試卷第1頁，共3頁南京師大附中2024-2025學(xué)年第1學(xué)期高一年級12月月考數(shù)學(xué)試卷xA．充分必要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件4．若lna與lnb互為相反數(shù)，則的最大值為()5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(cosα,sinα)，將線段OP繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段OP,.若cosα=，則P,的縱坐標(biāo)為()6．設(shè)函數(shù)的取值范圍是()7．已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)若,b=f,c=f，則8．若定義在數(shù)集A上的函數(shù)f(x)滿足：任意x1,x2∈A，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，f(x1)=f(x2)試卷第2頁，共3頁成立，則稱f(x)為“單函數(shù)”.①f(x)=(x-1)3是“單函數(shù)”是“單函數(shù)”③若f(x)為“單函數(shù)”，則當(dāng)x1,x2∈A且x1≠x2時(shí)，都有f(x1)≠f(x2)④已知區(qū)間DA，若f(x)在D上具有單調(diào)性，則f(x)一定是“單函數(shù)”上述四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得C．loga<b-0.110．已知?jiǎng)t下列說法正確的是()A．若tanα=3，則cosα=-C．若sinαcosα=，則tanα=211．設(shè)函數(shù)下列說法正確的是()A．f(x)的定義域?yàn)?-1,1)B．f(x)是奇函數(shù)C．對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1,x2，總滿足D．對于任意的，都有f試卷第3頁，共3頁13．函數(shù)f(x)=log2(x2-414．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)=2f(x-1).已知當(dāng)x∈(-1,0]時(shí)，16．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：存在M,T∈R且T>0，使得任意x∈R,f(x+T)=f(x)+M，則稱f(x)為“T代M階函數(shù)”.(1)判斷f(x)=sinπx是否為“4代M階函數(shù)”，若是，求出M的值；若不是，請說明(2)已知f(x)為“3代M階函數(shù)”，且f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，證明：f(x)是(3)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)為“2代M階函數(shù)”，其中f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù).若f(1)=1，求f(1219)的值.答案第1頁，共9頁【分析】利用解絕對值不等式和指數(shù)不等式得到集合，再利用交集計(jì)算即可.}，∩故選：B.【分析】分別判斷當(dāng)x=2kπ+,k∈Z時(shí)sinx的值，以及當(dāng)sinx=時(shí)x的取值情況，然后根據(jù)充分、必要條件的概念判斷即可.【詳解】判斷充分性所以由x=2kπ+,k∈Z能推出sinx=充分性成立.判斷必要性所以由sinx=不能推出x=2kπ+,k∈Z，必要性不成立.故x=2kπ+,k∈Z是si故選：C【分析】利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值化簡求值即可.【詳解】由題意故選：D答案第2頁，共9頁【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閘na與lnb互為相反數(shù)，故選：D【分析】利用線段OP繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段OP,及點(diǎn)P的坐標(biāo)，可用α表示點(diǎn)P,的坐標(biāo)，再用誘導(dǎo)公式化簡，從而求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P(cosα,sinα)，將線段OP繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段OP,，所以可得點(diǎn)P,的坐標(biāo)為，即P,所以點(diǎn)P,的縱坐標(biāo)為-cosα=-故選：B.【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性來確定f(x)的單調(diào)性，然后由單調(diào)來解不等式即可.答案第3頁，共9頁x是減函數(shù)，可知=3x-是增函數(shù)，故選：C.【分析】先利用冪函數(shù)的定義求得f(x)=x-2，判斷f(x)=x-2為偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，根據(jù)誘導(dǎo)公式和偶函數(shù)性質(zhì)得,b=f，c=f根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可得<sin根據(jù)切弦互化結(jié)合正、余弦函數(shù)值的有界性分析可得 >sin根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)所以，所以α=-2，所以f(x)=x-2，其定義域?yàn)?-∞,0)(0,+∞)關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x)，所以f(x)=x-2為偶函數(shù)，且在(0,+∞)上單調(diào)遞減，(π)π3π因?yàn)閥=sinx在|(0,2,|內(nèi)單調(diào)遞增，則sin14<(π)π3π故選：A【分析】根據(jù)題意f(x)為單函數(shù)的充分必要條件為f(x)在其定義域上單調(diào)，結(jié)合相關(guān)多項(xiàng)式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)函數(shù)的定義依次判斷命題即可.答案第4頁，共9頁【詳解】①f(x)=(x-1)3在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)，f(x1)=f(x2)成立，符合定義，真命題；②由解析式知f(0)=2-0=2=log24=f(4)，而0≠4，故并非僅當(dāng)x1=x2時(shí)f(x1)=f(x2)成立，不符合定義，假命題；③由定義知：任意x1,x2∈A，若f(x1)=f(x2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)成立，其逆否命題為當(dāng)x1,x22時(shí)，都有f(x1)≠f(x2)為真命題；④對于f(x)=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，具有單調(diào)性，而在R上f(-1)=f(1)且-1≠1，不符合定義，假命題.綜上，①③為真命題.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)及二次、三次函數(shù)性質(zhì)判斷各項(xiàng)真假.【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值得大小即可得結(jié)論.對于A，因?yàn)閍>b>1，所以0<又函數(shù)y=lnx在(0,+∞)上遞增，所以不正確；所以a-b>，故B正確；又b-0.1>0，所以loga<b-0.1，故C正確；對于D，因?yàn)閍>b>1，則函數(shù)y=ax在(0,+∞)上遞增，所以a0.2<a0.3，又函數(shù)y=x0.2在(0,+∞)上遞增，所以b0.2<a0.2，則b0.2<a0.3，故D正確.故選：BCD.答案第5頁，共9頁【分析】根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系計(jì)算后可判斷AB的正誤，利用“1”的代換和弦切互化可判斷C的正誤，利用誘導(dǎo)公式化簡后可判斷D的正誤.【詳解】對于A，因?yàn)閠anα=3，<α<，故故A正確；對于B，因?yàn)椋蔯osα<0，故tanα=故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)閟inαcosα=，故故，故2tan2α-5tanα+2=0，故tanα=2或tanα=而，故tanα>1，故tanα=2，故C正確；對于D，由tan=-1可得：故選：AC.11．ABD【分析】根據(jù)真數(shù)大于0求得定義域，可判斷A；利用奇偶性定義判斷奇偶性，可判斷B；取特殊值計(jì)算可判斷C；根據(jù)對數(shù)運(yùn)算化簡即可判斷D.【詳解】對于A，由>0，解得-1<x<1，故函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1)，故A正對于B，由A可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱=-lg所以f(x)是奇函數(shù)，故B正確；答案第6頁，共9頁故選：ABD.【分析】根據(jù)扇形的面積公式和弧長公式求解.【詳解】因?yàn)樯刃蚊娣e為α.r2=4，所以r=2，故答案為:8.13．(-∞,-1)【分析】先求出f(x)的定義域，令u=x2-4x-5，分別求出y=log2u，u=x2-4x-5在定義域上的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.【詳解】要使函數(shù)f(x)有意義，則x2-4x-5>0，即x>5或x<-1，設(shè)u=x2-4x-5，則當(dāng)x>5時(shí)，函數(shù)u=x2-4x-5在(5,+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x<-1時(shí)，函數(shù)u=x2-4x-5在(-∞,-1)上單調(diào)遞減.∵函數(shù)y=log2u在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)f(x)在(5,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，即函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(-∞,-1).故答案為:(-∞,-1).4【分析】先根據(jù)函數(shù)的遞推關(guān)系得到函數(shù)在其他區(qū)間上的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)圖像可得到m的最大值.因?yàn)閒，且當(dāng)x∈故當(dāng)所以當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)<1，kf(xk)=2k1(xk)(xk+1)，k3*，所以k≤3，所以當(dāng)0<x≤3時(shí)，f(x)≤1，所以當(dāng)化簡得(4x15)(4x13)=0，因?yàn)閷θ我?，都有f所以m的最大值是，答案第7頁，共9頁答案第8頁，共9頁故答案為：.【分析】（1）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)式，根據(jù)已知有sinxcosx=-，且sinx>0,cosx<0，利用sinxcosx與cosx-sinx關(guān)系求值；法一：根據(jù)x∈應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最大值；法二：令t=sinx+cosx，利用三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)得1<t≤且g(x)=t2+t-1，進(jìn)而求其最大值.所以cosx-sinx=-i(cosx-sinx)2=-s1-2sinxcosx=-·=-.(2,，.(2,，. 當(dāng)且僅當(dāng)sinx=cosx=時(shí)取等，故g(x)的最大值為1+.當(dāng)t=時(shí)，g(x)max=1+，即g(x)的最大值16．(1)是，0(2)證明見解析(3)1219【分析】（1）利用給定定義判斷并證明即可.答案第9頁，共9頁（2）利用給定定義結(jié)合對稱性的性質(zhì)和奇偶性的定義證明即可.（3）利用給定定義和奇偶性的性質(zhì)對目標(biāo)式進(jìn)行化簡，再求值即可.此時(shí)T=4,M=0，所以f(x)為4代0階函數(shù).（2）因?yàn)閒(x)為“3代M階函數(shù)”，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，所以f(x+3)=f(-x+3)，即f(x)+M=f(-x)+M，所以f(x)=f(-x)，所以f(x)是偶函數(shù).（3）由題意得，存在常數(shù)M滿足F(x+2)=F(x)+M，令x=a，