湖南省永州市第二中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知矩形，，，沿矩形的對(duì)角線(xiàn)將平面折起，若四點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的面積為（）A. B.C. D.2．在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B.C. D.3．已知集合A={x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有2個(gè)元素，則（）A.k≥4 B.k>4C.k≥8 D.k>84．一幾何體的直觀圖如右圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（）A. B.C. D.5．歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明是阿拉伯?dāng)?shù)、十進(jìn)制和對(duì)數(shù)，其中對(duì)數(shù)的發(fā)明，大大縮短了計(jì)算時(shí)間，為人類(lèi)研究科學(xué)和了解自然起了重大作用，對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)估算“天文數(shù)字”具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì).已知，，則的估算值為（）A. B.C. D.6．在中，已知，則角（）A. B.C. D.或7．函數(shù)的最大值為（）A. B.C.2 D.38．若，，，則、、大小關(guān)系為（）A. B.C. D.9．設(shè)則的大小關(guān)系是A. B.C. D.10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).若sinα=112．函數(shù)，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________；若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中，，則的最大值為_(kāi)__________.13．已知函數(shù)，則=_________14．已知函數(shù)，：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②函數(shù)的最小正周期是；③把函數(shù)f(2x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與函數(shù)y=圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同；④函數(shù)在R上的最大值為2.則以上結(jié)論正確的序號(hào)為_(kāi)______________15．已知函數(shù)的最大值為，且圖像的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，求：（1）函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間16．給出下列命題“①設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則；②定義：若任意，總有，就稱(chēng)集合為的“閉集”，已知且為的“閉集”，則這樣的集合共有7個(gè)；③已知函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值5，那么在上有最小值.其中正確的命題序號(hào)是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并進(jìn)行證明；（2）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)四點(diǎn)，，，.（1）判斷的形狀；（2）A，B，C，D四點(diǎn)是否共圓，并說(shuō)明理由.19．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的值.20．已知函數(shù).（1）化簡(jiǎn)；（2）若，求下列表達(dá)式的值：①；②.21．如圖，在三棱錐中，平面平面為等邊三角形，且分別為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的對(duì)角線(xiàn)AC=10為該球的直徑，所以該球面的面積為.故選C.2、C【解析】依次判斷四個(gè)選項(xiàng)的單調(diào)性即可.【詳解】A選項(xiàng)：增函數(shù)，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：增函數(shù)，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，正確；D選項(xiàng)：增函數(shù)，錯(cuò)誤.故選：C.3、D【解析】首先確定集合A，由此得到log2k>3，即可求k的取值范圍.【詳解】∵集合A={x∈N|1<x<log2k}，集合A中至少有2個(gè)元素，∴A={2,3}，則log2k>3，可得k>8.故選：D.4、B【解析】通過(guò)幾何體結(jié)合三視圖的畫(huà)圖方法，判斷選項(xiàng)即可【詳解】解：幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見(jiàn)線(xiàn)段，所以C、D不正確；幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確，故選B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的畫(huà)法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵5、C【解析】令，化為指數(shù)式即可得出.【詳解】令，則，∴，即的估算值為.故選：C.6、C【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，解得：，，因?yàn)椋?故選：C.7、B【解析】先利用，得；再用換元法結(jié)合二次函數(shù)求函數(shù)最值.【詳解】，，當(dāng)時(shí)取最大值，.故選:B【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：注意的限制條件.8、B【解析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)把已知數(shù)與0和1比較后可得【詳解】，，，所以故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，對(duì)于冪、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)值的大小比較，如果能應(yīng)用相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)該利用單調(diào)性比較，如果不能轉(zhuǎn)化，或者是不同類(lèi)型的的數(shù)，可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)與特殊值如0或1等比較后可得結(jié)論9、C【解析】由在區(qū)間是單調(diào)減函數(shù)可知，，又，故選.考點(diǎn)：1.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)值比較大小.10、C【解析】觀察圖象可得函數(shù)的最大值，最小值，周期，由此可求函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)變換結(jié)論，求出平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)平移后函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，列方程求的值，由此確定其最小值.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，∴因，可得，又，求得，故將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，故，即，故的最小值為，故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-14【解析】根據(jù)題意，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，再由誘導(dǎo)公式，可得答案.【詳解】∵角α與角β的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以β=α+由誘導(dǎo)公式可得:sinβ=-故答案為：-12、①②.##0.5【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)求出點(diǎn)A坐標(biāo)；代入一次函數(shù)式，借助均值不等式求解作答.【詳解】函數(shù)，且）中，由得：，則點(diǎn)；依題意，，而，，則，當(dāng)且僅當(dāng)2m=n=1時(shí)取“=”，即，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為.故答案為：；13、【解析】按照解析式直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：-3.14、②③④【解析】利用輔助角公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)、，再逐一分析各個(gè)命題，計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)，因，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱(chēng)，①不正確；，于是得的最小正周期是，②正確；，則把函數(shù)f(2x)圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)，函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與函數(shù)y=圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，③正確；令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在R上的最大值為2，④正確，所以結(jié)論正確的序號(hào)為②③④.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求含有和的三角函數(shù)值域或最值問(wèn)題，可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域或最值問(wèn)題解答.15、（1）；（2）和【解析】（1）根據(jù)降冪公式與輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后由題意求解，從而求解出解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式，利用整體法代入化簡(jiǎn)計(jì)算函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，再由，給賦值，求出單調(diào)減區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式得，因?yàn)閳D像的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，即，且函數(shù)最大值為，所以且，得，所以函數(shù)解析式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，得，因?yàn)椋院瘮?shù)的單調(diào)減區(qū)間為和16、①②【解析】對(duì)于①，如果，則，也就是，所以，進(jìn)一步計(jì)算可以得到該和為，故①正確；對(duì)于②，我們把分成四組：，由題設(shè)可知不是“閉集”中的元素，其余三組元素中的每組元素必定在“閉集”中同時(shí)出現(xiàn)或同時(shí)不出現(xiàn)，故所求的“閉集”的個(gè)數(shù)為，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，故在上的最大值為，所以在上的最小值為，在上的最小值為，故③錯(cuò)．綜上，填①②點(diǎn)睛：（1）根據(jù)可以得到，因此，這樣的共有，它們的和為，依據(jù)這個(gè)規(guī)律可以寫(xiě)出和并計(jì)算該和（2）根據(jù)閉集的要求，中每組元素都是同時(shí)出現(xiàn)在閉集中或者同時(shí)不出現(xiàn)在閉集中，故可以根據(jù)子集的個(gè)數(shù)公式來(lái)計(jì)算（3）注意把非奇非偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)或偶函數(shù)來(lái)討論三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由奇偶性定義直接判斷即可；（2）化簡(jiǎn)函數(shù)得到，由此可知在上單調(diào)遞增；利用奇偶性可化簡(jiǎn)所求不等式為，利用單調(diào)性解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】為奇函數(shù)，證明如下：定義域，，為定義在上的奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；由（1）知：，，，，即，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、（1）是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四點(diǎn)共圓；理由見(jiàn)解析【解析】（1）利用兩點(diǎn)間距離公式可求得,再利用斜率公式可得到,即可判斷三角形形狀；（2）由（1）先求得的外接圓,再判斷點(diǎn)是否在圓上即可【詳解】解：（1）,,,又,,即,∴是等腰直角三角形（2）A，B，C，D四點(diǎn)共圓；由（1）,設(shè)的外接圓的圓心為,則,即,解得,此時(shí),所以的外接圓的方程為,將D點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得,即D點(diǎn)在的外接圓上.∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,考查斜率公式的應(yīng)用,考查三角形的外接圓,考查圓的方程,考查運(yùn)算能力19、（1）或（2）【解析】（1）利用三角函數(shù)定義可求的值.（2）利用誘導(dǎo)公式可求三角函數(shù)式的值.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，所以，整理得，解得或.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以由?）可得，所以，所以.20、（1）（2）①，②；【解析】（1）直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）依題意可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋?；【小?wèn)2詳解】解：由，得①②21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，由線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到平面；（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，得到，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，由面面垂直的判定定