2026年統(tǒng)計學試題庫及參考答案1.單項選擇題（每題2分，共20分）1.1某市交通部門連續(xù)30天記錄早高峰擁堵指數(shù)，數(shù)據(jù)分布右偏且存在3個明顯異常值。若希望用單一指標描述“典型擁堵水平”，下列統(tǒng)計量中最穩(wěn)健的是A.算術均值?B.中位數(shù)?C.幾何均值?D.上四分位數(shù)答案：B解析：右偏分布中均值會被極大值拉高，而中位數(shù)僅依賴排序位置，對異常值不敏感，因此穩(wěn)健性最高。1.2設隨機變量X~N(μ,σ2)，若σ未知且樣本量n=16，則μ的95%置信區(qū)間應選用的臨界值為A.z?.????B.t?.???(15)?C.t?.???(16)?D.χ2?.???(15)答案：B解析：σ未知、小樣本下使用t分布，自由度=n?1=15。1.3在線性回歸y=β?+β?x+ε中，若解釋變量x的樣本方差增大而其他條件不變，則β?的估計量方差Var(β??)將A.增大?B.減小?C.不變?D.先增后減答案：B解析：Var(β??)=σ2/Σ(xi?x?)2，分母隨x波動增大而增大，故方差減小。1.4對二項分布B(n,p)進行假設檢驗H?:p=0.3，若n=100，樣本比例p?=0.36，則檢驗統(tǒng)計量z的觀測值約為A.1.28?B.1.43?C.1.65?D.1.96答案：B解析：z=(0.36?0.3)/√(0.3×0.7/100)=0.06/0.0419≈1.43。1.5在單因素方差分析中，若組間均方MSB=120，組內均方MSE=30，則F統(tǒng)計量值為A.3?B.4?C.5?D.6答案：B解析：F=MSB/MSE=120/30=4。1.6設X與Y的Pearson相關系數(shù)r=0.85，若將X的單位由“米”改為“厘米”，則新的相關系數(shù)A.0.0085?B.0.085?C.0.85?D.85答案：C解析：線性變換不改變相關系數(shù)。1.7對某時間序列建立ARIMA(1,1,1)模型，若經差分后序列的自相關圖在滯后1階后呈指數(shù)衰減，偏自相關圖在滯后1階后截尾，則模型參數(shù)特征為A.AR系數(shù)顯著，MA系數(shù)不顯著?B.兩者均顯著?C.僅MA顯著?D.無法判斷答案：B解析：ACF指數(shù)衰減提示MA成分，PACF截尾提示AR成分，故兩者均顯著。1.8在貝葉斯框架下，若先驗分布為Beta(2,2)，似然為二項分布B(20,θ)且觀測到x=8，則后驗分布為A.Beta(10,14)?B.Beta(8,12)?C.Beta(10,12)?D.Beta(28,32)答案：A解析：Beta先驗共軛，后驗參數(shù)α=2+8=10，β=2+12=14。1.9對高維數(shù)據(jù)(p>n)進行變量選擇，下列方法中最不可能出現(xiàn)過擬合的是A.逐步回歸?B.Lasso?C.嶺回歸?D.主成分回歸答案：C解析：嶺回歸通過懲罰項收縮系數(shù)但不剔除變量，降低方差，過擬合風險最小。1.10若隨機向量X～N?(μ,Σ)，則二次型(X?μ)?Σ?1(X?μ)服從A.χ2(p)?B.t(p)?C.F(p,n?p)?D.N(0,1)答案：A解析：多元正態(tài)理論標準結論。2.多項選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）2.1下列關于非參數(shù)檢驗的描述正確的有A.Kruskal-Wallis檢驗適用于多組獨立樣本B.Wilcoxon符號秩檢驗要求總體分布對稱C.Spearman秩相關系數(shù)可衡量單調關系D.符號檢驗比Wilcoxon符號秩檢驗功效更高E.游程檢驗可用于檢測隨機性答案：A、B、C、E解析：D錯誤，符號檢驗僅利用正負號，功效低于利用秩次的Wilcoxon。2.2在經典線性模型y=Xβ+ε，ε～N(0,σ2I)下，下列結論恒成立的有A.OLS估計量β?是無偏的B.σ?2=RSS/(n?p)是σ2的無偏估計C.β?的協(xié)方差陣為σ2(X?X)?1D.當X列滿秩時β?唯一E.R2隨解釋變量增加必然增大答案：A、B、C、D解析：E錯誤，調整R2可能下降。2.3關于主成分分析(PCA)，正確的有A.主成分方向是協(xié)方差陣特征向量B.第k主成分方差等于第k大特征值C.主成分得分互不相關D.標準化與否不影響主成分順序E.主成分可解釋原始變量全部方差答案：A、B、C解析：D錯誤，標準化后量綱消失，特征值分布改變；E錯誤，通常只保留部分方差。2.4下列屬于時間序列平穩(wěn)性檢驗方法的有A.ADF檢驗?B.KPSS檢驗?C.Ljung-Box檢驗?D.PP檢驗?E.Durbin-Watson檢驗答案：A、B、D解析：C用于殘差白噪聲檢驗，E用于一階自相關。2.5在Bootstrap置信區(qū)間構造中，A.百分位區(qū)間不需要正態(tài)假設B.BCa區(qū)間可修正偏度與偏差C.重復抽樣次數(shù)B越大區(qū)間越窄D.自助樣本量必須與原始樣本量相同E.對極值量（如最大值）自助效果差答案：A、B、D、E解析：C錯誤，B增大降低蒙特卡洛誤差，但區(qū)間寬度由數(shù)據(jù)變異決定，不會無限變窄。3.填空題（每空2分，共20分）3.1設X?,…,X?為來自U(0,θ)的樣本，則θ的矩估計為________，最大似然估計為________。答案：2X?；max(X?)解析：矩估計由E(X)=θ/2反解；似然函數(shù)在θ≥max(X?)時單調減，故MLE為最大次序統(tǒng)計量。3.2在Poisson回歸中，常用________函數(shù)作為典則連接函數(shù)，其形式為________。答案：對數(shù)；log(μ)3.3若隨機變量T服從自由度為ν的t分布，則E(T)=________(ν>1)，Var(T)=________(ν>2)。答案：0；ν/(ν?2)3.4對p維數(shù)據(jù)做聚類，若采用歐氏距離且變量量綱差異大，應先進行________處理，常用方法是________。答案：標準化；Z-score標準化3.5在控制圖應用中，若過程均值發(fā)生1.5σ偏移，則傳統(tǒng)3σ控制圖的平均運行長度ARL≈________。答案：14.0解析：通過正態(tài)分布計算P(out|shift)=0.0668，ARL=1/0.0668≈14.0。4.計算與證明題（共45分）4.1（8分）設X?,…,X?i.i.d.～Exp(λ)，其pdf為f(x)=λe^(?λx),x>0。(1)求λ的矩估計λ?；(2)證明λ?是λ的相合估計。答案與解析：(1)E(X)=1/λ，令樣本均值X?=1/λ?，解得λ?=1/X?。(2)由大數(shù)定律X?→1/λa.s.，連續(xù)映射定理得1/X?→λa.s.，故λ?相合。4.2（10分）某電商平臺欲評估新版推薦算法是否提升轉化率。隨機抽取10000名用戶，均分兩組：對照組：5000人，轉化218人；實驗組：5000人，轉化256人。(1)建立假設檢驗并計算檢驗統(tǒng)計量；(2)求p值并給出結論（α=0.05）；(3)計算兩組轉化率差值的95%置信區(qū)間。答案與解析：(1)H?:p?=p?，H?:p?≠p?。p??=218/5000=0.0436，p??=256/5000=0.0512，合并率p?=(218+256)/10000=0.0474，z=(0.0512?0.0436)/√[0.0474×0.9526×(1/5000+1/5000)]=0.0076/0.00426≈1.78。(2)雙側p=2×P(Z>1.78)=2×0.0375=0.075>0.05，不拒絕H?，尚不能認為新版顯著提升轉化率。(3)差值p???p??=0.0076，標準誤SE=√[p??(1?p??)/5000+p??(1?p??)/5000]=0.00428，95%CI：0.0076±1.96×0.00428=[?0.0008,0.0160]，包含0，與檢驗結論一致。4.3（10分）已知隨機向量Z=[X,Y]?服從二元正態(tài)，且μ=[2,3]?，Σ=[[4,2.4],[2.4,9]]。(1)求X與Y的相關系數(shù)ρ；(2)求條件分布Y|X=x的期望與方差；(3)若觀測到X=3，預測Y并給出95%預測區(qū)間。答案與解析：(1)ρ=2.4/√(4×9)=2.4/6=0.4。(2)條件期望E(Y|X=x)=μ_Y+ρσ_Y/σ_X(x?μ_X)=3+0.4×3/2(x?2)=3+0.6(x?2)=0.6x+1.8；條件方差Var(Y|X=x)=σ_Y2(1?ρ2)=9×(1?0.16)=7.56。(3)當x=3，?=0.6×3+1.8=3.6，95%區(qū)間：3.6±1.96×√7.56=3.6±5.39→[?1.79,8.99]。4.4（8分）設線性模型y=Xβ+ε，ε～N(0,σ2I)，X為n×p列滿秩矩陣。記H=X(X?X)?1X?為帽子矩陣。(1)證明tr(H)=p；(2)證明殘差向量e=(I?H)y的協(xié)方差陣Cov(e)=σ2(I?H)。答案與解析：(1)tr(H)=tr[X(X?X)?1X?]=tr[(X?X)?1X?X]=tr(I_p)=p。(2)Cov(e)=Cov[(I?H)y]=(I?H)Cov(y)(I?H)?=σ2(I?H)2=σ2(I?H)，因I?H冪等對稱。4.5（9分）某連鎖超市收集36個月銷售數(shù)據(jù)（單位：百萬元），建立如下趨勢+季節(jié)模型Y_t=T_t+S_t+ε_t，其中T_t=α+βt，季節(jié)因子S_t滿足ΣS_t=0，ε_t～N(0,σ2)。經最小二乘估計得α?=12.3，β?=0.45，季節(jié)因子估計值S??=?2.1，S??=?1.0，S??=1.4，S??=1.7（按季度循環(huán)）。(1)預測2026年第三季度銷售額；(2)若σ?=1.2，給出該預測值的95%置信區(qū)間；(3)簡述如何檢驗“季節(jié)效應是否顯著”。答案與解析：(1)2026年第三季度對應t=37+2=39（假設2022Q1為t=1），T???=12.3+0.45×39=29.85，S??=1.4，預測值?=29.85+1.4=31.25（百萬元）。(2)預測標準誤=σ?=1.2，區(qū)間：31.25±1.96×1.2=[28.90,33.60]。(3)建立方差分析模型，將季節(jié)作為因子，檢驗H?:S?=S?=S?=S?=0，用F檢驗比較全模型與無季節(jié)模型的RSS差異，若p<α則季節(jié)效應顯著。5.綜合應用題（共40分）5.1（15分）某醫(yī)療研究機構開發(fā)新型血糖儀，需評估其測量誤差。招募50名志愿者，每人用新儀器與標準實驗室方法各測一次空腹血糖，數(shù)據(jù)如下（單位：mg/dL）：（原始數(shù)據(jù)略，給出差值d?=新?標準，計算得d?=4.8，s_d=7.5）(1)給出差值描述性統(tǒng)計并繪制箱線圖要點；(2)檢驗新儀器是否存在系統(tǒng)偏差（α=0.05）；(3)計算差值的95%容忍區(qū)間，要求覆蓋90%總體差值；(4)若臨床認為|差值|≤10mg/dL為可接受，請用等價性檢驗思路給出結論。答案與解析：(1)中位數(shù)約4.5，Q1=0.2，Q3=8.9，存在1個上界外異常值，箱線圖顯示右尾略長。(2)H?:μ_d=0，t=d?/(s_d/√n)=4.8/(7.5/√50)=4.8/1.06≈4.53，df=49，雙側p<0.001，拒絕H?，存在顯著正偏差。(3)容忍區(qū)間公式：d?±k×s_d，其中k為容忍因子，對(0.90,0.95)且n=50，查表得k≈2.382，區(qū)間：4.8±2.382×7.5=[?13.1,22.7]，說明95%置信下90%總體差值落入此區(qū)間，范圍較寬。(4)等價界值Δ=10，建立兩個單側檢驗：H??:μ_d≤?10，H??:μ_d≥10，t?=(4.8+10)/1.06=14.0，t?=(4.8?10)/1.06=?4.9，對應p?<0.001，p?<0.001，均拒絕，故不能宣稱等價，新儀器偏差超出臨床可接受范圍。5.2（15分）某市政府統(tǒng)計部門欲利用手機信令數(shù)據(jù)估計夜間常住人口。以250m×250m網格為單元，抽取100個網格，記錄凌晨2點手機設備數(shù)（X）與同期普查人口（Y），建立對數(shù)線性模型log(Y)=β?+β?log(X)+ε?；貧w結果：β??=0.81，β??=0.92，R2=0.78，殘差標準誤σ?=0.15。(1)解釋β??=0.92的含義；(2)若某網格測得X=3200，預測Y及95%置信區(qū)間；(3)討論模型可能存在的內生性問題及改進思路；(4)給出基于模型推斷全市人口的步驟與注意事項。答案與解析：(1)手機設備數(shù)每增加1%，普查人口平均增加約0.92%，彈性接近1，提示兩者規(guī)模接近正比。(2)log(X?)=log(3200)=8.07，log(?)=0.81+0.92×8.07=8.23，?=exp(8.23)=3750，95%CI：log(?)±t?.???(98)×0.15×√[1/n+(logX?logX?)2/Sxx]，假設logX?≈8.0，Sxx≈2.5，標準誤≈0.15×1.02=0.153，區(qū)間8.23±1.98×0.153→[7.93,8.53]，反變換得Y∈[2770,5060]，區(qū)間較寬，需擴大樣本或引入輔助變量。(3)內生性問題：①手機擁有率與年齡、收入相關，導致X與Y關系因網格人口結構不同而變化；②節(jié)假日或特殊事件使夜間手機分布偏離居住人口。改進：引入網格層面協(xié)變量（平均年齡、住房類型、商業(yè)設施密度），使用工具變量（如基站信號強度外生變化）；采用分層抽樣或混合效應模型。(4)步驟：①將全市所有網格X輸入模型得?；②匯總得總人口估計；③用事后分層或比率估計校正系統(tǒng)性偏差；④通過Bootstrap或Jackknife評估估計方差；⑤與行政記錄比對驗證。注意事項：隱私脫敏、設備重復計數(shù)、游客剔除、模型外推不確定性。5.3（10分）某高校統(tǒng)計系開展“數(shù)據(jù)科學競賽”滿意度調查，采用分層抽樣：本科生層N?=3000，研究生層N?=1000，分別抽取n?=120，n?=80。滿意度得分（0?100）匯總如下：本科：x??=72，s?2=64；研究生：x??=78，s?2=49