21/23專(zhuān)題07解三角形中最值、類(lèi)中線、內(nèi)切圓等8大題型內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢(shì)下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對(duì)應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時(shí)練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時(shí)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：1、解三角形是近3年的高考命題熱點(diǎn)，常以解答題為主，但也會(huì)考察選擇填空題，?？疾閮?nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點(diǎn)是正余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，也會(huì)考察解三角形中的最值范圍問(wèn)題．預(yù)測(cè)2026年：解三角可能會(huì)考一道最值中檔試題，考察解三角形類(lèi)中線最值問(wèn)題，與平面向量相結(jié)合，也可能考察三角形中的內(nèi)切圓問(wèn)題。熱點(diǎn)題型：題型01求對(duì)邊對(duì)角三角形面積最大值范圍問(wèn)題題型02對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題題型03非對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題題型04解三角形中對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題題型05銳角的對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題題型06解三角形中的類(lèi)中線問(wèn)題處理策略題型07解三角形中的外接圓問(wèn)題題型08解三角形中的內(nèi)切圓問(wèn)題題型01求對(duì)邊對(duì)角三角形面積最大值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：余弦定理+不等式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)秒殺思路：角等邊，非等腰面積最大【精選例題】【例1】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A為銳角，的面積為S，且.(1)求A；(2)若，求S的最大值.【例2】在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，且滿足（填條件序號(hào)）.(1)求角；(2)，求的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.【例3】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小正周期以及它的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離；(2)設(shè)，在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值.【例4】中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.(1)求；(2)已知，求的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．2.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，.(1)求角的大?。?2)若，求面積的最大值.3.已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面積的最大值．4.從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答．在中，三邊分別是角的對(duì)邊，若______.(1)求C；(2)若，求的面積的最大值．題型02對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：面積公式邊換角降冪公式輔助角公式銳角范圍求面積范圍【精選例題】【例1】在銳角中，、、分別是角、、所對(duì)的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例2】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間，(2)若為銳角的內(nèi)角，且，求面積的取值范圍．【專(zhuān)題訓(xùn)練】1.設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求銳角的面積的取值范圍．2.在銳角中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求；(2)若外接圓的半徑是1，求面積的取值范圍.題型03非對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：秒殺：畫(huà)兩個(gè)直角三角形直接秒（注意兩邊都為開(kāi)區(qū)間）解答題步驟：正弦定理邊化角化為求解（注意角的范圍）【精選例題】【例1】已知a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知角，，若是銳角三角形，則的面積為S的取值范圍為.【例2】記銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.(1)求.(2)求面積的取值范圍.【專(zhuān)題訓(xùn)練】1.已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．且．(1)求角A；(2)若，求面積的取值范圍．2.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.題型04解三角形中對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：余弦定理不等式【精選例題】【例1】在中，已知，且，則的取值范圍為．【例2】在中，已知，且，則的取值范圍為．【例3】在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C．6 D．9【例4】在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例5】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設(shè)，求周長(zhǎng)的最大值．【專(zhuān)題訓(xùn)練】1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且，△ABC外接圓面積為則∠A=，△ABC周長(zhǎng)的最大值為.2．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，，則周長(zhǎng)的最小值為．3．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若．(1)求的值；(2)若的面積為，求周長(zhǎng)的取值范圍．4．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍.題型05銳角的對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：正弦定理三角函數(shù)輔助角公式注意角的范圍【例1】在銳角中，已知，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【例2】在銳角中，角的對(duì)邊分別為為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3】在△中，角所對(duì)的邊分別為且．(1)求△的外接圓半徑；(2)若△為銳角三角形，求△周長(zhǎng)的取值范圍．【例4】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且.(1)求B；(2)若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對(duì)邊，且，，則三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知銳角的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.4.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的直徑為，求周長(zhǎng)的取值范圍.題型05銳角的非對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：秒殺法：直接畫(huà)兩個(gè)直角三角形就出來(lái)了，都是開(kāi)區(qū)間，取不到解答題解法：正弦定理，所有邊都換為角，最后化成一個(gè)角，然后用二倍角展開(kāi)，化為，利用單調(diào)性【精選例題】【例1】在銳角中，已知，且，求周長(zhǎng)的取值范圍．【例2】已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，向量，，且.(1)求角C的值；(2)若，求的取值范圍.【例3】已知函數(shù).在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.已知為銳角三角形，是角分別所對(duì)的邊，若，且，則的取值范圍是．2．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，，則周長(zhǎng)的取值范圍為．3．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并加以解答．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，______．(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍．4．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍．題型06解三角形中的類(lèi)中線問(wèn)題處理策略解｜題｜策｜略①向量法：在用來(lái)求范圍最值時(shí)很方便若在中，是的中線，那么就是若在中，，那么就是若在中，，那么就是用向量表示出來(lái)后再平方，結(jié)合向量數(shù)量積和余弦定理，再利用基本不等式求解②用兩次余弦定理：對(duì)類(lèi)中線所對(duì)應(yīng)的小角分別在小三角形和大三角形中用余弦定理，求值的時(shí)候比較方便③余弦值互為相反數(shù)：對(duì)于類(lèi)中線（爪形三角形）類(lèi)解三角形題目，可以利用鄰補(bǔ)角余弦值互為相反數(shù)列方程④等面積法處理：對(duì)于類(lèi)中線（爪形三角形）類(lèi)解三角形題目，還可以利用大三角形面積等于兩個(gè)小三角形面積求解【精選例題】【例1】在中，，若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的取值范圍．【例2】在銳角中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的取值范圍．【例3】（多選題）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，D在線段上，且滿足平分．則（

）A． B． C． D．【例4】（多選題）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A．角的大小為B．若為的角平分線，則C．若，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為D．若，則的周長(zhǎng)的最大值為【例5】記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【例6】已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D是邊上一點(diǎn)，，，，且．(1)若，證明：；(2)在（1）的條件下，且，求的值．【例7】在中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.(1)求角；(2)若點(diǎn)M在邊上BC滿足，且，求面積的最大值.【例8】在中，的對(duì)邊分別為.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.【變式訓(xùn)練】1.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線的長(zhǎng).2.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）設(shè)，若點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積．3．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且．(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，且，求的面積．4.在中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．5.在中，記角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．6.在，中，記角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積.7.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求角B；(2)若點(diǎn)D在上，為的角平分線，，求的最小值．8.在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，，且，為線段上一點(diǎn).(1)求角的大?。?2)若為角的角平分線，，的周長(zhǎng)為15，求的長(zhǎng).題型07解三角形中的外接圓問(wèn)題解｜題｜策｜略遇到有關(guān)外接圓問(wèn)題：我們要想到正弦定理【精選例題】【例1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【例2】中，，角的平分線交于點(diǎn)，若，則外接圓的面積是．【例3】在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【例4】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且(1)求；(2)若的外接圓半徑為，周長(zhǎng)為，且，求.【例5】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，是的外心.(1)若，求的最小值.(2)設(shè)，.①求的面積；②用向量，表示向量.【變式訓(xùn)練】1.在中，若，且，則的外接圓的面積為．2.銳角的三個(gè)內(nèi)角是，滿足，的外接圓的圓心為，半徑是1.(1)求角的大小及的值；(2)求的取值范圍.3.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)若為的外心，為邊的中點(diǎn)，且，求周長(zhǎng)的最大值．4．如圖，在中，，點(diǎn)為外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在直線兩側(cè)）．

(1)若，求的值；(2)若，求四邊形周長(zhǎng)的最大值；(3)若，求．題型08解三角形中的內(nèi)切圓問(wèn)題解｜題｜策｜略遇到有關(guān)內(nèi)切圓問(wèn)題：我們要想到等面積法，【精選例題】【例1】中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A． B． C． D．【例2】已知正n邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【例3】（多選題）在中，，，，I為的內(nèi)心，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【例4】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大?。?2)若的外接圓半徑為4，且，求的面積．【例5】在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，的外接圓的半徑為.(1)求角的值；(2)如果，求的面積；(3)求內(nèi)切圓半徑的最大值.【變式訓(xùn)練】1．（多選題）已知的面積為，若，，則（）A．的外接圓半徑為1B．C．D．的內(nèi)切圓半徑為2．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其內(nèi)切圓半徑，則邊長(zhǎng)的最小值為．3．中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，、分別為的外心和內(nèi)心，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的長(zhǎng)度為.4．在中角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)記為a，b，c，，，取，，已知.(1)求.(2)在邊上取一點(diǎn)D，使為銳角且有與的外接圓半徑之比為，設(shè)點(diǎn)E為的內(nèi)心，求的面積.5．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求A；(2)若，求三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍．（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．在中，，點(diǎn)為三角形的外接圓的圓心，若，且，則的面積的最大值為（）A．2 B．8 C．16 D．182．(25-26高三上·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)·)在中，“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不必要條件，又不充分條件3．(25-26高三上·重慶第一中學(xué)?！て谥?在中，、、分別為邊、、所對(duì)的內(nèi)角，若、、成等比數(shù)列，則角的范圍是（

）A． B． C． D．4．若點(diǎn)為的外心，且滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．5．(25-26高三上·遼寧名校聯(lián)盟·期中)若內(nèi)一點(diǎn)滿足，則稱(chēng)點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．如圖，已知在中，，，，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．若，且滿足，則其布洛卡角的正切值為（

）

A． B． C． D．6．在銳角三角形中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，為的面積，若，則（

）A． B． C． D．8．(25-26高三上·遼寧重點(diǎn)高中點(diǎn)石聯(lián)考·期中)如圖，1752年，兩位法國(guó)天文學(xué)家為了測(cè)量地球與月球之間的距離，利用幾乎位于同一經(jīng)線上，且緯度差約為的柏林（點(diǎn)）與好望角（點(diǎn)）為基點(diǎn)，測(cè)量出，的大小.設(shè)地球半徑為，則地球表面與月球表面的最小距離約為（

）

A．B．C．D．9．(25-26高三上·安徽六安第一中學(xué)·月考)在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且的取值范圍是，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題10．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．11．在中，角的對(duì)應(yīng)邊分別為，則（

）A．若，，則周長(zhǎng)的最大值為18B．若，，為的中點(diǎn)，且，則C．若是銳角三角形且，，則的最小值為D．若角的內(nèi)角平分線交于，且，，則面積的最大值為312．(25-26高三上·廣東廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校·)在中，、、是角、、的對(duì)應(yīng)邊，滿足，，，則（

）A． B．C． D．的面積為13．(25-26高三上·吉林長(zhǎng)春第二中學(xué)·調(diào)研)已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，并且滿足，則（

）A． B． C． D．14．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．B．面積的最大值為C．的最大值為D．角的平分線交于點(diǎn)，則的最大值為三、填空題15．已知所對(duì)的三邊為a，b，c，且滿足，則的最小值為16．(25-26高三上·云南臨滄第一中學(xué)·期中)在銳角中，分別是角的對(duì)邊，且，則的最小值是．17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.18．在中，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，則，若，則的面積最大值為.四、解答題19．(23-24高三上·福建廈門(mén)科技中學(xué)（翔安校區(qū)）·期中)在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是，，，的面積記為S，已知，.(1)求；(2)若邊上的中線長(zhǎng)為，為角的角平分線，求的長(zhǎng).20．在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為，已知且.(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線的長(zhǎng)；(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍.21．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，求BC邊上的高的最大值．(3)若的垂心為M（M在的內(nèi)部），直線BM與AC交于點(diǎn)D，且，當(dāng)最大時(shí)，求AB．22．(25-26高三上·山東青島即墨區(qū)第一中學(xué)·期中)已知的三邊分別為，，，面積為，，.(1)求；(2)若，點(diǎn)，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求面積的最小值；（Ⅱ）設(shè)，，則是否存在常數(shù)和，對(duì)于任意滿足題意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，說(shuō)明理由.23．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知(1)求角B的大?。?2)若，，點(diǎn)D滿足，求△ABD的面積；(3)若，且△ABC的外接圓半徑為2，圓心為O，P為⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，試求的取值范圍.24．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求C；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍；(3)若，且為銳角三角形，角A與角B的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)D，求面積的取值范圍．25．法國(guó)著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”．如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，以為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為．

(1)求；(2)若外接圓半徑為1，求的邊長(zhǎng)；(3)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．26．(25-26高三上·河北部分重點(diǎn)中學(xué)·)記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若的角平分線交于點(diǎn).（i）求的最大值；（ii）求的最小值.27．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求角的大??；(2)若，求此時(shí)的內(nèi)切圓半徑的最大值；(3)求的取值范圍.

專(zhuān)題07解三角形中最值、類(lèi)中線、內(nèi)切圓等8大題型內(nèi)容導(dǎo)航熱點(diǎn)聚焦方法精講能力突破熱點(diǎn)聚焦·析考情鎖定熱點(diǎn)，靶向攻克：聚焦高考高頻熱點(diǎn)題型，明確命題趨勢(shì)下的核心考查方向。題型引領(lǐng)·講方法系統(tǒng)歸納，精講精練：歸納對(duì)應(yīng)高頻熱點(diǎn)題型的解題策略與實(shí)戰(zhàn)方法技巧。能力突破·限時(shí)練實(shí)戰(zhàn)淬煉，高效提分：精選熱點(diǎn)經(jīng)典題目，限時(shí)訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)解題速度與準(zhǔn)確率雙重躍升。近三年：1、解三角形是近3年的高考命題熱點(diǎn)，常以解答題為主，但也會(huì)考察選擇填空題，常考查內(nèi)容、頻率、題型、難度較為穩(wěn)定，重點(diǎn)是正余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，也會(huì)考察解三角形中的最值范圍問(wèn)題．預(yù)測(cè)2026年：解三角可能會(huì)考一道最值中檔試題，考察解三角形類(lèi)中線最值問(wèn)題，與平面向量相結(jié)合，也可能考察三角形中的內(nèi)切圓問(wèn)題。熱點(diǎn)題型：題型01求對(duì)邊對(duì)角三角形面積最大值范圍問(wèn)題題型02對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題題型03非對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題題型04解三角形中對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題題型05銳角的對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題題型06解三角形中的類(lèi)中線問(wèn)題處理策略題型07解三角形中的外接圓問(wèn)題題型08解三角形中的內(nèi)切圓問(wèn)題題型01求對(duì)邊對(duì)角三角形面積最大值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：余弦定理+不等式，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)秒殺思路：角等邊，非等腰面積最大【精選例題】【例1】在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A為銳角，的面積為S，且.(1)求A；(2)若，求S的最大值.【詳解】（1）解決解三角形問(wèn)題，看到既有切又有弦要考慮切化弦，看到邊的平方要想到余弦定理代換因此本題由得，，化簡(jiǎn)得，，又根據(jù)余弦定理，則代入上式可得即，因?yàn)锳為銳角，所以.（2）秒殺技巧：等腰三角形面積最大，所以知道，解得，所以大題解題步驟：，由，，則，，所以S的最大值為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)【例2】在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，且滿足（填條件序號(hào)）.(1)求角；(2)，求的最大值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)選①或②或③，；(2)【詳解】（1）解：若選①，解題思路：看到既有邊又有角，要統(tǒng)一為角或者邊。因此本題因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)椤?，則，，所以，，所以，，故；若選②，解題思路：都是正弦想到化為邊即為邊的平方的關(guān)系，再用余弦定理。因此本題因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，，由余弦定理可得，因?yàn)?，故；若選③，解題思路：看到既有邊又有角，要統(tǒng)一為角或者邊，看到三個(gè)角的關(guān)系要想到化為兩個(gè)角因此本題，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)?、，則，則，即，可得，因?yàn)?，則，所以，，故.（2）秒殺技巧：等邊三角形面積最大，大題解題步驟：因?yàn)?，由余弦定理可得，由基本不等式可得，即，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.【例3】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小正周期以及它的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離；(2)設(shè)，在中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，求面積的最大值.【答案】(1)最小正周期為，相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為；(2)【詳解】（1）的最小正周期為，它的圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸的距離為；（2）由題意得，即，因?yàn)?，所以，故，由余弦定理得，即，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，解得，其中，故面積，故面積的最大值為.【例4】中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.(1)求；(2)已知，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)槿切蔚拿娣e為，則，所以，又，則；（2）由于，所以，即，取等號(hào)，故，故【變式訓(xùn)練】1.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，所以，即，又，則，所以，又因，所以；（2）由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即面積的最大值為．2.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，.(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，所以，，因?yàn)?、，則，所以，，故.（2）解：由余弦定理可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故面積的最大值為.3.已知的三個(gè)內(nèi)角分別為、、，其對(duì)邊分別為、、，若．(1)求角的值；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，，且，由正弦定理可得，即，因?yàn)椋瑒t，則，又因?yàn)?，?（2）解：由余弦定理，可得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以.所以，面積，所以，面積的最大值為．4.從①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并加以解答．在中，三邊分別是角的對(duì)邊，若______.(1)求C；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：若選條件①，由，可得，即，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，可得，所以，所以，可?若選條件②，由，根據(jù)正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)?，所?若選條件③：由，可得，即，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?（2）解：由（1）知：且，又由余弦定理得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，所以面積的最大值為.題型02對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：面積公式邊換角降冪公式輔助角公式銳角范圍求面積范圍【精選例題】【例1】在銳角中，、、分別是角、、所對(duì)的邊，已知且，則銳角面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】且，,根據(jù)正弦定理得，,即，整理得，，，，解得，，，，,的面積為銳角三角形，，，，，，.故選：C.【例2】已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間，(2)若為銳角的內(nèi)角，且，求面積的取值范圍．【答案】(1)最小正周期為；單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)【詳解】（1）函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，由，可得，即有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）若為銳角的內(nèi)角，且，可得，由，可得，則，即.由正弦定理得，，所以，所以面積，又因?yàn)闉殇J角三角形，則，即，解得，所以，所以，所以.故面積的取值范圍是.【專(zhuān)題訓(xùn)練】1.設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)若，求銳角的面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理，得．又在中，，所以，則，又，則，所以，又，所以.（2）因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以，故，則.2.在銳角中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求；(2)若外接圓的半徑是1，求面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，則，所以，所以；（2）因?yàn)橥饨訄A的半徑是1，所以，則，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，則，故面積的取值范圍是.題型03非對(duì)邊對(duì)角的銳角三角形面積問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：秒殺：畫(huà)兩個(gè)直角三角形直接秒（注意兩邊都為開(kāi)區(qū)間）解答題步驟：正弦定理邊化角化為求解（注意角的范圍）【精選例題】【例1】已知a，b，c分別是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知角，，若是銳角三角形，則的面積為S的取值范圍為.【詳解】秒殺技巧：畫(huà)兩個(gè)直角三角形直接秒大題解題步驟：法一正弦定理化為三角函數(shù)求解：由正弦定理得，所以，故，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故，所以，，故，即的面積為S的取值范圍為法二：余弦定理求邊的范圍求解，利用銳角余弦值為正。詳解因?yàn)?，，由余弦定理得，即，故，為銳角三角形，則，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），綜上，所以.【例2】記銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.(1)求.(2)求面積的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）方法一：由余弦定理，得，解得.又，所以由正弦定理，得.

又為銳角三角形，所以.方法二：由題意知，.由正弦定理得，所以，所以，即；又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?（2）由正弦定理，得；

因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，所以.因?yàn)椋?，所?故面積的取值范圍為.【專(zhuān)題訓(xùn)練】1.已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．且．(1)求角A；(2)若，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)椋傻?，由正弦定理得，又因?yàn)椋傻?，且，則，可得，則，又因?yàn)?，則，可得，所以．（2）由正弦定理，可得，則面積，因?yàn)闉殇J角三角形，故，解得，所以，則，可得，所以的取值范圍為．2.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求A；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即；?）法一：由及（1）知的面積.由正弦定理得.由于為銳角三角形，故，.由（1）知，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，故，故，從而.因此面積的取值范圍是；法二：因?yàn)椋?，由余弦定理得，即，故，為銳角三角形，則，即，由①得，解得，由②得，解得或（舍去），綜上，所以.題型04解三角形中對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：余弦定理不等式【精選例題】【例1】在中，已知，且，則的取值范圍為．解題思路：秒殺技巧:，最大值是等邊大題解法：由余弦定理得解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又（三角形兩邊之和大于第三邊），因此【例2】在中，已知，且，則的取值范圍為．解題思路：秒殺技巧:，最大值是的等腰三角形大題解法：由余弦定理得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又（三角形兩邊之和大于第三邊），因此【例3】在中，角所對(duì)的邊分別為，若，且，則周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C．6 D．9【答案】D【詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，而，整理得，又，解得，由余弦定理，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為9.故選：D【例4】在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理得,所以由正弦定理得,所以,所以，所以,可得由余弦定理可得,又因?yàn)榛静坏仁剿?所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值2，因?yàn)?所以,所以.故選：B.【例5】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)設(shè)，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）在中，由，得，即，由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知，，，又，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以周長(zhǎng)的最大值為.【專(zhuān)題訓(xùn)練】1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量，，且，△ABC外接圓面積為則∠A=，△ABC周長(zhǎng)的最大值為.【答案】9【詳解】已知向量，，則，則，所以，則，所以，又，故且，所以，又，則；由余弦定理有：，則，由正弦定理可得：的外接圓半徑為，則，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，故三角形周長(zhǎng)的最大值為故答案為：；2．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，若，，則周長(zhǎng)的最小值為．【答案】9【詳解】方法一：由余弦定理得：，即，又，則，所以，即，則，又兩邊之和大于第三邊，即，所以的取值范圍，所以周長(zhǎng)的最小值為．方法二：（均值換元法）設(shè)，，，則由正弦定理和等比和定理得：，所以，由得，所以，所以周長(zhǎng)的最小值為．故答案為：93．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若．(1)求的值；(2)若的面積為，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）∵，由正弦定理可得：，由余弦定理知：，，可得，則有，由，解得.（2）中由余弦定理知，又在中有，∴，化簡(jiǎn)得，∵，∴.又，由正弦定理得：，，，因在中，，，，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴周長(zhǎng)的取值范圍是．4．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由正弦定理得，故，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以；?）由（1）可知，，，又，所以，由基本不等式得：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.又，即，又，所以，所以，即周長(zhǎng)的取值范圍是.5．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求B；(2)若外接圓的周長(zhǎng)為，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)橥饨訄A的周長(zhǎng)為，所以外接圓的直徑為，由正弦定理得，則，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以，則．故周長(zhǎng)的取值范圍為；綜上，，周長(zhǎng)的取值范圍為.題型05銳角的對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：正弦定理三角函數(shù)輔助角公式注意角的范圍【例1】在銳角中，已知，且，求周長(zhǎng)的取值范圍【詳解】秒殺技巧：最大值等于等邊，最小值為直角時(shí)和的值，但取不到，，故，所以周長(zhǎng)大題解法：銳角的題一定要用角來(lái)解題，周長(zhǎng)，因?yàn)殇J角，所以，所以所以周長(zhǎng)【例2】在銳角中，角的對(duì)邊分別為為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，∴，即，為銳角，∴，秒殺技巧：最大值等于等腰時(shí)，有余弦定理，解得，此時(shí)周長(zhǎng)最大值為；最小值為直角時(shí)和的值，但取不到，，所以周長(zhǎng)大題解法：銳角的題一定要用角來(lái)解題，因，由正弦定理可得，所以，其中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，即：，所以，又，∴，即，故的周長(zhǎng)的取值范圍是.故選：D.【例3】在△中，角所對(duì)的邊分別為且．(1)求△的外接圓半徑；(2)若△為銳角三角形，求△周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由，可得：，即，又，所以，所以，，所以，所以△的外接圓半徑為.（2）由（1）知，，由正弦定理有，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，所以，則，所以，則，所以周長(zhǎng)的取值范圍為．【例4】在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為，且.(1)求B；(2)若為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，所以.（2）由（1）知，，在銳角中，，則，由正弦定理得，于是，而，則，即，，所以周長(zhǎng)的取值范圍為.【變式訓(xùn)練】1.在銳角三角形中，已知，，分別是角，，的對(duì)邊，且，，則三角形的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得，，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，即，而A為銳角，所以，因?yàn)楦鶕?jù)正弦定理，所以，因?yàn)槿切沃荛L(zhǎng)為，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，即，，所?故選：C.2.已知銳角的三個(gè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由正弦定理得，則，所以，即，由于，所以，所以，則，，由于，所以.（2）若，由正弦定理得，所以，所以三角形的周長(zhǎng)為，由于三角形是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的面積為，且為銳角三角形，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，化?jiǎn)可得，由余弦定理得，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，B∈0,π，所以.（2）因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故其外接圓半徑為，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，故，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，則，即的周長(zhǎng)的取值范圍為.4.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.(1)求角；(2)若外接圓的直徑為，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，又由余弦定理得，又因?yàn)锽∈0,π，所以.（2）方法一：因?yàn)橥饨訄A的直徑為，由正弦定理得，則，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，由三角形性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故周長(zhǎng)的取值范圍為.方法二：因?yàn)橥饨訄A的直徑為，由正弦定理得，則，因?yàn)椋傻?，所以，所以，故周長(zhǎng)的取值范圍為.題型05銳角的非對(duì)邊對(duì)角求周長(zhǎng)最值范圍問(wèn)題解｜題｜策｜略解題思路：秒殺法：直接畫(huà)兩個(gè)直角三角形就出來(lái)了，都是開(kāi)區(qū)間，取不到解答題解法：正弦定理，所有邊都換為角，最后化成一個(gè)角，然后用二倍角展開(kāi)，化為，利用單調(diào)性【精選例題】【例1】在銳角中，已知，且，求周長(zhǎng)的取值范圍秒殺技巧：當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以所以解答題解法：由正弦定理得所以周長(zhǎng)因?yàn)殇J角，所以，因單調(diào)遞減，所以【例2】已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，向量，，且.(1)求角C的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，利用正弦定理角化邊得，又，，則，又為銳角三角形，故.（2）由正弦定理得，，由于為銳角三角形，則，又，解得，所以，而，即，，故的取值范圍為.【例3】已知函數(shù).在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足.(1)求A的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）.由，即.為銳角三角形，，..（2）由正弦定理，.，.，.是銳角三角形，，且.，，，...綜上，的取值范圍為.【變式訓(xùn)練】1.已知為銳角三角形，是角分別所對(duì)的邊，若，且，則的取值范圍是．【答案】【詳解】在銳角中，由，得，即，由正弦定理得，而，則，又，則有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，則，由，得，即，于是，所以的取值范圍是.故答案為：2．已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，，則周長(zhǎng)的取值范圍為．【答案】【詳解】由，得，化簡(jiǎn)為，因?yàn)闉殇J角，所以，所以，即，因?yàn)闉殇J角，所以．由正弦定理，得，，故的周長(zhǎng)為.因?yàn)榍覟殇J角三角形，所以，，因?yàn)?，整理得，解得，所以，故，所以，即周長(zhǎng)的取值范圍為．故答案為：.3．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并加以解答．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，______．(1)求角；(2)若是銳角三角形，且，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）若選條件①，由正弦定理得，所以，即，因?yàn)?，所以．若選條件②，由余弦定理，所以，即，，所以，因?yàn)?，所以．若選條件③，由正弦定理得，所以，又因?yàn)?所以，又，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)槭卿J角三角形，，所以，所以，由正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，所以，即的取值范圍為?．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意知中，，即，即，故，而；（2）由（1）知，而，故由正弦定理得，則，由為銳角三角形，則，則，故的周長(zhǎng)，而，故，故的周長(zhǎng)的取值范圍為.題型06解三角形中的類(lèi)中線問(wèn)題處理策略解｜題｜策｜略①向量法：在用來(lái)求范圍最值時(shí)很方便若在中，是的中線，那么就是若在中，，那么就是若在中，，那么就是用向量表示出來(lái)后再平方，結(jié)合向量數(shù)量積和余弦定理，再利用基本不等式求解②用兩次余弦定理：對(duì)類(lèi)中線所對(duì)應(yīng)的小角分別在小三角形和大三角形中用余弦定理，求值的時(shí)候比較方便③余弦值互為相反數(shù)：對(duì)于類(lèi)中線（爪形三角形）類(lèi)解三角形題目，可以利用鄰補(bǔ)角余弦值互為相反數(shù)列方程④等面積法處理：對(duì)于類(lèi)中線（爪形三角形）類(lèi)解三角形題目，還可以利用大三角形面積等于兩個(gè)小三角形面積求解【精選例題】【例1】在中，，若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的取值范圍【詳解】因是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以【例2】在銳角中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的取值范圍【詳解】，由余弦定理可得，所以因，所以，因銳角，，所以所以，所以【例3】（多選題）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，，，，D在線段上，且滿足平分．則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，在中，由正弦定理可得，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，則，由于，，則，由于，，則，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋谥?，由余弦定理：，即，故C不正確；對(duì)于D，由于，所以，解得（負(fù)數(shù)舍去）；因?yàn)樵诰€段上，且滿足平分．則在中，由等面積可得：，即，解得：，故D正確.故選：ABD.【例4】（多選題）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，點(diǎn)在線段上，且，則（

）A．角的大小為B．若為的角平分線，則C．若，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為D．若，則的周長(zhǎng)的最大值為【答案】ABC【詳解】選項(xiàng)A：若，即，，故，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以，.故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B：根據(jù)題意，由于，即.故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C：若，則.在中，由正弦定理得：，，由于，則的長(zhǎng)度的取值范圍為.故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D：若，根據(jù)等面積法有，即.由余弦定理得：，整理可有，故，的周長(zhǎng).又因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），解得，故的周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最小值為.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC【例5】記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)椋?，即．又因?yàn)?，所以．?）兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②，由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．【例6】已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D是邊上一點(diǎn)，，，，且．(1)若，證明：；(2)在（1）的條件下，且，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）

在中，由正弦定理得，則，在中，由正弦定理得，則，因?yàn)?，所以，而．所以，即．?）由，得，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，由，，即，整理得，，在中，由余弦定理得，∴，故，即，所以.【例7】在中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若.(1)求角；(2)若點(diǎn)M在邊上BC滿足，且，求面積的最大值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由，由正弦定理得，即，所以，又，所以；（2）法一：由M在邊BC上滿足，可得，兩邊平方可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以，所以，即面積的最大值為.法二：由，則，由余弦定理可得，即，可得，又因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以，所以，即面積的最大值為.【例8】在中，的對(duì)邊分別為.（1）若，求的值；（2）若的平分線交于點(diǎn)，求長(zhǎng)度的取值范圍.【詳解】（1）已知，由正弦定理可得，，，，，即，.（2）由（1）知，由，則.設(shè)，，，，.【變式訓(xùn)練】1.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求；（2）若的面積為，求邊上的中線的長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，，所?（2）由，所以，由（1），所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長(zhǎng)為：.2.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）設(shè)，若點(diǎn)M是邊上一點(diǎn)，，且，求的面積．【詳解】（1）．（2）如圖所示：因?yàn)?，所以，．又，所以．在中，由余弦定理得，即．①又，所以，兩邊平方得，即，所以．②，②－①得，所以，代入①得，在中，，所以是以為直角的三角形，所以的面積為．3．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且．(1)求；(2)若為的中點(diǎn)，且，求的面積．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，化?jiǎn)得．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以．?）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，等式兩邊平方得，即①．在中，由余弦定理得②，聯(lián)立①②解得，所以．4.在中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，面積是面積的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）,1【詳解】（1），，∵，，∴．由正弦定理可知.（2）∵，，∴．設(shè)，則，在△中，由余弦定理可知，①，在△中②，解得，即．5.在中，記角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，又，所?（2）由題意設(shè)，，，由（1）得，在中由余弦定理可得：

①因?yàn)?，則，即

②，聯(lián)立①②解得：，則，，是等邊三角形，，的面積是．6.在，中，記角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角；(2)已知點(diǎn)在邊上，且，，，求的面積.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?由正弦定理可得,因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,即,則又,所以，故，則.（2）設(shè)，在中利用余弦定理得，，在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，即②，將①式代入②式化簡(jiǎn)得③，聯(lián)立①③解得，故，故.7.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且(1)求角B；(2)若點(diǎn)D在上，為的角平分線，，求的最小值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，?a+1c=12，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.8.在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，，且，為線段上一點(diǎn).(1)求角的大??；(2)若為角的角平分線，，的周長(zhǎng)為15，求的長(zhǎng).【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：，，且，，由正弦定理得，，，，在三角形中，，，，∵，.（2）解：，，由余弦定理得，即，解得.為角的角平分線，，∵，∴，∴，得.題型07解三角形中的外接圓問(wèn)題解｜題｜策｜略遇到有關(guān)外接圓問(wèn)題：我們要想到正弦定理【精選例題】【例1】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，且，所以，由正弦定理，可得，即，所以，由，所以，則外接圓的半徑為，所以外接圓的面積為．故選：C.【例2】中，，角的平分線交于點(diǎn)，若，則外接圓的面積是．【答案】【詳解】因?yàn)榻堑钠椒志€交于點(diǎn)，所以，又，所以，設(shè)，則，所以，即，即，所以，即，又，所以，所以，則，所以，所以，所以外接圓的半徑，則外接圓的面積為.故答案為：【例3】在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】由題意可知，，，，，，，.故選：B.【例4】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且(1)求；(2)若的外接圓半徑為，周長(zhǎng)為，且，求.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?故，所以.因?yàn)椋?，又，所?（2）由正弦定理可知，因?yàn)椋?，所?所以又，所以，所以，故.【例5】在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，是的外心.(1)若，求的最小值.(2)設(shè)，.①求的面積；②用向量，表示向量.【答案】(1)4；(2)①；②或【詳解】（1）如圖，設(shè)外接圓的半徑為，且，因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，解得，則，由余弦定理得，同理可得，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4.（2）①由正弦定理得，可得，，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?，所以，解得，因?yàn)闉槿叺闹写咕€的交點(diǎn)，所以由余弦定理得，，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，，則，故的面積為.②由已知得，，由已知得，則，由數(shù)量積的定義得，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，解得或，當(dāng)、在兩側(cè)時(shí)，，當(dāng)、在同側(cè)時(shí)，.【變式訓(xùn)練】1.在中，若，且，則的外接圓的面積為．【答案】【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，設(shè)，，，，則，由正弦定理得，（為外接圓半徑），得，則外接圓面積為，故答案為：2.銳角的三個(gè)內(nèi)角是，滿足，的外接圓的圓心為，半徑是1.(1)求角的大小及的值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)；；(2)【詳解】（1）(1)由，得，;由正弦定理得，即，又銳角中，，，由圓周角定理可得，，又，.（2）.是銳角三角形，，，又在上單調(diào)遞減，所以，即.故的取值范圍是.3.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)若為的外心，為邊的中點(diǎn)，且，求周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，由得：，所以，又，所以，即，因?yàn)椋?，所以解?（2）因?yàn)闉榈耐庑?且由上問(wèn)知，所以,設(shè)（為的外接圓半徑），因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，且，所以在中易得：，所以，即，解得：，在中由余弦定理可得：，解得，在中由余弦定理可得：，由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即.所以周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故周長(zhǎng)的最大值為.4．如圖，在中，，點(diǎn)為外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在直線兩側(cè)）．

(1)若，求的值；(2)若，求四邊形周長(zhǎng)的最大值；(3)若，求．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）根據(jù)向量數(shù)量積公式可得：.（2）因?yàn)?，所以，所以，所?根據(jù)余弦定理，所以.因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，所以.設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以解得.所以四邊形的周長(zhǎng)為.（3）由得，所以且，即，，所以，得到四邊形為等腰梯形，.設(shè)，在中，，在中，，所以.所以.題型08解三角形中的內(nèi)切圓問(wèn)題解｜題｜策｜略遇到有關(guān)內(nèi)切圓問(wèn)題：我們要想到等面積法，【精選例題】【例1】中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，則的內(nèi)切圓半徑的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，由題意可得，由余弦定理可得，而，故，由余弦定理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，則，其中，故，令，故.故選：B【例2】已知正n邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【詳解】設(shè)是內(nèi)切圓圓心，、分別是內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑，則，，，，在中，，即，，，即，，，即.故選：D.【例3】（多選題）在中，，，，I為的內(nèi)心，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，設(shè)，由余弦定理有，解得或（舍去），故A正確；對(duì)于B，如圖所示，設(shè)過(guò)點(diǎn)向三角形的三邊引垂線，設(shè)垂足分別為，內(nèi)切圓半徑，，則，因?yàn)?，所以，，由等面積法可知，，解得，所以，故B正確；對(duì)于C，由于平分，所以可設(shè)，由B選項(xiàng)可知，，解得，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，所以，即，而，同理可得，從而，，所以，故D正確.故選：ABD.【例4】在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大?。?2)若的外接圓半徑為4，且，求的面積．【答案】(1)；(2)【詳解】（1），根據(jù)正弦定理的變形公式可得，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，則，即；（2）因?yàn)?，所以，則，即，又，所以，因?yàn)榈耐饨訄A半徑為，所以由正弦定理可得，所以，所以.【例5】在中，角A，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足，的外接圓的半徑為.(1)求角的值；(2)如果，求的面積；(3)求內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）由及正弦定理，可得又因?yàn)樗?，故，由于，所?（2）由已知，由余弦定理可得①又由可得②，由①②可解得，所以.（3）因?yàn)?，所以，即由可知，即，從而，又因?yàn)椋?，因此，從而的最大值為，?dāng)且僅當(dāng)，即為正三角形時(shí)等號(hào)成立【變式訓(xùn)練】1．（多選題）已知的面積為，若，，則（）A．的外接圓半徑為1B．C．D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】CD【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，內(nèi)切圓的半徑為，選項(xiàng)A，由正弦定理，可得，，，又，所以，則.因?yàn)椋?，則，又，解得，所以A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由已知得，即，又，，所以，則，又，所以，，則，所以，，則，所以B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由已知，又，所以，，所以，所以C正確；選項(xiàng)D，由已知為直角三角形，斜邊長(zhǎng)，則，又，即，解得，所以D正確.故選：CD.2．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其內(nèi)切圓半徑，則邊長(zhǎng)的最小值為．【答案】【詳解】解法一：由，即，則，同理，而，解得，設(shè)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，而，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，由圖可知，，則邊長(zhǎng)的最小值為.解法二：由，得，由，得①，由余弦定理有，則②，顯然．由①②整理得，解得或（舍去），則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則邊長(zhǎng)的最小值為.故答案為；.3．中，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，、分別為的外心和內(nèi)心，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的長(zhǎng)度為.【答案】【詳解】如圖：由，，可得，所以在的垂直平分線上.設(shè)為的中點(diǎn)，可得，所以，從而.由正弦定理可得，所以，當(dāng)，，要使值最大時(shí)，則為銳角，所以，從而為等腰直角三角形，所以.所以、均在斜邊的垂直平分線上，即為內(nèi)切圓的半徑，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，即，解得，即.故答案為：4．在中角A，B，C分別對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)記為a，b，c，，，取，，已知.(1)求.(2)在邊上取一點(diǎn)D，使為銳角且有與的外接圓半徑之比為，設(shè)點(diǎn)E為的內(nèi)心，求的面積.【答案】(1)；(2)【詳解】（1），，，所以，根據(jù)正弦定理可變形為：，移項(xiàng)可得：，根據(jù)兩角和的正弦公式可得：，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，即，所以；?）設(shè)外接圓的半徑為，的外接圓半徑為，所以，根據(jù)外接圓半徑公式，在中，，，則，，在中，，所以，，在中，，則，，解得或，因?yàn)闉殇J角，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為的內(nèi)心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，如圖所示：，根據(jù)三角形面積公式，又，解得，，所以的面積為.5．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求A；(2)若，求三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得：，整理可得，則，且，故．（2）由余弦定理，即，整理可得．設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，則，即，由正弦定理可知．．因?yàn)椋瑒t，可得，所以．（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．在中，，點(diǎn)為三角形的外接圓的圓心，若，且，則的面積的最大值為（）A．2 B．8 C．16 D．18【答案】A【分析】首先取的中點(diǎn)，則，根據(jù)平面向量基本定理確定點(diǎn)三點(diǎn)共線，再結(jié)合條件和平面幾何關(guān)系，確定，再表示的面積，求最大值.【詳解】取的中點(diǎn)，如圖．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，因?yàn)槭侨切蔚耐饨訄A的圓心，所以，設(shè)，則，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故面積最大值為2．故選：A．2．(25-26高三上·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)·)在中，“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不必要條件，又不充分條件【答案】C【分析】利用二倍角公式可由化簡(jiǎn)成，結(jié)合充要條件的概念及三角形的性質(zhì)即可得解.【詳解】等價(jià)于，等價(jià)于，又在中，，所以等價(jià)于，由正弦定理得等價(jià)于，等價(jià)于，故“”是“”的充要條件.故選：C3．(25-26高三上·重慶第一中學(xué)校·期中)在中，、、分別為邊、、所對(duì)的內(nèi)角，若、、成等比數(shù)列，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得到，再結(jié)合余弦定理、基本不等式即可求解.【詳解】由題意可得：，所以，又，所以，故選：B4．若點(diǎn)為的外心，且滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)，以及平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，對(duì)向量等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)余弦定理解三角形，求出角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)，求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，所以，因?yàn)椋?，即，即，化?jiǎn)得，可知，化簡(jiǎn)得，根據(jù)基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，，所以，所以的最大值?故選：C.5．(25-26高三上·遼寧名校聯(lián)盟·期中)若內(nèi)一點(diǎn)滿足，則稱(chēng)點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．如圖，已知在中，，，，點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，為的布洛卡角．若，且滿足，則其布洛卡角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，則可得，再借助余弦定理的推論即可得，從而可得，則可用表示出，最后利用正弦定理計(jì)算即可得.【詳解】因?yàn)椋?，得，點(diǎn)滿足，則，在與中，，，所以，則，即，所以，且；在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，，在中，由正弦定理得，化?jiǎn)得，解得．故選：C．6．在銳角三角形中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知及正弦定理、三角恒等變換得，再根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)得到、，進(jìn)而有，最后由正弦定理、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求范圍.【詳解】由已知及正弦定理，得，因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，，所以，所以，故，則，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以．故選：A7．在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，為的面積，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用三角形面積公式,對(duì)已知條件轉(zhuǎn)化，再結(jié)合余弦定理得到，利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到關(guān)于的三角函數(shù)式，最后利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系得到【詳解】由題意，，由余弦定理：，兩式相加得：，其中，因?yàn)?，，又，所以，于是，所以，故選：A.8．(25-26高三上·遼寧重點(diǎn)高中點(diǎn)石聯(lián)考·期中)如圖，1752年，兩位法國(guó)天文學(xué)家為了測(cè)量地球與月球之間的距離，利用幾乎位于同一經(jīng)線上，且緯度差約為的柏林（點(diǎn)）與好望角（點(diǎn)）為基點(diǎn)，測(cè)量出，的大小.設(shè)地球半徑為，則地球表面與月球表面的最小距離約為（

）

A．B．C．D．【答案】A【分析】由正弦定理，求出，，設(shè)，根據(jù)正弦定理求出，根據(jù)求出，再減去地球半徑即可.【詳解】設(shè)地球球心為，月球表面上的點(diǎn)為，因?yàn)榘亓峙c好望角緯度差約為，可以將其看作進(jìn)行計(jì)算，

則，由地球半徑為，則，在中，由正弦定理，，解得，，設(shè)，在中，由正弦定理，，解得，在中，由正弦定理，，解得，因?yàn)?，則，故，因此，而地球表面與月球表面的最小距離為減去地球半徑，故答案為.故選：A.9．(25-26高三上·安徽六安第一中學(xué)·月考)在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且的取值范圍是，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件可得，然后由三角函數(shù)和差化積公式可得，然后可得，然后結(jié)合三角形的正弦定理和面積公式可得答案.【詳解】的內(nèi)角，，滿足，，，，，化為，．設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得：，由可得：，則，即，則由，及正弦定理得，即，面積滿足，故選：A二、多選題10．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】通過(guò)已知條件，結(jié)合二倍角公式和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，及不等式性質(zhì)，推導(dǎo)出角之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷選項(xiàng)的正確性.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得，即又因?yàn)?，所以，即，整理得：，因?yàn)?，所?選項(xiàng)A：，與推導(dǎo)結(jié)果一致.

正確.選項(xiàng)B：由，得，因?yàn)?，因此，?

正確.選項(xiàng)C：由，可知均為銳角；又因?yàn)椋忠驗(yàn)?，即，所?

C正確.選項(xiàng)D：因?yàn)椋ㄒ颍们?，但無(wú)法確定和的大小，故無(wú)法推出.

錯(cuò)誤.故選：ABC.11．在中，角的對(duì)應(yīng)邊分別為，則（

）A．若，，則周長(zhǎng)的最大值為18B．若，，為的中點(diǎn)，且，則C．若是銳角三角形且，，則的最小值為D．若角的內(nèi)角平分線交于，且，，則面積的最大值為3【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由正弦定理得，從而由結(jié)合三角恒等變換公式得，進(jìn)而得解；對(duì)于B，由，即結(jié)合余弦定理即可求；對(duì)于C，由已知得，再應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律、定義有，即可判斷；對(duì)于D，設(shè)，由正弦定理和得，接著由余弦定理得，從而由一元二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合即可得.【詳解】對(duì)于A，由題以及正弦定理得，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故周長(zhǎng)的最大值為18，正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以即，所以，正確；

對(duì)于C，由，且為銳角三角形，則，

所以，而，所以，顯然在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，所以由正弦定理得，所以，由題可知，所以，

所以由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為3，正確.故選：ABD12．(25-26高三上·廣東廣州外國(guó)語(yǔ)學(xué)?！?在中，、、是角、、的對(duì)應(yīng)邊，滿足，，，則（

）A． B．C． D．的面積為【答案】AC【分析】先根據(jù)證明，利用勾股定理可判斷A選項(xiàng)；由已知條件得出，結(jié)合、誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式可求出、的值，可判斷B選項(xiàng)；由可判斷C選項(xiàng)；由正弦定理求出，，結(jié)合以及勾股定理求出的值，再結(jié)合三角形的面積公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】先證明，由題意，，得，即，即，即，所以，可得，即，若，則，上式可轉(zhuǎn)化成，令，則可知矛盾，從而.對(duì)于A選項(xiàng)，由于，根據(jù)勾股定理得，此時(shí)，而右邊為，因左邊右邊，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以或，故或，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，因?yàn)闉殇J角，所以，，則，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，為直角，則，，所以，所以，，所以，可得，故的面積為，D錯(cuò).故選：AC.13．(25-26高三上·吉林長(zhǎng)春第二中學(xué)·調(diào)研)已知中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，并且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】A：取計(jì)算并判斷；B：利用同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，分析單調(diào)性可得的關(guān)系，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；C：計(jì)算并判斷的正負(fù)，再由正弦定理即可判斷；D：根據(jù)的范圍結(jié)合余弦定理可判斷與的關(guān)系，再結(jié)合角的大小和不等式性質(zhì)以及正弦定理即可判斷.【詳解】對(duì)于A：取，此時(shí)，因?yàn)?，所以滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，由正弦定理可知，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，所以，可知，所以，所以，由正弦定理可知，故D正確；故選：BCD.14．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，則下列選項(xiàng)中正確的有（

）A．B．面積的最大值為C．的最大值為D．角的平分線交于點(diǎn)，則的最大值為【答案】BCD【分析】結(jié)合題意并利用兩角和的正切公式判斷A，利用余弦定理結(jié)合重要不等式判斷B，利用余弦定理結(jié)合基本不等式判斷C，作出符合題意的圖形，結(jié)合題意并利用換元法得到，最后利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合求解最大值即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則，可得，得到，由兩角和的正切公式得，即，由誘導(dǎo)公式得，解得，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由余弦定理得，而，可得，由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，則，解得，由三角形面積公式得，得到面積的最大值為，故B正確，對(duì)于C，由已知得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，得到，則，可得，解得，故C正確，對(duì)于D，如圖，作出符合題意的圖形，設(shè)，因?yàn)槭堑慕瞧椒志€，所以，由等面積公式得，化簡(jiǎn)得，即，由已知得，即，可得，令，則，而，則在上單調(diào)遞增，得到，即的最大值為，故D正確.故選：BCD三、填空題15．已知所對(duì)的三邊為a，b，c，且滿足，則的最小值為【答案】【分析】先利用正弦定理、余弦定理和題設(shè)條件將所求式化成，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求出的范圍，進(jìn)而求得的范圍，即可求得最小值.【詳解】由正弦定理，可得，為的外接圓半徑，又由和余弦定理，，代入上式，可得，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則而，故，所以，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：.16．(25-26高三上·云南臨滄第一中學(xué)·期中)在銳角中，分別是角的對(duì)邊，且，則的最小值是．【答案】【分析】利用正弦定理對(duì)進(jìn)行處理得到，然后根據(jù)為銳角三角形得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式和換元法得到，最后利用基本不等式求最值即可.【詳解】對(duì)兩邊同乘得，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，解得，，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則該三角形內(nèi)切圓面積的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡(jiǎn)求得，進(jìn)而求得三角形內(nèi)切圓半徑的關(guān)系式，利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理及，得，則，整理得，而，即，因此，，設(shè)該三角形內(nèi)切圓半徑為，則，又，于是，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以該三角形的內(nèi)切圓面積的最大值為.故答案為：18．在中，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，則，若，則的面積最大值為.【答案】【分析】結(jié)合題意，利用三角形面積比可得的值，再利用坐標(biāo)法求出點(diǎn)的軌跡為圓，再結(jié)合圓的性質(zhì)可得解.【詳解】根據(jù)題意，可知，如圖，不妨設(shè),分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：，故得：.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，即，化簡(jiǎn)得，，在圖中作出其軌跡，根據(jù)圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可取上半部分進(jìn)行研究，根據(jù)的底，則當(dāng)?shù)母咦畲髸r(shí)，其面積最大，顯然當(dāng)點(diǎn)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)其高等于圓的半徑4，此時(shí)三角形面積為.故答案為：；12四、解答題19．(23-24高三上·福建廈門(mén)科技中學(xué)（翔安校區(qū)）·期中)在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是，，，的面積記為S，已知，.(1)求；(2)若邊上的中線長(zhǎng)為，為角的角平分線，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形面積公式以及正弦定理即可計(jì)算得出，即可得；（2）利用平面向量的線性運(yùn)算可得的值，再由等面積法結(jié)合，代入計(jì)算可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，由正弦定理可得，即，所以．因?yàn)椋裕?）設(shè)AE為BC邊上的中線，可得，因?yàn)?，所以由正弦定理可得則，所以，解得，．因?yàn)?，所以，所?20．在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為，已知且.(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線的長(zhǎng)；(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用正弦定理進(jìn)行角化邊，再利用余弦定理得解；（2）先利用余弦定理求出，再利用等面積法，即可求解；（3）用余弦定理、中線向量定理、正弦定理、輔助角公式等，將的范圍轉(zhuǎn)化為的范圍，再結(jié)合銳角三角形以及角，求得角的范圍，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，又由余弦定理得，，?（2）由余弦定理可知，，代入，可得，解得.設(shè)，，即，解得，因此.（3）由余弦定理得，，