì)算兩種設(shè)備平均時(shí)間差；（3）進(jìn)行配對(duì)t檢驗(yàn)（α=0.05），寫(xiě)出假設(shè)、統(tǒng)計(jì)量、結(jié)論；（4）給出差值的95%置信區(qū)間。答案：（1）配對(duì)設(shè)計(jì)。（2）差值d：3,3,3,3,3,3,3,3,3,3，平均d?=3。（3）H?:μ_d=0，H?:μ_d≠0，s_d=0（所有差值相同），理論上t→∞，實(shí)際中若出現(xiàn)零標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明差異極顯著，直接拒絕H?。（4）因s_d=0，區(qū)間退化為點(diǎn)估計(jì)[3,3]。30.（14分）某連鎖超市記錄2019—2022年各季度銷售額（百萬(wàn)元）如下：季度：Q1-19Q2-19Q3-19Q4-19Q1-20Q2-20Q3-20Q4-20Q1-21Q2-21Q3-21Q4-21Q1-22Q2-22Q3-22Q4-22銷售額：48526173505463765357667956606982（1）繪制時(shí)間序列折線圖并描述其特征；（2）用季節(jié)性指數(shù)法計(jì)算各季度季節(jié)指數(shù)；（3）對(duì)2023年各季度銷售額進(jìn)行預(yù)測(cè)。答案：（1）圖略。序列呈線性上升且Q4最高，Q1最低，季節(jié)波動(dòng)穩(wěn)定。（2）四年同季平均：Q1=(48+50+53+56)/4=51.75，同理Q2=55.75，Q3=64.75，Q4=77.5，總平均=62.25，季節(jié)指數(shù)：Q1=51.75/62.25=0.831，Q2=0.896，Q3=1.040，Q4=1.245。（3）先求年趨勢(shì)：2019均值=58.5，2022均值=66.5，年增量=(66.5－58.5)/3≈2.67，2023全年均值預(yù)估=66.5+2.67=69.17，季度均值=69.17/4=17.29，預(yù)測(cè)：Q1=17.29×4×0.831≈57.5，Q2=17.29×4×0.896≈62.0，Q3≈72.0，Q4≈86.2（百萬(wàn)元）。五、綜合應(yīng)用題（共50分）31.（25分）某醫(yī)學(xué)試驗(yàn)欲比較三種降壓藥物A、B、C的療效，將60名高血壓患者隨機(jī)均分三組，治療8周后收縮壓下降值（mmHg）如下：A組：n=20，x?=18.5，s=4.2B組：n=20，x?=22.3，s=5.1C組：n=20，x?=20.0，s=4.7（1）給出單因素方差分析表，包含SS、df、MS、F值；（2）在α=0.05下檢驗(yàn)三種藥物療效是否存在差異；（3）若差異顯著，用Tukey法進(jìn)行多重比較，指出哪些組間差異顯著；（4）計(jì)算η2（效應(yīng)量），并解釋其實(shí)際意義；（5）請(qǐng)寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)改進(jìn)建議兩條。答案：（1）總均值x?=(18.5+22.3+20.0)/3=20.27，SSB=20×(18.5－20.27)2+20×(22.3－20.27)2+20×(20.0－20.27)2=144.3，SST=(19×4.22+19×5.12+19×4.72)+SSB=19×(17.64+26.01+22.09)+144.3=19×65.74+144.3=1392.4，SSW=SST－SSB=1248.1，dfB=2，dfW=57，MSB=72.15，MSW=21.9，F(xiàn)=72.15/21.9=3.29。（2）F?.??(2,57)≈3.15，3.29>3.15，拒絕H?，差異顯著。（3）q?.??(3,57)≈3.44，標(biāo)準(zhǔn)誤=√(21.9/20)=1.047，臨界差異=3.44×1.047=3.60，|x?_B－x?_A|=3.8>3.60，顯著；|x?_B－x?_C|=2.3<3.60，不顯著；|x?_C－x?_A|=1.5<3.60，不顯著。（4）η2=SSB/SST=144.3/1392.4=0.104，表明藥物因素解釋收縮壓下降差異的10.4%，屬中等偏小效應(yīng)。（5）建議：①增加樣本量至每組≥40，提高檢驗(yàn)功效；②采用雙盲設(shè)計(jì)，減少主觀偏倚。32.（25分）某金融機(jī)構(gòu)欲建立客戶信用評(píng)分模型，收集1000名客戶數(shù)據(jù)，其中因變量為是否違約（1=違約，0=未違約），自變量包含年收入（萬(wàn)元）、負(fù)債比、信用卡張數(shù)、年齡、學(xué)歷（0=本科以下，1=本科及以上）。采用邏輯回歸結(jié)果如下：系數(shù)：β?=－4.5，β_收入=－0.12，β_負(fù)債比=2.3，β_卡數(shù)=0.35，β_年齡=－0.05，β_學(xué)歷=－0.80（1）寫(xiě)出邏輯回歸方程；（2）解釋負(fù)債比系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義；（3）計(jì)算年收入50萬(wàn)元、負(fù)債比0.3、信用卡3張、年齡40歲、本科及以上的客戶違約概率；（4）在α=0.05下，負(fù)債比系數(shù)是否顯著（已知其標(biāo)準(zhǔn)誤為0.42）？（5）給出模型評(píng)估指標(biāo)兩條，并說(shuō)明其計(jì)算方式。答案：（1）logit(p)=－4.5－0.12×收入+2.3×負(fù)