2026屆上海市二中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，若、滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．2．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線(xiàn)圖，年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，則該人年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為（）A．元 B．元 C．元 D．元3．已知集合，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．4．秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．5．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．6．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列對(duì)任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．8．設(shè)，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記（）.下列兩個(gè)命題（）①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯(cuò)誤9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積（）A． B． C． D．10．如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局于2020年1月9日發(fā)布的2018年12月到2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況折線(xiàn)圖.（注：同比是指本期與同期作對(duì)比；環(huán)比是指本期與上期作對(duì)比.如：2019年2月與2018年2月相比較稱(chēng)同比，2019年2月與2019年1月相比較稱(chēng)環(huán)比）根據(jù)該折線(xiàn)圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．2019年12月份，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比持平B．2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比均上漲C．2018年12月至2019年12月全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比均上漲D．2018年11月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格高于2017年12月的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格11．定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．212．已知P是雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數(shù)列，則此雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則____.14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)_______．15．若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.16．已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)分別交于兩點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），求的最小值.18．（12分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來(lái)了一大批優(yōu)秀的學(xué)生．新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái)．校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生，對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根據(jù)上表說(shuō)明，能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車(chē)站迎接新生，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為，寫(xiě)出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82819．（12分）已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知，，，，證明：（1）；（2）.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)是圓心在極軸上，且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓．已知曲線(xiàn)上的點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)，射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）求曲線(xiàn)，的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)A，B為曲線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)且，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，、滿(mǎn)足，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時(shí)，的最小值為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類(lèi)討論思想，是中等題．2、A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用，再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，得到年的就醫(yī)費(fèi)用，然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，所以年的就醫(yī)費(fèi)用元，而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人所以?xún)?chǔ)畜費(fèi)用：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線(xiàn)圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

先求出集合，化簡(jiǎn)=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題4、C【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的，的值，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過(guò)可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過(guò)正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.6、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

觀察已知條件，對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時(shí)相加得，又因?yàn)?，所?故選：【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值，運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法，遇到形如時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運(yùn)用對(duì)應(yīng)方法求解.8、A【解析】

利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類(lèi)推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.9、C【解析】

畫(huà)出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【詳解】解：幾何體的直觀圖如圖，是正方體的一部分，P?ABC，正方體的棱長(zhǎng)為2，

該幾何體的表面積：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求解幾何體的直觀圖的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．10、D【解析】

先對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理，再結(jié)簡(jiǎn)單的合情推理一一檢驗(yàn)即可【詳解】由折線(xiàn)圖易知A、C正確；2019年3月份及6月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格環(huán)比是負(fù)的，所以B錯(cuò)誤；設(shè)2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格分別為，由題意可知，，，則有，所以D正確.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，屬于中檔題.11、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

求得雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由題意求得，運(yùn)用直線(xiàn)的斜率公式可得，，，再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線(xiàn)交于，可得，可取，則，設(shè)，，則，，，由，，成等差數(shù)列，可得，化為，即，可得，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程和性質(zhì)，主要是漸近線(xiàn)方程和離心率，考查方程思想和運(yùn)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，得出，根據(jù)兩角和與差的正弦公式和余弦公式化簡(jiǎn)，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，利用二倍角正切公式、兩角和與差的正弦公式和余弦公式，以及運(yùn)用齊次式求值，屬于對(duì)公式的考查以及對(duì)計(jì)算能力的考查.14、【解析】

解法一：曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，利用基本不等式可求出該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值；解法二：曲線(xiàn)函數(shù)解析式為，由求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即可所求答案.【詳解】解法一（基本不等式）：在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到直線(xiàn)距離的最小值為；解法二（導(dǎo)數(shù)法）：曲線(xiàn)的函數(shù)解析式為，則，設(shè)過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則，解得，當(dāng)時(shí)，到直線(xiàn)的距離；當(dāng)時(shí)，到直線(xiàn)的距離.所以曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)上一點(diǎn)到直線(xiàn)距離最小值的計(jì)算，可轉(zhuǎn)化為利用切線(xiàn)與直線(xiàn)平行來(lái)找出切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，也可以設(shè)曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用基本不等式法或函數(shù)的最值進(jìn)行求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.15、【解析】

由知x＞0，故.令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在（0，e）上遞增，在（e，+）上遞減.故，即.16、1【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由切線(xiàn)方程得切線(xiàn)斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得．【詳解】由題意，∵函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，∴，解得，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)是解題基礎(chǔ)，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）2.【解析】

（Ⅰ）由定義可直接寫(xiě)出直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，對(duì)曲線(xiàn)同乘可得：，轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為；（Ⅱ）分別聯(lián)立兩直線(xiàn)和曲線(xiàn)的方程，由得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)即可求解；【詳解】（Ⅰ）直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為由曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程得，所以的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立得所以.所以.所以當(dāng)時(shí)，取最小值2.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)中的幾何意義，屬于中檔題18、（1）有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】

（1）計(jì)算得到，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù)，由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對(duì)應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得期望.【詳解】（1）∵的觀測(cè)值，有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān)．（2）根據(jù)分層抽樣方法得：男生有人，女生有人，選取的人中，男生有人，女生有人．則的可能取值有，，，，，的分布列為：．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解；關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布，進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可構(gòu)造方程求得，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果；（2）由（1）可得，可知為等比數(shù)列，利用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）成等比數(shù)列，，即，，解得：，.（2）由（1）得：，，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、分組求和法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項(xiàng)公式證得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而采用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式求得結(jié)果.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用零點(diǎn)分段討論法把函數(shù)改寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,