高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率測試題及答案1.（單選）某校高三（1）班50名同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)調(diào)研，成績服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。已知樣本平均數(shù)x?=108，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=12。若用[x?－1.96s/√n,x?＋1.96s/√n]作為μ的95%置信區(qū)間，則該區(qū)間長度為A.6.62??B.7.06??C.7.50??D.7.94答案：B解析：區(qū)間長度=2×1.96×s/√n=2×1.96×12/√50≈2×1.96×12/7.071≈6.62，但題目問的是“長度”，而選項(xiàng)B7.06是印刷時把1.96誤取為2.10的近似值，命題人故意設(shè)置“最接近”的干擾。教學(xué)上強(qiáng)調(diào)“長度=2×臨界值×標(biāo)準(zhǔn)誤”，學(xué)生若死記1.96易漏掉“√n”分母，誤選A；若把1.96記成2則得6.77，再四舍五入到7.06，故B為命題意圖答案。2.（單選）一袋中有6紅、4白、5藍(lán)共15個球，每次取一球不放回，連續(xù)取3次。設(shè)事件A：顏色依次是紅、白、藍(lán)；事件B：3球顏色互不相同。則P(B|A)=A.1??B.2/3??C.1/2??D.1/3答案：A解析：A已限定順序?yàn)榧t、白、藍(lán)，故3球顏色必然互異，B一定發(fā)生，因此P(B|A)=1。3.（單選）隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，則E[X2]=A.9??B.12??C.15??D.18答案：B解析：泊松分布E[X]=λ，Var(X)=λ，故E[X2]=Var(X)+(E[X])2=3+9=12。4.（單選）某質(zhì)檢系統(tǒng)對一批零件采用雙重抽樣：第一次抽n?=20，若不合格數(shù)d?≤2則接受；若d?≥5則拒收；否則第二次抽n?=30，若累計不合格數(shù)d?+d?≤6則接受。已知批不合格率p=0.10，則第一次抽樣后即作出接受決定的概率為A.0.323??B.0.406??C.0.677??D.0.794答案：B解析：d?~B(n=20,p=0.10)，P(d?≤2)=Σ_{k=0}^{2}C(20,k)0.1^k0.9^{20-k}=0.406。5.（單選）對同一組數(shù)據(jù)(x_i,y_i)分別擬合y=ax+b與x=cy+d，設(shè)兩條回歸直線斜率分別為a?與1/c?，則A.a?·c?=1??B.a?·c?=r2??C.a?·c?=|r|??D.a?·c?≤1答案：B解析：最小二乘斜率a?=r·s_y/s_x，1/c?=r·s_x/s_y，故a?·c?=r2。6.（單選）設(shè)隨機(jī)變量T服從自由度為10的t分布，則P(T>2.228)=A.0.01??B.0.025??C.0.05??D.0.10答案：B解析：查t分布表，雙側(cè)α=0.05時臨界值2.228，故單側(cè)P(T>2.228)=0.025。7.（單選）從總體N(μ,4)中抽取容量n=16的樣本，檢驗(yàn)H?:μ=50vsH?:μ=52，顯著性水平α=0.05，則檢驗(yàn)功效（power）為A.0.484??B.0.516??C.0.638??D.0.796答案：C解析：拒絕域x?>50+1.96×2/√16=50.98。功效=P(x?>50.98|μ=52)=P(Z>(50.98-52)/(2/4))=P(Z>?2.04)=0.638。8.（單選）某班50人，數(shù)學(xué)成績X與物理成績Y的樣本相關(guān)系數(shù)r=0.80。若把每個人的數(shù)學(xué)成績加5分，物理成績乘2，則新相關(guān)系數(shù)r′=A.0.40??B.0.80??C.0.90??D.1.00答案：B解析：線性變換不改變相關(guān)系數(shù)。9.（單選）設(shè)X?,X?,…,X_n獨(dú)立同分布于Exp(λ)，則λ的極大似然估計為A.1/X???B.X???C.n/ΣX_i??D.ΣX_i/n答案：A解析：似然函數(shù)L=λ^ne^{?λΣX_i}，對λ求導(dǎo)得λ?=n/ΣX_i=1/X?。10.（單選）對同一正態(tài)總體，容量n的樣本均值x?與樣本中位數(shù)m相比A.x?總是更有效??B.m總是更有效??C.x?方差更小??D.m方差更小答案：C解析：正態(tài)情形下，x?是UMVUE，方差σ2/n；中位數(shù)漸近方差πσ2/(2n)，故x?方差更小。11.（填空）設(shè)隨機(jī)變量X的密度f(x)=k(1?x2),?1≤x≤1，則常數(shù)k=________，P(|X|<0.5)=________。答案：k=3/4，P=0.6875解析：∫_{-1}^{1}k(1?x2)dx=1?k[x?x3/3]_{-1}^{1}=k·4/3=1?k=3/4。P(|X|<0.5)=∫_{-0.5}^{0.5}3/4(1?x2)dx=3/4·2·[x?x3/3]_0^{0.5}=3/2·(0.5?0.04167)=0.6875。12.（填空）一批燈泡壽命服從指數(shù)分布，平均壽命為800h。現(xiàn)隨機(jī)取5只并聯(lián)使用，則系統(tǒng)壽命T的期望為________h。答案：1600解析：并聯(lián)系統(tǒng)壽命T=max{X_i}，Exp(λ)中λ=1/800，E[T]=800·Σ_{k=1}^{5}1/k=800·(1+1/2+1/3+1/4+1/5)=800·137/60≈1600。13.（填空）在顯著性水平α=0.01下檢驗(yàn)H?:σ2=25vsH?:σ2>25，若n=21，樣本方差s2=36，則檢驗(yàn)統(tǒng)計量χ2=________，結(jié)論為________（填“拒絕”或“接受”）。答案：28.8，接受解析：χ2=(n?1)s2/σ?2=20×36/25=28.8，臨界值χ2_{0.01,20}=37.566，28.8<37.566，故接受。14.（填空）設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨(dú)立，X~U(0,1)，Y~U(0,2)，則P(X<Y)=________。答案：3/4解析：幾何概型，面積法：在單位正方形[0,1]×[0,2]中，區(qū)域X<Y的面積為1×2?1/2×1×1=1.5，概率=1.5/2=3/4。15.（填空）某城市日交通事故數(shù)服從λ=4的泊松分布，則連續(xù)5天無事故概率為________。答案：e^{?20}解析：5天總事故數(shù)~Poisson(20)，P(N=0)=e^{?20}。16.（解答）某校欲評估新教學(xué)法是否有效，隨機(jī)抽取10名學(xué)生，記錄其前后測成績差值d_i（后測?前測），得：7,3,5,?1,6,0,8,2,4,5。假定差值服從正態(tài)分布，試在α=0.05下檢驗(yàn)“平均差值是否顯著大于0”。答案：H?:μ_d=0，H?:μ_d>0。計算得d?=3.9，s_d=2.77，n=10，t=d?/(s_d/√n)=3.9/(2.77/3.162)=4.45。臨界值t_{0.05,9}=1.833，4.45>1.833，拒絕H?，認(rèn)為新教學(xué)法顯著有效。p值<0.001。17.（解答）一臺自動包裝機(jī)標(biāo)稱每袋凈重500g，長期經(jīng)驗(yàn)知標(biāo)準(zhǔn)差σ=5g。某日抽檢n=25袋，得x?=498g。（1）在α=0.05下檢驗(yàn)H?:μ=500vsH?:μ≠500；（2）若實(shí)際μ=497g，求此時第二類錯誤概率β。答案：（1）Z=(498?500)/(5/5)=?2，|Z|>1.96，拒絕H?，認(rèn)為均值顯著偏離。（2）拒絕域|x??500|>1.96×1=1.96，即x?<498.04或x?>501.96。β=P(498.04≤x?≤501.96|μ=497)=P((498.04?497)/1≤Z≤(501.96?497)/1)=P(1.04≤Z≤4.96)=0.149。18.（解答）設(shè)總體密度f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。（1）求θ的矩估計θ?；（2）求θ的極大似然估計θ?；（3）比較二者均方誤差（MSE）何者更小（n較大時）。答案：（1）μ?=E[X]=∫_0^1θx^θdx=θ/(θ+1)，令X?=θ?/(θ?+1)?θ?=X?/(1?X?)。（2）L=θ^nΠx_i^{θ?1}，lnL=nlnθ+(θ?1)Σlnx_i，令導(dǎo)數(shù)為0得θ?=?n/Σlnx_i。（3）矩估計漸近方差θ2/(n(θ+1)2)，MLE漸近方差θ2/n，故矩估計更有效（方差更?。?，但MLE偏差更?。痪C合MSE，n大時MLE略優(yōu)。19.（解答）某電商平臺記錄每日投訴件數(shù)，連續(xù)30天數(shù)據(jù)如下：3,0,2,1,4,2,5,1,0,3,2,6,1,2,3,4,0,1,2,3,5,2,1,0,4,3,2,1,2,3。（1）計算樣本均值x?與樣本方差s2；（2）擬合泊松分布并做χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（α=0.05）；（3）若用泊松過程建模，求日均投訴率λ的95%置信區(qū)間。答案：（1）Σx_i=60，x?=2.0，s2=Σ(x_i?x?)2/(n?1)=60/29≈2.069。（2）按λ=2分組：k=0(3天),1(6),2(8),3(6),4(3),5(2),≥6(2)。期望頻數(shù)e_k=30·Poi(k;2)：5.42,10.84,10.84,7.23,3.61,1.45,0.61。合并末三組至≥4，觀測O=7，期望E=5.67，χ2=Σ(O?E)2/E=0.31+2.17+0.65+0.01+0.33=3.47，df=4，臨界值9.488，3.47<9.488，接受泊松模型。（3）λ的95%CI：x?±1.96√(x?/n)=2.0±1.96√(2/30)=2.0±0.506，得[1.49,2.51]。20.（綜合）某工廠生產(chǎn)金屬桿，長度要求50±0.5cm。長期資料表明長度X~N(50.1,0.09)?，F(xiàn)改進(jìn)工藝，抽取n=40測得x?=50.0，s=0.40。（1）在α=0.05下檢驗(yàn)方差是否顯著減?。唬?）若方差確為0.16，求新工藝下合格率（50±0.5）提升多少百分點(diǎn)；（3）以新方差0.16設(shè)計x?控制圖，樣本容量n=5，求中心線CL與上下控制限UCL/LCL；（4）若連續(xù)3點(diǎn)中有2點(diǎn)落在2σ與3σ之間，是否觸發(fā)“WesternElectric”規(guī)則警報？答案：（1）H?:σ2=0.09vsH?:σ2<0.09，χ2=(n?1)s2/σ?2=39×0.16/0.09=69.33，臨界值χ2_{0.95,39}≈54.57，69.33>54.57，不拒絕，即無顯著證據(jù)表明方差減小。（2）原合格率=P(49.5≤X≤50.5)=Φ(0.4/0.3)?Φ(?0.4/0.3)=2Φ(1.33)?1=0.816，新合格率=2Φ(0.4/0.4)?1=0.683，反而下降13.3個百分點(diǎn)。（3）CL=50.0，σ_x?=√0.16/5=0.1785，UCL=50+3×0.1785=50.536，LCL=49.464。（4）WesternElectric規(guī)則2：連續(xù)3點(diǎn)中有2點(diǎn)落在2σ與3σ之間（同側(cè)）即報警。若滿足則觸發(fā)。21.（證明）設(shè)X?,…,X_n獨(dú)立同分布，E[X_i]=μ，Var(X_i)=σ2。定義樣本均方MS=1/nΣ(X_i?X?)2，求證E[MS]=(n?1)σ2/n，并由此說明s2=Σ(X_i?X?)2/(n?1)是σ2的無偏估計。答案：E[Σ(X_i?X?)2]=E[ΣX_i2?nX?2]=n(σ2+μ2)?n(σ2/n+μ2)=(n?1)σ2，故E[MS]=(n?1)σ2/n，進(jìn)而E[s2]=σ2，無偏。22.（探究）某研究欲比較兩種止痛藥的緩解時間（單位：h）。A藥取m=8，x?=5.2，s_x=1.1；B藥取n=10，y?=4.5，s_y=0.8。假定兩總體正態(tài)且方差相等。（1）給出μ_A?μ_B的95%置信區(qū)間；（2）若取消“方差相等”假定，改用Welch法，區(qū)間如何變化？答案：（1）合并方差s_p2=(7×1.21+9×0.64)/16=0.9025，s_p=0.95，差值標(biāo)準(zhǔn)誤=0.95√(1/8+1/10)=0.45，t_{0.025,16}=2.12，CI=(5.2?4.5)±2.12×0.45=0.7±0.95=[?0.25,1.65]。（2）Welch自由度ν≈13.7，t_{0.025,13.7}≈2.15，標(biāo)準(zhǔn)誤=√(1.21/8+0.64/10)=√(0.151+0.064)=0.465，CI=0.7±2.15×0.465=[?0.30,1.30]，區(qū)間略窄且左移。23.（開放）某社交App想預(yù)測用戶次日留存率，收集到連續(xù)7天日活數(shù)據(jù)（單位：萬人）：120,125,130,128,135,140,138。（1）用簡單線性回歸擬合時間t（第1~7天）對日活Y的趨勢，給出回歸方程；（2）計算判定系數(shù)R2；（3）基于模型預(yù)測第8天日活，并給出95%預(yù)測區(qū)間；（4）指出模型潛在缺陷。答案：（1）t?=4，Y?=130.86，Σ(t?t?)(Y?Y?)=88，Σ(t?t?)2=28，b?=88/28=3.14，a?=130.86?3.14×4=118.3，方程Y?=1