2025-2026（上）渭南市校聯協作體期末學業(yè)水平質量評估試題高二數學注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本題共小題，每小題4分，共28分.每小題只有一個選項符合題目要求）1.已知直線，，則“”是"”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件2.若直線：與：交于，兩點，則的最小值為（）A3 B.6 C. D.3.已知圓與圓有且只有2條公切線，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.4.若點在圓：的內部，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.5.設雙曲線的右焦點為，過的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，交另一條漸近線于點，則（）A. B. C.2 D.36.已知展開式的二項式系數和為64，則其展開式的常數項為（）A. B. C.15 D.607.從分別標有數字，，，，的5張卡片中隨機一次性抽取2張，則抽到的2張卡片中數字乘積為非負數的概率為（）A. B. C. D.8.如圖，在直三棱柱中，為線段的中點，分別為線段與線段上的點，則線段長的最小值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在直三棱柱中，，，點滿足，其中，則（）A.當時，最小值為B.當時，三棱錐體積為定值C.當時，存在兩個點使得平面與平面的夾角為D.當時，有且僅有一個點，使得10.已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，則下列結論正確的是（）A.以為直徑圓與準線相切B.若點，則的最小值為5C.若直線傾斜角為，則D.點為線段中點，則點的坐標可以是11.甲、乙兩人開展乒乓球對抗賽，約定對抗賽最多進行3場，先累計獲勝兩場者贏得本次對抗賽．每場比賽僅分勝負，無平局，甲每場獲勝的概率為，乙每場獲勝的概率為，且各場比賽結果相互獨立．下列說法正確的是（）A.本次對抗賽恰好進行2場就結束的概率為B.甲最終贏得本次對抗賽的概率為C.若事件為“對抗賽恰好進行2場結束”，事件為“甲贏得對抗賽”，則事件與事件是相互獨立事件D.本次對抗賽恰好進行3場結束且甲贏得本次對抗賽的概率為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知是平面的一個法向量，直線的一個方向向量為，且，則___________．13.已知拋物線的焦點為，則點到準線的距離為______，過點作傾斜角為銳角的直線，直線與拋物線交于不同的兩點，，過點作直線的垂線交準線于點，若，則直線的傾斜角為______14.已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，直線與的另一個交點為，若，則的值為___________．四、解答題：（本題共5小題，共77分：15題13分；16-17題15分；18-19題17分；解答應寫出數學語言說明、證明過程、演算步驟）15.已知圓，直線．（1）求證：不論為何值時直線恒過定點，并求出定點坐標；（2）（i）求證：直線與圓相交；（ii）求出截得弦長最短時直線的方程．16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，點分別是棱的中點.（1）證明：平面；（2）若，平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.17.已知橢圓：（）過點，離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，．直線，分別與軸交于點，．判斷和的大小關系，并說明理由．18.甲、乙兩位同學參加投籃練習，由他們的投籃位置和命中情況確定得分可能為3分、2分、0分，根據以往練習統計數據，甲一次投籃得3分、2分、0分的概率分別為，乙不投3分球，他一次投籃得2分、0分的概率分別為．若甲、乙各投籃一次稱為一輪投籃，且甲、乙投籃相互獨立，每次投籃也互不影響．（1）記一輪投籃后，甲的得分為，乙的得分為，求；（2）記一輪投籃后，甲乙所得分數之和為隨機變量，求的分布列及數學期望．19.國家近年來對機器人的研究，尤其是在人形機器人和具身智能領域方面，出臺了一系列的政策，旨在推動技術創(chuàng)新、產業(yè)升級和規(guī)模化應用．某學校為響應國家號召，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，舉辦機器人比賽，經過初賽，甲班團隊和乙班團隊進入了決賽階段．決賽階段規(guī)定：對每一輪比賽，獲勝方記1分，另一方記0分，無平局；當兩團隊累積得分的分差為3分時，比賽結束，累積得分高的團隊獲冠軍．若每輪比賽中，甲班團隊獲勝的概率為，且每輪比賽的結果相互獨立．（1）若比賽結束時恰好進行了3輪比賽，求甲班團隊獲得冠軍的概率；（2）（i）若比賽最多進行5輪，求比賽結束時比賽輪數的分布列及數學期望；（ii）若比賽輪數不限制，求甲班團隊獲得冠軍的概率．

2025-2026（上）渭南市校聯協作體期末學業(yè)水平質量評估試題高二數學注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本題共小題，每小題4分，共28分.每小題只有一個選項符合題目要求）1.已知直線，，則“”是"”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】兩直線垂直的充要條件結合充分必要條件定義即可得解.【詳解】若“”，則，所以“”是“”的充分必要條件.故選：A.2.若直線：與：交于，兩點，則的最小值為（）A.3 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據直線過定點并求出圓心到直線距離的最大值，可得弦長的最小值.【詳解】直線的方程可化為，令，解得，所以恒過定點.又的圓心，半徑為，，易知當時，圓心到直線的距離最大值為，此時取得最小值，可得最小值為.故選：B3.已知圓與圓有且只有2條公切線，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知圓與圓相交，根據兩圓相交的條件列不等式，求解即可求出答案.【詳解】由題意可得圓圓心坐標為，半徑，圓圓心坐標為，半徑，因為圓與圓有且只有2條公切線，所以圓與圓相交，則，所以，即，解得，所以實數的取值范圍為.故選：C.4.若點在圓：的內部，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據點在圓內，得出不等關系，解不等式即可求得結果.【詳解】由在圓內，得，即，可化為；解得，即.故選：A5.設雙曲線的右焦點為，過的直線與雙曲線的一條漸近線垂直，垂足為，交另一條漸近線于點，則（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的漸近線方程，進而求得過與漸近線垂直的直線方程，聯立方程組求得的坐標，進而計算可求得的值.【詳解】由雙曲線，得，所以，所以雙曲線的右焦點為，雙曲線的漸近線方程為，當過作漸近線的垂線時，可得過與漸近線垂直的直線方程為，聯立，解得，所以垂足，聯立，解得，所以交點，所以，，所以.同理可求過作漸近線的垂線時，.綜上，.故選：B.6.已知展開式的二項式系數和為64，則其展開式的常數項為（）A. B. C.15 D.60【答案】D【解析】【分析】根據二項式系數和可得，再結合二項展開式的通項運算求解即可.【詳解】因為展開式的二項式系數和為，解得，且展開式的通項為，，令，解得，可得，所以其展開式的常數項為60.故選：D.7.從分別標有數字，，，，的5張卡片中隨機一次性抽取2張，則抽到的2張卡片中數字乘積為非負數的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算抽到的2張卡片中數字乘積為負數的概率，再計算抽到的2張卡片中數字乘積為非負數的概率即可.【詳解】從5張卡片中抽取2張，共有種可能，抽到的2張卡片中數字乘積為負數，即一正一負，共種可能，所以抽到的2張卡片中數字乘積為負數的概率，則抽到的2張卡片中數字乘積為非負數的概率．故選：C.8.如圖，在直三棱柱中，為線段的中點，分別為線段與線段上的點，則線段長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據垂直關系建立空間直角坐標系，然后設出的坐標，根據兩點距離公式列出的表達式，最后根據二次函數的性質求出最小值即可.【詳解】因為直三棱柱中，，所以以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則.因為點在線段上，設，，所以，所以.因為點在線段上，所以設，所以.為了求其最小值，則時，，此時，根據二次函數的性質，由于，所以當時，取最小值為.故選：C.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在直三棱柱中，，，點滿足，其中，則（）A.當時，的最小值為B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，存在兩個點使得平面與平面的夾角為D.當時，有且僅有一個點，使得【答案】ABD【解析】【分析】A選項，點在線段上，故當兩點重合時，取得最小值，求出最小值；B選項，等體積法得到；C選項，建立空間直角坐標系，設，求出，并得到兩平面的法向量，根據面面角的夾角得到方程，方程無解，故C錯誤；D選項，表達出，令，解得，故有且僅有一個點，使得，D正確.【詳解】A選項，，，，故點在線段上，故當兩點重合時，取得最小值，最小值為，A正確；B選項，當時，，故，，又，所以點在線段上，，因為直三棱柱中，⊥平面，又平面，所以⊥，又⊥，，所以⊥平面，故點到平面距離為1，故，三棱錐的體積為定值，B正確；C選項，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設，則，因為時，，即，所以，故，，設平面的一個法向量為，則，令，則，故，平面的一個法向量為，設平面與平面的夾角為，則，若平面與平面的夾角為，令，故，方程無解，故不存在兩個點使得平面與平面的夾角為，C錯誤；D選項，當時，，即，故，，故，又，令，解得，故有且僅有一個點，使得，D正確.故選：ABD10.已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，則下列結論正確的是（）A.以為直徑的圓與準線相切B.若點，則的最小值為5C.若直線的傾斜角為，則D.點為線段中點，則點的坐標可以是【答案】ABD【解析】【分析】計算和中點到準線的距離可判斷A；根據拋物線的定義結合距離和最小計算可判斷B；應用韋達定理計算面積可判斷C；根據點差法可判斷D.【詳解】由題意可知拋物線的焦點，準線方程為；設，的中點，則到準線的距離為，，所以以為直徑的圓與準線相切，故A正確；過點作垂直于準線，垂足為，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為5，故B正確；若直線的傾斜角為，則直線的方程為，即，則點到直線的距離，由得，所以，，所以，故C錯誤；假設點的坐標為，則，由直線與拋物線交于兩點得，兩式相減得，即，所以，所以直線的方程為，即，點在直線上，由得，，故D正確.故選：ABD11.甲、乙兩人開展乒乓球對抗賽，約定對抗賽最多進行3場，先累計獲勝兩場者贏得本次對抗賽．每場比賽僅分勝負，無平局，甲每場獲勝的概率為，乙每場獲勝的概率為，且各場比賽結果相互獨立．下列說法正確的是（）A.本次對抗賽恰好進行2場就結束的概率為B.甲最終贏得本次對抗賽的概率為C.若事件為“對抗賽恰好進行2場結束”，事件為“甲贏得對抗賽”，則事件與事件是相互獨立事件D.本次對抗賽恰好進行3場結束且甲贏得本次對抗賽的概率為【答案】ABD【解析】【分析】利用獨立事件概率乘法公式，結合分類討論、互斥事件概率加法，來計算判斷即可.【詳解】對于A，對抗賽恰好兩場結束，需滿足“甲或乙連續(xù)贏兩場”，則概率為，故A正確；對于B，甲贏得對抗賽，包含兩種情況：一種是兩場結束后甲獲勝，概率為，另一種是甲在前兩場比賽輸了一場，第3場比賽勝，則概率為，概率之和為，故B與D正確；對于C，，不滿足獨立條件，故C錯誤．故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知是平面的一個法向量，直線的一個方向向量為，且，則___________．【答案】2【解析】【分析】根據平面法向量的性質，結合空間向量平行的性質的坐標運算進行求解即可.【詳解】，直線的一個方向向量與平面的一個法向量垂直，，解得.故答案為：.13.已知拋物線的焦點為，則點到準線的距離為______，過點作傾斜角為銳角的直線，直線與拋物線交于不同的兩點，，過點作直線的垂線交準線于點，若，則直線的傾斜角為______【答案】①②.【解析】【分析】求出即可；過點作垂直準線，根據拋物線的定義以及條件可得，即可求出，再利用垂直關系即可.【詳解】，則，故點到準線的距離為；過點作垂直準線，垂足為，則由拋物線的定義可知，，因為，所以，則，因為，所以直線的傾斜角為.故答案為：；14.已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，直線與的另一個交點為，若，則的值為___________．【答案】3【解析】【分析】設，根據橢圓定義可得，，進而可得，即可得結果.【詳解】由題意可知：，，設，則，，若，則，解得，可得，，所以.故答案為：3.四、解答題：（本題共5小題，共77分：15題13分；16-17題15分；18-19題17分；解答應寫出數學語言說明、證明過程、演算步驟）15.已知圓，直線．（1）求證：不論為何值時直線恒過定點，并求出定點坐標；（2）（i）求證：直線與圓相交；（ii）求出截得弦長最短時直線的方程．【答案】（1）證明見解析，定點坐標為（2）（i）證明見解析（ii）【解析】【分析】（1）首先把直線變形為，然后解方程組即可得出定點坐標；（2）（i）只需利用點與圓的位置關系證明點在圓內即可；（ii）當直線時，弦長最短，根據垂直關系即可求出.【小問1詳解】直線整理得，由解得，所以直線恒過.【小問2詳解】（i）因為，所以點在圓內，所以直線與圓相交；（ii）由題意可知圓心當直線時，弦長最短，此時，即，解得，所以直線的方程為，即.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，，點分別是棱的中點.（1）證明：平面；（2）若，平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）通過構造輔助線取中點，連接，利用中位線定理證明四邊形是平行四邊形，從而證得線面平行；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，再利用向量夾角公式計算二面角的余弦值.【小問1詳解】取中點，連接.因為為中點，所以為的中位線，所以且.在正方形中，為中點，所以且，所以且，所以四邊形是平行四邊形.所以.又平面平面，所以平面.【小問2詳解】由于平面平面，平面平面，平面平面.以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，不妨設，則有.設平面的法向量，，所以，不妨令，得；設平面的法向量，，所以，不妨令，得；設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知橢圓：（）過點，離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，．直線，分別與軸交于點，．判斷和的大小關系，并說明理由．【答案】（1）（2）,理由見解析【解析】【分析】（1）根據離心率得到的關系，結合所過點可求答案；（2）聯立方程，寫出韋達定理，求出點，的橫坐標，求和可得值為零，從而可得答案.【小問1詳解】設橢圓的焦距為，因為離心率，所以，即，因為，所以方程化為，代入點，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設過點的直線l方程為，設，聯立橢圓與直線方程,得，由，得；由韋達定理：.直線PM的方程為：，令，解得E點橫坐標：，代入化簡：，同理可得；，把代入可得,即,所以.18.甲、乙兩位同學參加投籃練習，由他們的投籃位置和命中情況確定得分可能為3分、2分、0分，根據以往練習統計數據，甲一次投籃得3分、2分、0分的概率分別為，乙不投3分球，他一次投籃得2分、0分的概率分別為．若甲、乙各投籃一次稱為一輪投籃，且甲、乙投籃相互獨立，每次投籃也互不影響．（1）記一輪投籃后，甲的得分為，乙的得分為，求；（2）記一輪投籃后，甲乙所得分數之和為隨機變量，求的分布列及數學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）分別按照，，求出概率，根據互斥事件概率的加法公式，可得的值.（2）可能取值為，分別求出相應的概率，列出的分布列，根據數學期望的公式求出的值.【小問1詳解】的取值為3,2,0,對應的概率分別為，，.的取值為2,0，對應的概率分別為，.當時，取2或0都滿足，此時概率為.當時，取2或0都滿足，此時概率為.當時，只有滿足，此時概率為.根據互斥事件概率的加法公式，可得.【小問2詳解】的可能取值為0,2，3，4，5......的分布列如下表所示：02345可得.19.國家近年