統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)知識考核試題題庫及答案1.單選題1.1某校抽樣調(diào)查120名學(xué)生的每日手機使用時間，得到平均值為4.3小時，標準差為1.2小時。若將原始數(shù)據(jù)全部乘以0.5后再同時減去0.8小時，則新樣本的均值與標準差分別為A.1.35h，0.6hB.2.15h，0.6hC.1.35h，1.2hD.2.15h，1.2h答案：A解析：線性變換y=ax+b的均值μ_y=aμ_x+b，標準差σ_y=|a|σ_x。此處a=0.5，b=–0.8，故μ_y=0.5×4.3–0.8=1.35h，σ_y=0.5×1.2=0.6h。1.2設(shè)隨機變量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，則P(X=2)等于A.9e?3/2B.3e?3C.e?3D.4.5e?3答案：A解析：泊松概率質(zhì)量函數(shù)P(X=k)=λ^ke^{-λ}/k!，代入k=2得32e^{-3}/2!=9e^{-3}/2。1.3在簡單隨機抽樣中，樣本容量n增大時，樣本均值的抽樣分布A.偏度絕對值增大B.峰度絕對值增大C.標準誤減小D.方差增大答案：C解析：樣本均值的標準誤為σ/√n，n增大則標準誤減小，分布更集中于總體均值附近。1.4對同一總體進行兩次獨立抽樣，容量分別為10與40，測得樣本方差分別為s?2與s?2，則A.s?2一定是s?2的無偏估計B.s?2的抽樣波動小于s?2C.兩者均值為總體方差的無偏估計D.兩者合并方差一定大于s?2答案：B解析：樣本方差作為統(tǒng)計量本身具有隨機性，容量越大其抽樣分布越集中，波動越?。缓喜⒎讲钚杓訖?quán)，未必大于s?2；無偏性針對期望而非單次觀測。1.5在線性回歸模型y=β?+β?x+ε中，若ε~N(0,σ2)且滿足高斯-馬爾可夫假定，則β?的最小二乘估計量β??的抽樣分布為A.t分布，自由度n–2B.正態(tài)，均值為β?，方差σ2/SxxC.正態(tài)，均值為β?，方差σ2/nD.卡方，自由度n–2答案：B解析：β??是y的線性組合，y正態(tài)則β??正態(tài)；其方差為σ2/Sxx，其中Sxx=Σ(xi–x?)2。1.6設(shè)X~N(μ,9)，抽取n=16的樣本，檢驗H?:μ=50vsH?:μ≠50，顯著性水平α=0.05，臨界值為A.±1.645B.±1.96C.±2.12D.±2.58答案：B解析：σ已知，使用Z檢驗，雙側(cè)0.05對應(yīng)±1.96。1.7在列聯(lián)表χ2獨立性檢驗中，若期望頻數(shù)小于5的單元格比例超過20%，應(yīng)優(yōu)先A.增大樣本量B.使用Fisher精確檢驗C.合并相鄰行或列D.直接報告χ2值答案：C解析：合并可提升期望頻數(shù)，保持檢驗近似有效；若結(jié)構(gòu)不允許合并，再考慮Fisher或增大樣本。1.8對時間序列做一階差分后，序列的自相關(guān)函數(shù)迅速衰減至0，說明原序列A.存在線性趨勢B.為白噪聲C.為平穩(wěn)序列D.存在季節(jié)波動答案：A解析：差分可消除趨勢，差分后接近白噪聲則原序列含趨勢成分。1.9若隨機變量X的矩母函數(shù)M_X(t)=(1–2t)^{-4}，t<1/2，則X的方差為A.8B.16C.32D.4答案：C解析：此為Gamma分布矩母函數(shù)，形狀k=4，尺度θ=2，方差kθ2=4×4=32。1.10Bootstrap置信區(qū)間的“百分位法”直接采用A.樣本統(tǒng)計量的標準誤B.重抽樣統(tǒng)計量的α/2與1–α/2經(jīng)驗分位數(shù)C.t分布臨界值D.正態(tài)近似答案：B解析：百分位法以bootstrap分布的相應(yīng)分位數(shù)作為區(qū)間端點，無需正態(tài)或t假設(shè)。2.多選題2.1下列關(guān)于中心極限定理的描述正確的有A.要求總體必須正態(tài)B.樣本均值分布隨n增大趨于正態(tài)C.總體方差有限是充分條件之一D.適用于樣本比例E.要求樣本獨立同分布答案：BCDE解析：中心極限定理不要求總體正態(tài)，但需iid、有限方差；樣本比例可看作均值特例。2.2在多元線性回歸中，多重共線性可能導(dǎo)致A.參數(shù)估計方差膨脹B.t檢驗顯著但模型整體F檢驗不顯著C.回歸系數(shù)符號與理論相反D.殘差平方和急劇下降E.VIF值大于10答案：ACE解析：共線性使信息重疊，方差增大、符號反轉(zhuǎn)、VIF升高；F檢驗仍可能顯著；殘差平方和不會因此急劇下降。2.3下列屬于非參數(shù)檢驗方法的有A.Mann-WhitneyU檢驗B.Kruskal-Wallis檢驗C.Wilcoxon符號秩檢驗D.符號檢驗E.Durbin-Watson檢驗答案：ABCD解析：Durbin-Watson用于檢驗自相關(guān)，屬回歸診斷，非非參數(shù)檢驗。2.4關(guān)于貝葉斯估計，正確的有A.后驗分布∝似然×先驗B.損失函數(shù)為平方誤差時，后驗均值是Bayes估計C.隨著樣本量增加，先驗影響減弱D.必須采用無信息先驗E.可信區(qū)間頻率學(xué)派意義下的覆蓋概率等于置信水平答案：ABC解析：D錯，可采用有信息先驗；E錯，可信區(qū)間與置信區(qū)間哲學(xué)不同，覆蓋概率不保證等于名義水平。2.5下列指標可用于衡量分類模型性能的有A.ROC曲線下面積AUCB.F1分數(shù)C.對數(shù)損失D.平均絕對誤差MAEE.馬修斯相關(guān)系數(shù)MCC答案：ABCE解析：MAE用于回歸，余者均可評估分類性能。3.判斷題3.1若兩變量相關(guān)系數(shù)r=0，則它們一定獨立。答案：錯誤解析：r=0僅表示無線性相關(guān)，非線性關(guān)系可能存在，獨立性更強。3.2在假設(shè)檢驗中，p值越大，拒絕原假設(shè)的證據(jù)越強。答案：錯誤解析：p值越小證據(jù)越強；p值大表明數(shù)據(jù)與原假設(shè)兼容。3.3對右偏總體，樣本均值的抽樣分布隨n增大趨于對稱。答案：正確解析：中心極限定理保證均值的抽樣分布趨近正態(tài)，對稱性增強。3.4若回歸模型出現(xiàn)異方差，則最小二乘估計量不再無偏。答案：錯誤解析：異方差下OLS仍無偏，但不再有效，標準誤需修正。3.5在ARIMA(0,1,1)模型中，一階差分后序列服從MA(1)。答案：正確解析：ARIMA(0,1,1)即對原序列差分后得到MA(1)。4.填空題4.1設(shè)X~B(n=50,p=0.2)，用正態(tài)近似計算P(X≤10)時，連續(xù)性校正后的標準化統(tǒng)計量為______。答案：Z=(10.5–50×0.2)/√(50×0.2×0.8)=0.5/√8≈0.177解析：均值np=10，方差np(1–p)=8；連續(xù)性校正加0.5。4.2在單因素方差分析中，組間均方MSB=120，組內(nèi)均方MSE=30，因素有4個水平，每水平樣本量8，則F統(tǒng)計量為______。答案：120/30=4解析：F=MSB/MSE。4.3若隨機變量X的密度函數(shù)f(x)=2x，0≤x≤1，則E(X)=______。答案：∫?1x·2xdx=2/3解析：直接求期望積分。4.4對某總體做無放回抽樣，總體容量N=500，樣本量n=50，總體比例p=0.1，則樣本比例的標準誤為______。答案：√[0.1×0.9/50×(500–50)/(500–1)]≈0.0387解析：有限總體修正因子√[(N–n)/(N–1)]。4.5在線性回歸中，決定系數(shù)R2=0.81，則因變量的變異中被模型解釋的比例為______%。答案：81解析：R2即解釋比例。5.計算題5.1某生產(chǎn)線袋裝食品標稱質(zhì)量500g。隨機抽取25袋測得平均495g，樣本標準差10g。假設(shè)質(zhì)量服從正態(tài)分布，檢驗是否顯著低于標稱值（α=0.05）。答案：H?:μ=500，H?:μ<500t=(495–500)/(10/√25)=–2.5自由度24，單側(cè)臨界值–1.711–2.5<–1.711，拒絕H?，認為平均質(zhì)量顯著低于500g。解析：總體標準差未知，用單樣本t檢驗。5.2為比較兩種化肥對小麥產(chǎn)量的影響，隨機區(qū)組設(shè)計，8個地塊分別施用A、B兩種肥料，得產(chǎn)量差值d（kg）：4.5,3.2,–1.0,0.8,2.7,5.1,1.9,3.6。檢驗兩種肥料是否顯著差異（α=0.05）。答案：差值均值d?=2.6，差值標準差s_d≈1.96t=2.6/(1.96/√8)≈3.75，自由度7，雙側(cè)臨界±2.365|3.75|>2.365，拒絕H?，認為兩種肥料產(chǎn)量差異顯著。解析：配對t檢驗。5.3設(shè)X~N(μ,16)，欲使μ的95%置信區(qū)間寬度不超過2，求最小樣本量。答案：寬度=2×z_{0.025}×σ/√n≤22×1.96×4/√n≤2?√n≥7.84?n≥61.47取整62。解析：寬度公式直接反解。5.4某電商網(wǎng)站點擊轉(zhuǎn)化率歷史值3%，現(xiàn)改版后1000次點擊轉(zhuǎn)化40次，檢驗是否顯著提高（α=0.05）。答案：H?:p=0.03，H?:p>0.03Z=(0.04–0.03)/√(0.03×0.97/1000)≈1.84單側(cè)臨界1.645，1.84>1.645，拒絕H?，認為轉(zhuǎn)化率顯著提高。解析：大樣本正態(tài)近似。5.5已知隨機變量X的密度f(x)=θx^{θ–1}，0<x<1，θ>0?；跇颖緓?,…,x?，求θ的極大似然估計。答案：似然L=∏θx_i^{θ–1}=θ?(∏x_i)^{θ–1}對數(shù)似然lnL=nlnθ+(θ–1)Σlnx_i求導(dǎo)d/dθ=n/θ+Σlnx_i=0?θ?=–n/Σlnx_i解析：常規(guī)MLE推導(dǎo)。6.綜合應(yīng)用題6.1某城市地鐵公司記錄14個工作日早高峰乘車人數(shù)（萬人）：28.3,27.9,29.1,28.7,29.8,30.2,29.5,28.9,29.0,29.3,28.6,29.4,30.0,29.7。(1)計算均值、標準差及中位數(shù)；(2)使用Shapiro-Wilk檢驗正態(tài)性（α=0.05），給出結(jié)論；(3)若正態(tài)，求平均乘車人數(shù)95%置信區(qū)間；(4)預(yù)測下一個工作日乘車人數(shù)90%預(yù)測區(qū)間。答案：(1)x?≈29.25，s≈0.684，中位數(shù)29.25(2)軟件得W=0.974，p值=0.91>0.05，不拒絕正態(tài)假設(shè)(3)置信區(qū)間：29.25±t_{0.025,13}×0.684/√14=29.25±0.39→(28.86,29.64)(4)預(yù)測區(qū)間：29.25±t_{0.05,13}×s√(1+1/14)=29.25±1.23→(28.02,30.48)解析：依次使用描述統(tǒng)計、正態(tài)檢驗、均值的置信區(qū)間及新觀測的預(yù)測區(qū)間公式。6.2研究人員建立Logistic回歸預(yù)測客戶違約，變量：x?為月收入（千元），x?為歷史逾期次數(shù)，x?為是否擁有房產(chǎn)（1是0否）。擬合得：logit(p)=–3.2+0.02x?+0.45x?–0.8x?(1)解釋x?系數(shù)含義；(2)某客戶月收入12k，逾期2次，無房產(chǎn)，求違約概率；(3)計算x?的邊際效應(yīng)（保持其余變量均值）；(4)若樣本量1000，違約100人，求模型基線準確率與最大可能準確率。答案：(1)在收入與逾期次數(shù)相同情況下，擁有房產(chǎn)者違約對數(shù)優(yōu)勢降低0.8，優(yōu)勢比為e^{-0.8}≈0.45，即風(fēng)險降低55%(2)logit=–3.2+0.02×12+0.45×2–0=–2.06，p=1/(1+e^{2.06})≈0.113(3)邊際效應(yīng)=β?·p(1–p)≈0.45×0.113×0.887≈0.045，即逾期次數(shù)增加1，違約概率上升約4.5個百分點(4)基線準確率=max(違約率,1–違約率)=90%；最大可能準確率為100%解析：Logistic系數(shù)解釋、概率轉(zhuǎn)換、邊際效應(yīng)公式及基線定義。6.3某工廠質(zhì)檢抽取10批零件，每批50件，記錄不合格數(shù)：2,3,1,4,2,5,3,2,1,3。(1)構(gòu)建p控制圖，計算中心線與上下控制限；(2)有點出界嗎？(3)若過程穩(wěn)定，估計過程平均不合格率；(4)若要求不合格率不超過2%，需至少抽檢多少件，才能以90%把握發(fā)現(xiàn)真實不合格率升至5%？答案：(1)總不合格26，總抽檢500，平均不合格率p?=0.052UCL=p?+3√[p?(1–p?)/50]=0.052+0.094=0.146LCL=0.052–0.094=–0.042→取0(2)各點不合格率：0.04,0.06,0.02,0.08,0.04,0.10,0.06,0.04,0.02,0.06，均在0–0.146內(nèi)，無出界(3)過程平均不合格率估計5.2%(4)單樣本比例檢驗，H?:p=0.05，H?:p=0.02，單側(cè)Z_{0.9}=1.28n≥[1.28√(0.02×0.98)+1.28√(0.05×0.95)]2/(0.05–0.02)2≈203解析：控制圖公式、穩(wěn)定性判斷及樣本量計算。6.4為研究溫度對化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)率的影響，實驗設(shè)置5個溫度梯度，每個溫度重復(fù)4次，得方差分析表：來源SSdfMSF溫度480412015誤差60154總計54019(1)完成上表；(2)溫度效應(yīng)是否顯著（α=0.01）？(3)計算溫度解釋的變異比例；(4)若第3溫度組