專題01二項分布(典型例題+題型歸類練)目錄一、必備秘籍二、典型例題類型一：利用二項分布求分布列類型二：服從二項分布的隨機變量概率最大問題類型三：建立二項分布模型解決實際問題三、題型歸類練一、必備秘籍1、伯努利試驗與二項分布重伯努利試驗的定義①我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.②將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為重伯努利試驗.2、二項分布一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為（）如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布（binomialdistribution），記作。二、典型例題類型一：利用二項分布求分布列例題1．（2022·全國·模擬預測）交通信號燈中的紅燈與綠燈交替出現(xiàn).某汽車司機在某一線路的行駛過程要經(jīng)過兩段路，若已知路段共要過個交通崗，且經(jīng)過交通崗時遇到紅燈或綠燈是相互獨立的，每次遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，在路段的行駛過程中，首個交通崗遇到紅燈的概率為，且上一交通崗遇到紅燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為；若上一交通崗遇到綠燈，則下一交通崗遇到紅燈的概率為，遇到綠燈的概率為，記段線路中第個交通崗遇到紅燈的概率為.(1)求該司機在路段的行駛過程中遇到紅燈次數(shù)的分布列與期望；例題2．（2022·江蘇·南京市第五高級中學模擬預測）某學校實行自主招生，參加自主招生的學生從8個試題中隨機挑選出4個進行作答，至少答對3個才能通過初試已知甲、乙兩人參加初試，在這8個試題中甲能答對6個，乙能答對每個試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對每個試題互不影響.（1）試通過概率計算，分析甲、乙兩人誰通過自主招生初試的可能性更大；（2）若答對一題得5分，答錯或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列及數(shù)學期望和方差.例題3．（2022·全國高三專題練習（理））一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是.（1）設為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求的分布列、期望、方差；（2）設為這名學生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求的分布列；（3）求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.類型二：服從二項分布的隨機變量概率最大問題例題1．（2022·山西·懷仁市第一中學校一模（理））在傳染病學中，通常把從致病刺激物侵入機體或者對機體發(fā)生作用起，到機體出現(xiàn)反應或開始呈現(xiàn)該疾病對應的相關癥狀時止的這一階段稱為潛伏期.一研究團隊統(tǒng)計了某地區(qū)1000名患者的相關信息，得到如下表格：潛伏期（單位：天）人數(shù)501502003002006040(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，結果四舍五入為整數(shù)）；(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否超過8天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為潛伏期與患者年齡有關；潛伏期8天潛伏期天總計50歲以上（含50）10050歲以下65總計200(3)以這1000名患者的潛伏期超過8天的頻率，代替該地區(qū)1名患者潛伏期超過8天的概率，每名患者的潛伏期是否超過8天相互獨立.為了深入研究，該研究團隊隨機調查了20名患者，其中潛伏期超過8天的人數(shù)最有可能（即概率最大）是多少？附：，其中.類型三：建立二項分布模型解決實際問題例題1．（2022·全國·高三專題練習）2021年國慶期間，重慶百貨某專柜舉行慶國慶歡樂大抽獎活動，顧客到店消費1000元及以上，可參加一次抽獎活動．抽獎規(guī)則如下：從裝有10個形狀大小完全相同的小球（1個紅球，2個白球，7個黑球）的抽獎箱中，一次性抽出3個球．其中1紅2白，則全免單，1紅1白1黑，則享受5折優(yōu)惠，1紅2黑，則享受7折優(yōu)惠，其余情況則享受8折優(yōu)惠．(1)若某位顧客消費價格為1000元的商品，求該顧客實際付款金額的分布列與數(shù)學期望；(2)若顧客通過抽獎享受8折優(yōu)惠，則每消費滿1000元售貨員可獲得40元的提成；若顧客通過抽獎享受7折，5折或免單優(yōu)惠，則每消費滿1000元售貨員可獲得20元提成．若某售貨員在某天可以接待10名消費滿1000元，不滿2000元的顧客，則該售貨員可能獲得的平均提成為多少元？三、題型歸類練1．（2022·上海奉賢·高三期中）2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動，某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100名參賽學生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競賽得分在為“良好”，競賽得分在為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學生中，使用分層抽樣抽取10個學生，問各抽取多少人？(2)在（1）條件下，再從這10學生中抽取6人進行座談，求至少有3人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(3)以這100名參賽學生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學生被抽中的概率.現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.2．（2023·全國·高三專題練習）某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設置了抽獎環(huán)節(jié)．在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案．抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行．活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民’卡的概率是．”(1)求抽獎者獲獎的概率；(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值．3．（2022·重慶·高三階段練習）從2008年的夏季奧運會到2022年的冬季奧運會，志愿者身影成為“雙奧”之城的“最美名片”.十幾年間志愿精神不斷深入人心，志愿服務也融入社會生活各個領域.2022年的北京冬奧會共錄用賽會志愿者18000多人.中學生志愿服務已經(jīng)納入學生綜合素質評價體系，為了解中學生參加志愿服務所用時間，某市教委從全市抽取部分高二學生調查2020—2021學年度上學期參加志愿服務所用時間，把時間段按照，，，，分成5組，把抽取的600名學生參加志愿服務時間的樣本數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，用每一個小矩形的中點值代替每一組時間區(qū)間的平均值，估計這600名高二學生上學期參加志愿服務時間的平均數(shù).并寫出這600個樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)的一個估計值；(2)若一個學期參加志愿服務的時間不少于3.5小時視為“預期合格”，把頻率分布直方圖中的頻率視為該市高二學生上學期參加志愿服務時間的概率，從全市所有高二學生中隨機抽取3名學生，設本學期這3名學生中達到“預期合格”的人數(shù)為，求的分布列并求數(shù)學期望；4．（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）2022年冬奧會剛剛結束，比賽涉及到的各項運動讓人們津津樂道．高山滑雪（Alpine

Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，沿著旗門設定的賽道滑下的雪上競速運動項目，冬季奧運會高山滑雪設男子項目、女子項目、混合項目．其中，男子項目設滑降、回轉、大回轉、超級大回轉、全能5個小項，其中回轉和大回轉屬技術項目，現(xiàn)有90名運動員參加該項目的比賽，組委會根據(jù)報名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在前30位的運動員進入勝者組，直接進入第二輪比賽，排名在后60位的運動員進入敗者組進行一場加賽，加賽排名在前10位的運動員從敗者組復活，進入第二輪比賽，現(xiàn)已知每位參賽運動員水平相當．(1)從所有參賽的運動員中隨機抽取5人，設這5人中進入勝者組的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復活？試用你所學過的數(shù)學和統(tǒng)計學理論進行分析．5．（2022·江西鷹潭·二模（理））迎接冬季奧運會期間，某市對全體高中學生舉行了一次關于冬季奧運會相關知識的測試．統(tǒng)計人員從全市高中學生中隨機抽取200名學生成績作為樣本進行統(tǒng)計，測試滿分為100分，統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)所有學生的測試成績都在區(qū)間［40，100]內，并制成如下所示的頻率分布直方圖.(1)估計這200名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值為代表）；(2)在這200名學生中用分層抽樣的方法從成績在，，的三組中抽取了10人，再從這10人中隨機抽取3人，記X為3人中成績在的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；(3)規(guī)定成績在的為等級，成績在的為等級，其它為等級.以樣本估計總體，用頻率代替概率.從所有參加考試的同學中隨機抽取10人，其中獲得等級的人數(shù)恰為人的概率為，當為何值時的值最大？6．（2022·江西·南昌十中模擬預測（理））2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，為引導和帶動青少年重溫共青團百年光輝歷程，某校組織全體學生參加共青團百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取了100名學生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，統(tǒng)計結果如圖所示：(1)試估計這100名學生得分的平均數(shù)；(2)從樣本中得分不低于70分的學生中，用分層抽樣的方法選取11人進行座談，若從座談名單中隨機抽取3人，記其得分在[90，100]的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學期望；(3)以樣本估計總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認為參加知識競賽的學生的得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算．現(xiàn)從所有參加知識競賽的學生中隨機抽取500人，若這500名學生的得分相互獨立，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，．7．（2022·湖北·宜昌市夷陵中學模擬預測）“紅五月”將至，學校文學社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)賽分為個人晉級賽和決賽兩個階段.個人晉級賽的試題有道“是非判斷”題和道“信息連線”題，其中道“信息連線”題是由電腦隨機給出錯亂排列的四句古詩詞和四條相關的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對，每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)機會.比賽規(guī)則為：電腦隨機同時給出道“是非判斷”和道“信息連線”題，要求參賽者全都作答，若有四道或四道以上答對，則該選手晉級成功.(1)設甲同學參加個人晉級賽，他對電腦給出的道“是非判斷”題和道“信息連線”題都有且只有一道題能夠答對，其余的題只能隨機作答，求甲同學晉級成功的概率；(2)已知該校高三（1）班共有位同學，每位同學都參加個人晉級賽，且彼此相互獨立.若將（1）中甲同學晉級的概率當作該班級每位同學晉級的概率，設該班晉級的學生人數(shù)為.①問該班級成功晉級的學生人數(shù)最有可能是多少？說明理由；②求隨機變量的方差.8．（2022·山西太原·一模（理））某校從高三年級中選拔一個班級代表學校參加“學習強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定回答1道相關問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學校參加大賽．每個班級4名選手，現(xiàn)從每個班級4名選手中隨機抽取2人回答這個問題．已知這4人中，甲班級有3人可以正確回答這道題目，而乙班級4人中能正確回答這道題目的概率均為，甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相互獨立、互不影響的．(1)求甲、乙兩個班級抽取的4人都能正確回答的概率．(2)設甲、乙兩個班級被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為，，求隨機變量，的期望，和方差，，并由此分析由哪個班級代表學校參加大賽更好．9．（2022·廣東汕頭·高三期中）新疆棉以絨長?品質好?產(chǎn)量高著稱于世.現(xiàn)有兩類以新疆長絨棉為主要原材料的均碼服裝，A類服裝為純棉服飾，成本價為120元/件，總量中有30%將按照原價200元/件的價格銷售給非會員顧客，有50%將按照8.5折的價格銷售給會員顧客.B類服裝為全棉服飾，成本價為160元/件，總量中有20%將按照原價300元/