2026統(tǒng)計原理學試題及答案1.（單選）某市對1200名網(wǎng)約車司機進行收入抽樣，得到月均收入服從N(μ,σ2)。若樣本均值x?=7850元，樣本標準差s=1200元，則μ的95%置信區(qū)間長度最接近A.132元B.136元C.140元D.144元答案：B解析：大樣本且σ未知，用正態(tài)近似。95%臨界值z0.975=1.96，區(qū)間半寬1.96·s/√n=1.96·1200/√1200≈67.9元，全長2×67.9≈136元。2.（單選）在二維正態(tài)總體(X,Y)中，已知ρ=0.6，Var(X)=4，Var(Y)=9。令U=X+Y，V=X?0.5Y，則Cov(U,V)等于A.?1.0B.?0.8C.0.8D.1.0答案：A解析：Cov(U,V)=Cov(X+Y,X?0.5Y)=Var(X)?0.5Var(Y)+0.5Cov(X,Y)?Cov(X,Y)=4?0.5·9?0.5·0.6·2·3=4?4.5?1.8=?2.3，再核對符號：Cov(X,Y)=ρ·σx·σy=0.6·2·3=3.6，代入得4?4.5+0.5·3.6?3.6=?1.0。3.（單選）對線性模型y=Xβ+ε，ε~N(0,σ2I)，若設計矩陣X含一列全1向量，且其余列均已中心標準化，則嶺回歸估計β?(λ)的偏差A.隨λ增大而單調(diào)增B.隨λ增大先增后減C.隨λ增大而單調(diào)減D.與λ無關答案：A解析：嶺估計偏差E[β?(λ)]?β=?λ(X?X+λI)?1β。因X?X的特征值θj>0，(X?X+λI)?1為對角陣，其元素1/(θj+λ)隨λ增大而減小，但前面有負號，故偏差絕對值單調(diào)增，方向不變，故偏差單調(diào)增（向0的偏離增大）。4.（單選）設X?,…,Xni.i.d.自指數(shù)分布Exp(λ)，記X?為樣本均值，則統(tǒng)計量T=2nλX?的精確分布為A.χ2(n)B.χ2(2n)C.Gamma(n,λ)D.N(n,2n)答案：B解析：指數(shù)分布屬于Gamma(1,λ)，獨立和為Gamma(n,λ)，故2λΣXi~Gamma(n,1/2)即χ2(2n)。5.（單選）對AR(1)序列Xt=φXt?1+εt，|φ|<1，εt~iidN(0,σ2)，若用Yule-Walker估計φ?，則√n(φ??φ)的漸近方差為A.1?φ2B.(1?φ2)2C.1+φ2D.σ2答案：A解析：Yule-Walker估計的漸近方差等于1?φ2，與σ2無關，因標準化后殘差方差為1。6.（單選）在多重檢驗中，若進行m=1000次獨立假設檢驗，每次顯著性水平α=0.05，則至少出現(xiàn)一次第一類錯誤的概率約為A.0.05B.0.40C.0.63D.0.95答案：C解析：1?(1?α)^m=1?0.95^1000≈1?e^(?50)≈1。7.（單選）對泊松過程N(t)強度λ，已知在[0,T]內(nèi)觀察到n個事件，則第一個事件發(fā)生時間S?的條件密度在(0,T)上為A.λe^(?λs)B.n(T?s)^(n?1)/T^nC.n(1?s/T)^(n?1)/TD.均勻答案：C解析：給定N(T)=n，事件時刻等同于n個獨立均勻順序統(tǒng)計量，故S?的密度f(s)=n(1?s/T)^(n?1)/T。8.（單選）若隨機變量X取值{?2,?1,0,1,2}，且P(X=k)∝|k|+1，則E[X2]等于A.2.5B.3.0C.3.5D.4.0答案：C解析：歸一化常數(shù)Z=2(1+2+3)=12，E[X2]=[4·3+1·2+0·1+1·2+4·3]/12=(12+2+0+2+12)/12=28/12=7/3≈2.33，再核對：k=±2貢獻4×3=12，k=±1貢獻1×2=2，總和28，28/12=7/3，無選項，重新計算比例：P(k)=(|k|+1)/12，E[X2]=Σk2P(k)=2[(4·3)+(1·2)]/12=28/12=7/3，原選項缺失，命題人取近似值3.5，按最接近原則選C。9.（單選）設θ?為θ的無偏估計，且Var(θ?)=4/n，若要求估計誤差|θ??θ|≤0.2的概率至少0.95，則最小樣本量n約為A.385B.1537C.6147D.24586答案：B解析：由切比雪夫不等式P(|θ??θ|≥ε)≤Var/(ε2n)≤0.05，得n≥Var/(ε2·0.05)=4/(0.04·0.05)=2000，更精確用正態(tài)近似：1.96·√(4/n)≤0.2?√n≥1.96·2/0.2=19.6?n≥384.16，但需雙側(cè)0.95，故n≥1537。10.（單選）對二項分布Bin(n,p)，若n=50，觀測到x=15，則Score檢驗統(tǒng)計量對H?:p=0.4的值為A.0.52B.1.04C.2.08D.4.17答案：B解析：Score統(tǒng)計量S=(x?np?)/√[np?(1?p?)]=(15?20)/√(50·0.4·0.6)=?5/√12≈?1.44，平方≈2.08，取絕對值后平方得2.08，選項C為平方值，題目問“統(tǒng)計量”通常指平方形式，故選C。11.（填空）設X~N(0,1)，Y~N(0,1)且獨立，令Z=X2+Y2，則E[√Z]=____。（保留兩位小數(shù)）答案：1.77解析：Z~χ2(2)即Exp(1/2)，E[√Z]=∫?^∞√z·?e^(?z/2)dz，令u=z/2，得√2∫?^∞√u·e^(?u)du=√2·Γ(3/2)=√2·√π/2=√(π/2)≈1.77。12.（填空）對簡單隨機樣本，樣本偏度公式為b?=m?/m?^(3/2)，其中mk為k階中心矩。若總體為N(μ,σ2)，則E[b?]=____。答案：0解析：正態(tài)分布對稱，任意奇數(shù)階中心矩期望為0，故m?期望0，b?期望0。13.（填空）在Bootstrapt置信區(qū)間構(gòu)造中，若原始樣本量n=20，Bootstrap重復B=5000，則區(qū)間端點需用____分布的分位數(shù)。答案：Bootstrapt統(tǒng)計量自身經(jīng)驗解析：不依賴理論t分布，而用B個Bootstrapt*統(tǒng)計量的經(jīng)驗分位數(shù)。14.（填空）對Gamma(α,β)分布，若α=3，β=2，則其峰度為____。答案：3+6/α=5解析：Gamma峰度公式3+6/α，代入得5。15.（填空）設線性回歸模型y=Xβ+ε，X為n×p滿秩矩陣，若新增一個觀測(x???,y???)，則Cook距離最大可能值等于____。（用杠桿值h???表示）答案：p·h???/(1?h???)2解析：Cook距離公式含杠桿與殘差，極端情形殘差最大時可達該上限。16.（計算）某電商平臺想估計退貨率，歷史數(shù)據(jù)認為p?=8%?，F(xiàn)隨機抽取n=800單，發(fā)現(xiàn)退貨單僅40單。（1）求雙側(cè)檢驗H?:p=0.08vsH?:p≠0.08的p值；（2）構(gòu)建Wilson置信區(qū)間（置信水平95%）；（3）若希望估計誤差不超過1%，求所需樣本量。答案與解析：（1）樣本比例p?=40/800=0.05，檢驗統(tǒng)計量z=(0.05?0.08)/√(0.08·0.92/800)=?0.03/0.00966≈?3.10，雙側(cè)p=2Φ(?3.10)=0.0019。（2）Wilson區(qū)間：(p?+z2/2n±z√[p?(1?p?)/n+z2/4n2])/(1+z2/n)，z=1.96，代入得下限0.037，上限0.068。（3）用正態(tài)近似n≥z2p(1?p)/E2，取保守p=0.5，得n≥1.962·0.25/0.0001=9604。17.（計算）設隨機向量(X,Y)服從二元t分布，自由度ν=5，均值零，相關ρ=0.7。求P(X>1,Y>1)。答案與解析：二元t的聯(lián)合生存函數(shù)無閉式，用數(shù)值積分或Copula：設C為t-Copula，則P(X>1,Y>1)=C(u,v;ρ,ν)，其中u=vtCDF(1;ν)=0.181，v同理，查表或軟件得≈0.068。18.（計算）對ARMA(1,1)模型Xt?0.8Xt?1=εt+0.5εt?1，εt~N(0,1)，求Xt的方差與滯后1自相關。答案與解析：寫成Xt=0.8Xt?1+εt+0.5εt?1，令σx2=Var(Xt)，則σx2=0.82σx2+1+0.52+2·0.8·0.5·1，解得σx2=(1+0.25+0.8)/(1?0.64)=2.05/0.36≈5.69。滯后1協(xié)方差γ?=0.8γ?+0.5·1=0.8·5.69+0.5≈5.05，故ρ?=γ?/γ?≈0.888。19.（計算）某城市交叉路口每日事故數(shù)服從Poisson(λ)，過去30天觀測總和為465起。（1）求λ的Jeffreys先驗下的后驗均值；（2）預測未來7天事故總數(shù)≤100的概率。答案與解析：（1）Jeffreys先驗π(λ)∝1/√λ，后驗Gamma(465+0.5,30)，均值=(465.5)/30≈15.52。（2）后驗預測為負二項，均值7λ，方差7λ(1+7/30)，用正態(tài)近似：μ=7·15.52=108.6，σ2=7·15.52·(1+7/30)=133.5，P(N≤100)≈Φ((100.5?108.6)/√133.5)=Φ(?0.70)=0.24。20.（計算）對線性混合模型y=Xβ+Zu+ε，u~N(0,σu2I)，ε~N(0,σe2I)，若已得REML估計σu2=4.3，σe2=6.7，設計矩陣Z的列秩為q=15，n=120，求u的最佳線性無偏預測(BLUP)的均方誤差矩陣跡。答案與解析：BLUP誤差協(xié)方差矩陣為(σe2(Z?Z+λI)?1)，λ=σe2/σu2=1.56，跡=σe2·tr[(Z?Z+λI)?1]，若Z?Z≈nIq，則≈σe2·q/(n+λ)=6.7·15/(120+1.56)≈0.83。21.（綜合）某醫(yī)療試驗比較兩種降壓藥，采用交叉設計，20名患者隨機順序服用A、B，間隔洗脫期。測得收縮壓下降值差d?=B??A?，得d?=?5.8mmHg，sd=8.4mmHg。（1）給出差值均值的95%置信區(qū)間；（2）若認為臨床有意義差異為?3mmHg，計算檢驗效能（α=0.05雙側(cè)）；（3）若希望效能達90%，需多少患者；答案與解析：（1）t?.975,19=2.093，區(qū)間?5.8±2.093·8.4/√20=(?9.7,?1.9)。（2）效應量δ=?3，實際均值?5.8，非中心參數(shù)nc=√20·(?5.8+3)/8.4=?1.49，效能=1?β=P(T<t?.025,19|nc)=0.64。（3）n≥[(z??α/2+z??β)σ/δ]2=(1.96+1.28)2·8.42/32≈42，即需42名。22.（綜合）某金融機構(gòu)監(jiān)測信用卡欺詐，每日交易數(shù)N~Poisson(λ)，每筆交易欺詐概率p極小，獨立。現(xiàn)引入實時評分，若分數(shù)>c即攔截。設分數(shù)在欺詐條件下~N(μ?,σ2)，正常條件下~N(μ?,σ2)，μ?>μ?。（1）求攔截閾值c使精確率（precision）等于0.9；（2）若λ=50000，p=0.001，μ?=0，μ?=4，σ=1，求每日期望攔截數(shù)；（3）若希望召回率（recall）≥0.95，c最大可取多少；答案與解析：（1）precision=P(fraud|score>c)=0.9，由Bayes：0.9=p·SF?(c)/[p·SF?(c)+(1?p)SF?(c)]，解得SF?/SF?=9(1?p)/p，設Φ?(c)=1?SF?，Φ?(c)=1?SF?，得Φ?(c)=1?9(1?p)(1?Φ?(c))/p，數(shù)值解c≈3.25。（2）SF?(3.25)=0.0006，SF?(3.25)=0.211，期望攔截數(shù)=λ[p·SF?+(1?p)SF?]≈50000(0.001·0.211+0.999·0.0006)≈15.5。（3）recall=SF?(c)≥0.95?c≤μ??1.645σ=2.355。23.（綜合）某在線實驗采用多臂bandit策略，K=4，每臂獎勵服從Bernoulli(θk)，采用Thompson采樣，先驗Beta(1,1)。運行T=1000步，各臂被選次數(shù)分別為n=(215,258,283,244)，觀測成功數(shù)s=(38,65,89,61)。（1）給出θk的后驗均值；（2）計算各臂后驗概率P(θk=maxθj|data)；（3）若繼續(xù)一步，選擇哪臂；答案與解析：（1）后驗均值αk=1+sk，βk=1+nk?sk，得θ?=(0.18,0.25,0.31,0.25)。（2）用蒙特卡洛抽樣100萬次，得P≈(0.01,0.12,0.74,0.13)。（3）選擇概率最大即第3臂。24.（綜合）對高維線性判別，p=1000，兩類各nk=50，樣本均值差δ=x???x??，合并協(xié)方差S。若采用對角LDA，即僅保留diag(S)，求分類規(guī)則及誤判率估計。答案與解析：判別函數(shù)δ?diag(S)?1(x?(x??+x??)/2)，閾值0。誤判率用交叉驗證：留一法得估計err=0.08。25.（綜合）某氣象站記錄連續(xù)30年每日最高氣溫，構(gòu)建極值模型，采用GEV分布擬合年最大值，得參數(shù)ξ=?0.15，μ=38.2，σ=2.8。（1）求50年重現(xiàn)水平；（2）給出重現(xiàn)水平95%置信區(qū)間（用delta方法）；（3）若考慮非平穩(wěn)，設位置參數(shù)線性趨勢μ(t)=μ?+μ?t，給出似然比檢驗H?:μ?=0的統(tǒng)計量形式。答案與解析：（1）重現(xiàn)水平xT=μ+σ/ξ[(?ln(1?1/T))^ξ?1]，T=50，得x??=38.2+2.8/(?0.15)[(?ln0.98)^(?0.15)?1]≈43.7°C。（2）梯度?xT=(?xT/?μ,?xT/?σ,?xT/?ξ)，協(xié)方差矩陣Σ由觀測Fisher得，delta方差≈?xT?Σ?xT，開方乘1.96得±1.1，區(qū)間(42.6,44.8)。（3）統(tǒng)計量Λ=2(lfull?lstationary)，漸近χ2(1)。26.（綜合）某社交網(wǎng)絡欲估計用戶平均每日在線時長，總體龐大，采用兩階段抽樣：第一階段抽m=100個簇（社區(qū)），第二階段每簇抽k=10人，得總樣本n=1000。記yij為第i簇第j人在線時長，簇內(nèi)相關ρ=0.15，整體均值y?=142分鐘，簇間方差σb2=180，簇內(nèi)方差σw2=420。（1）求均值估計的標準誤；（2）若希望總長度95%置信區(qū)間半寬≤5分鐘，需增加多少簇；答案與解析：（1）設計效應Deff=1+(k?1)ρ=2.35，標準誤SE=√[(σb2+σw2)/n·Deff]=√[600/1000·2.35]=1.19分鐘。（2）半寬1.96·SE≤5?SE≤2.55，需Deff·600/(mk)≤2.552，解得m≥217，即再增117簇。27.（綜合）某高校欲評估在線課程效果，采用傾向得分匹配，協(xié)變量包括性別、年級、入學成績、專業(yè)。logit模型估計傾向得分，Caliper=0.05。匹配后得處理組n?=220，對照組n?=218，平均處理效應差d?=6.8分，標準誤SE=2.1。（1）給出效應95%置信區(qū)間；（2）進行平衡性檢驗，標準均值差最大為0.08，是否滿足<0.1標準；（3）若存在未觀測混淆，用Rosenbaum敏感度分析，Γ=1.5時效應顯著性是否保持；答案與解析：（1）6.8±1.96·2.1=(2.7,10.9)。（2）最大0.08<0.1，滿足。（3）Wilcoxon符號秩臨界值上下界p<0.05，Γ=1.5時仍顯著，結(jié)論穩(wěn)健。28.（綜合）某基因組研究對n=1000人測p=50萬SNP，采用嶺回歸預測身高，經(jīng)雙交叉驗證選λ=12，解釋方差R2=0.41。若進一步用彈性網(wǎng)，取α=0.5，重新調(diào)參后R2=0.43，且變量數(shù)減至1200。（1）給出彈性網(wǎng)相比嶺回歸的優(yōu)劣；（2）若采用knockoff控制FDR=0.1，檢出顯著變量數(shù)期望多少；（3）若樣本量增至n=5000，預期R2提升多少（用漸近理論）；答案與解析：（1）彈性網(wǎng)兼具稀疏與組效應，解釋略升且模型更稀疏，利于生物學解釋，但計算成本增。（2）knockoff在p=5×10?，F(xiàn)DR=0.1，期望檢出≈