核心素養(yǎng)測評(時間:45分鐘分值:90分)【基礎過關練】一、單選題1.(5分)設u=(-5,2,t),v=(6,-5,4)分別是平面α,β的法向量.若α⊥β,則t= ()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選D.由已知條件可得u·v=(-5)×6+2×(-5)+4t=0,解得t=10.2.(5分)已知平面α內(nèi)有一個點A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點P中,在平面α內(nèi)的是 ()A.(1,-1,1) B.1,3,32 【解析】選B.由題意可知符合條件的點P應滿足·n=0,選項A,=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),·n=3×1+1×0+2×1=5≠0,故不在平面α內(nèi);同理可得:選項B,=(1,-4,12),·n=0,故在平面α內(nèi);選項C,=(1,2,12),·n=6≠0,故不在平面α內(nèi);選項D,=(3,-4,72),·n=12≠0,故不在平面α內(nèi).3.(5分)已知直線l的一個方向向量為m=(x,2,-5),平面α的一個法向量為n=(3,-1,2),若l∥α,則x等于 ()A.-6 B.6 C.-4 D.4【解析】選D.若l∥α,則m⊥n,從而m·n=0,即3x-2-10=0,解得x=4.4.(5分)已知A(3,2,0),B(0,4,0),C(3,0,2),則平面ABC的一個法向量的坐標是 ()A.(1,1,1) B.(2,2,3) C.(2,3,3) D.(33,-33,【解析】選C.由題可知=(-3,2,0),=(0,-2,2).設n=(x,y,z)是平面ABC的法向量,則即-3可得x=顯然(1,1,1),(2,2,3),(33,-33,33)不是平面ABC的法向量的坐標,(2,3,3)是平面ABC5.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,E為AB的中點,F為線段BB1上的一點,且A1C⊥EF,則B1FFB=A.10 B.12 C.15 D.20【解析】選C.取A1B1的中點E1,連接EE1,EC,易知EC,EB,EE1兩兩垂直,以E為坐標原點,EC,EB,EE1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.則E(0,0,0),C(32,0,0)A1(0,-12,2),=(32,12,-2設F(0,12,λ)(0≤λ≤2),則=(0,12,λ)由A1C⊥EF,得·=14-2λ=0,解得λ=18,故B1FFB=二、多選題6.(5分)已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點,且=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),則 ()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的法向量D.∥【解析】選ABC.因為·=(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=0,·=(4,2,0)·(-1,2,-1)=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,則選項A,B正確.又與不平行,所以是平面ABCD的法向量,則選項C正確.由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以與不平行,故選項D錯誤.7.(5分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BB1的中點,F為A1D1的中點,如圖所示建立空間直角坐標系,則下列說法正確的有()A.DB1=32B.向量與所成角的余弦值為155C.平面AEF的一個法向量是(4,-1,2)D.A1D⊥BD1【解析】選BCD.根據(jù)空間直角坐標系D-xyz,可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),由于E為BB1的中點,F為A1D1的中點,所以E(2,2,1),F(1,0,2),故DB1=||=22+22+22=2對于B,因為=(0,2,1),=(-2,2,2),所以||=5,||=23,故cos<,>==4+25×23=155,故B正確對于C,設平面AEF的法向量為n=(x,y,z),因為=(0,2,1),=(-1,0,2),所以,整理得y=-12zx=2z,令x=4,可得y=-1,z=2,對于D,由于=(-2,0,-2),=(-2,-2,2),故·=0,故A1D⊥BD1,故D正確.【加練備選】(多選題)以下命題正確的是 ()A.直線l的方向向量為a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),則l⊥mB.直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),則l⊥αC.兩個不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),則α∥βD.平面α經(jīng)過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,則u+t=1【解析】選CD.直線l的方向向量a=(1,-1,2),直線m的方向向量b=(1,2,1),a·b=(1,-1,2)·(1,2,1)=1,則l與m不垂直,所以A不正確;直線l的方向向量a=(0,1,-1),平面α的法向量n=(1,-1,-1),a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0,則l∥α或l?α,所以B不正確;兩個不同平面α,β的法向量分別為n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),n1=-12n2=(2,-1,0),則α∥β,所以C正確平面α經(jīng)過三點A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,可得,則u+t=1,所以D正確.三、填空題8.(5分)已知平面α內(nèi)的三點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個平面α與β的位置關系是______________.

【解析】=(0,1,-1),=(1,0,-1).設平面α的法向量為m=(x,y,z),m·=0,得x·0+y-z=0,即y=z,由m·=0,得x-z=0,即x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β.答案:α∥β9.(5分)已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則x+y+z=________.

【解析】因為⊥,所以·=3+5-2z=0,所以z=4,所以=(3,1,4),又因為BP⊥平面ABC,AB,BC?平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,所以,解得x=40因此x+y+z=537答案:53四、解答題10.(10分)如圖,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,點E和點F分別為BC和A1C的中點.求證:(1)EF∥平面A1B1BA;(2)平面AEA1⊥平面BCB1.【證明】因為AB=AC,E為BC的中點,所以AE⊥BC.因為AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,所以以E為原點,過E作平行于BB1的直線為z軸,EC,EA所在直線分別為x軸、y軸,建立空間直角坐標系Exyz,如圖所示,因為AB=3,BE=5,所以AE=2,所以E(0,0,0),C(5,0,0),A(0,2,0),B(-5,0,0),A1(0,2,7),則F(52,1,72(1)=(52,1,72),=(-5,-2,0),=(0,0,7).設平面A1B1BA的法向量為n=(x,y,z),則即-5x-所以n=(-2,5,0)是平面A1B1BA的一個法向量.因為·n=52×(-2)+1×5+72×0=0,所以⊥n.又EF?平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.(2)因為AA1⊥平面ABC,EC?平面ABC,所以AA1⊥EC,又EC⊥AE,AE∩AA1=A,AE,AA1?平面AEA1,所以EC⊥平面AEA1,所以=(5,0,0)為平面AEA1的一個法向量.同理易證EA⊥平面BCB1,所以=(0,2,0)為平面BCB1的一個法向量.因為·=0,所以⊥,故平面AEA1⊥平面BCB1.【能力提升練】11.(5分)(2024·銀川模擬)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱AA1,CC1的中點,過點E作平面α,使得α∥平面BDF,且平面α與A1C1交于點M,則FM= ()A.32 B.62 C.3 D【解析】選C.如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(2,2,0),F(0,2,1),E(2,0,1),A1(2,0,2),C1(0,2,2),可得=(2,2,0),=(0,2,1),=(-2,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),設平面BDF的法向量為n=(x,y,z),則,令y=-1,則x=1,z=2,可得n=(1,-1,2),因為α∥平面BDF,可知平面α的法向量為n=(1,-1,2),設=λ=(-2λ,2λ,0),可得=+=(-2λ,2λ,1),可得n·=-2λ-2λ+2=0,解得λ=12,則=(-1,1,1),可得=-=(1,-1,1),所以=1+1+1=3.12.(5分)(多選題)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=6,CC1=4,AC⊥BC,M為棱A1C1的中點;E為棱BB1上的動點(含端點),過點A,E,M作三棱柱的截面α,且α交B1C1于Q,則 ()A.線段ME的最小值為45B.棱BB1上不存在點E,使得B1C⊥平面AEMC.棱BB1上存在點E,使得AE⊥MED.當E為棱BB1的中點時,ME=7【解析】選ABD.如圖,以CA,CB,CC1為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則A(6,0,0),B(0,6,0),C1(0,0,4),A1(6,0,4),B1(0,6,4),M(3,0,4),由于BB1與底面A1B1C1垂直,因此當E與B1重合時,ME在平面A1B1C1內(nèi),BB1⊥ME,此時ME最小為62+32=45=3=(0,-6,-4),=(-3,0,4),若·=0×(-3)+(-6)×0+(-4)×4=-16≠0,B1C與AM不垂直,因此B1C不可能與平面AME垂直,B正確;設E(0,6,t)(0≤t≤4),則=(-6,6,t),=(-3,6,t-4),若AE⊥ME,則·=18+36+t(t-4)=0,即t2-4t+54=(t-2)2+50=0,此方程無實數(shù)解,因此棱BB1上不存在點E,使得AE⊥ME,C不正確;E是BB1中點時,E(0,6,2),ME=(3-0【變式備選】如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3AD=3AA1=3,點P為線段A1C上的動點,則下列結(jié)論不正確的是 ()A.當=2時,B1,P,D三點共線B.當⊥時,⊥C.當=3時,D1P∥平面BDC1D.當=5時,A1C⊥平面D1AP【解析】選B.如圖,建立空間直角坐標系,則A1(1,0,1),C(0,3,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),B1(1,3,1),D(0,0,0),B(1,3,0),C1(0,3,1),當=2時,=(-12,32,-12),=+=(12,32,12),而=(1,3,1),所以=12,所以B1,P,D三點共線,A正確,不符合題意;設=λ,=(-1,3,-1),則=+=+λ=(-λ,3λ,1-λ).當⊥時,有·=5λ-1=0,所以λ=15,所以=(-15,35,45),=+=(45,35,-1所以·=(-15,35,45)·(45,35,-15所以與不垂直,B不正確,符合題意;當=3時,=(-13,33,-13),=-=(23,33,-13),又=(1,3,0),=(0,3,1),所以=23-13,所以,,共面,又D1P?平面BDC1,所以D1P∥平面BDC1,C正確,不符合題意;當=5時,=(-15,35,-15),從而=(-15,35,45),又·=(-1,0,1)·(-1,3,-1)=0,所以A1C⊥AD1,·=(-15,35,45)·(-1,3,-1)=0,所以A1C⊥AP,因為AD1∩AP=A,AD1,AP?平面D1AP,所以A1C⊥平面D1AP,D正確,不符合題意13.(5分)如圖,圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形,O為底面中心,M為SO的中點,動點P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周).若AM⊥MP,則點P在圓錐底面上形成的軌跡的長度為___________.

【解析】如圖,建立空間直角坐標系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),S(0,0,3),M(0,0,32)設P(x,y,0),-1≤x≤1,-1≤y≤1,則=(0,1,32),=(x,y,-32).由于AM⊥MP,所以(0,1,32)·(x,y,-32)=0,即y=34,此為P點的軌跡方程,其在底面圓內(nèi)的長度為21答案:714.(10分)(2024·長沙模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD為直角梯形,∠BAD=90°,AB=2,CD=AD=1,N是PB的中點,點M,Q分別在線段PD與AP上,且=λ,=μ.(1)若平面MNQ∥平面ABCD,求λ,μ的值;(2)若MQ∥平面PBC,求μ2λ【解析】(1)若平面MNQ∥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,平面PAB∩平面MNQ=QN,所以QN∥AB,又因為N為PB的中點,所以Q為PA的中點,同理M為PD的中點,所以λ=μ=1.(2)因為∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,如圖,以A為原點,AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸正半軸建立空間直角坐標系,故P(0,0,2),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),則=(0,2,-2),=(1,1,-2),設平面PBC的法向量為t=(x,y,z),則取y=1,可得t=(1,1,1).因為=λ,=μ,所以M(11+λ,0,2λ1+λ),Q則=(-11+λ,0,2μ1+μ因為MQ∥平面PBC,所以⊥t,即·t=0,所以(-11+λ)×1+0×1+(2μ1+μ-2λ1+所以μ-(1+2λ)(1+所以μ2λ=(1+2λ)2λ當且僅當4λ=1λ,即λ=12時取等號,所以μ2【變式備選】(2024·常州模擬)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直,且AB∥CD,AB⊥BC,AP⊥PB,AB=2,BC=CD=1.(1)求證:AB⊥PD;【解析】(1)取AB的中點為O,連接DO,PO,因為PA=PB,所以PO⊥AB,又因為底面ABCD為直角梯形,且AB⊥BC,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,所以四邊形OBCD為正方形,則DO⊥AB,又因為DO∩PO=O,且DO,PO?平面POD,所以AB⊥平面POD,又PD?平面POD,所以AB⊥PD;(2)求直線PC與平面ABP所成角的余弦值;【解析】(2)PO⊥AB且PO?平面PAB,又因為平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PO⊥平面ABCD,則PO⊥DO,由OA,OD,OP兩兩垂直,以OD,OA,OP所在直線分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz,因為△PAB為等腰直角三角形,且AB=2,BC=CD=1,所以OA=OB=OD=OP=1,則O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),C(1,-1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),即=(1,-1,-1),平面PAB的一個法向量為=(1,0,0),設直線PC與平面PAB所成的角為θ,則sinθ=|cos<,>|==33,即cosθ=1-sin2θ=63,則所求直線PC與平面ABP(3)線段PA上是否存在點E,使得PC∥平面EBD?若存在,求出AEAP的值;若不存在,請說明理由【解析】(3)線段PA上存在點E,且當AEAP=23時,使得PC∥平面EBD,由=13=(0,13,-13),得E(0,13,23),則=(0,-43,-23設平面EBD的法向量為n=(x,y,z),則,即-43y-23z=0x+y=0,取y=-1,則x=1,z=2,即n又因為PC?平面EBD,所以PC∥平面EBD,即點E滿足AEAP=23時,有PC∥【創(chuàng)新思維練】15.(5分)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,動點M在線段