高頻考點05解三角形內(nèi)容概覽01命題探源·考向解密02根基夯實·知識整合03高頻考點·妙法指津（5大命題點+9道高考預(yù)測題，高考必考·（10-17）分）考點一解三角形考點一正弦余弦定理基本應(yīng)用命題點1正余弦定理的應(yīng)用命題點2周長與面積問題命題點3三角形形狀的判斷命題點4實際應(yīng)用考點二幾何圖形的計算命題點1中線問題命題點2角平分線問題命題點3高問題考點三最值與范圍問題命題點1周長、面積范圍問題命題點2銳角三角形問題命題點3坐標(biāo)法高考預(yù)測題4道04好題速遞·分層闖關(guān)（精選10道最新名校模擬試題+10道高考闖關(guān)題）考點考向命題特征正弦余弦定理基本應(yīng)用正余弦定理的應(yīng)用周長與面積問題三角形形狀的判斷實際應(yīng)用高考對正余弦定理的考查以解答題為主，常結(jié)合三角形邊角互化、面積公式命題。側(cè)重考查定理的靈活選用：已知兩邊及對角用正弦定理，已知三邊或兩邊及夾角用余弦定理。多與三角恒等變換、三角函數(shù)性質(zhì)交匯，注重實際應(yīng)用場景的融入。幾何圖形的計算中線問題角平分線問題高問題高考解三角形幾何圖形計算，多以平面多邊形為載體，常需分割圖形為多個三角形。核心考查正余弦定理、面積公式的綜合運用，側(cè)重邊角轉(zhuǎn)化與方程思想。命題常結(jié)合三角恒等變換，部分題融入實際測量背景，注重邏輯推理與運算能力。最值與范圍問題周長、面積范圍問題銳角三角形問題坐標(biāo)法高考解三角形最值與范圍問題，多以解答題中檔題呈現(xiàn)。核心依托正余弦定理、面積公式，結(jié)合三角恒等變換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值，或用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求解。常涉及邊長、面積、角的范圍，注重數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想，部分含參問題需分類討論。

考點一解三角形《解題指南》解三角形題核心是靈活運用正弦、余弦定理，按三步解題。第一步，定定理：已知兩角一邊或兩邊及一對角，用正弦定理；已知三邊或兩邊及夾角，用余弦定理。第二步，巧轉(zhuǎn)化：結(jié)合三角形內(nèi)角和、面積公式實現(xiàn)邊角互化，化簡求解。第三步，驗結(jié)果：特別注意正弦定理可能出現(xiàn)的多解情況，結(jié)合邊長大小、角度范圍舍去增解，確保答案符合三角形存在條件。命題點1正余弦定理的應(yīng)用【典例01】（2025年高考全國二卷數(shù)學(xué)真題）在中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，又，所以.故選：A【典例02】（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因為為三角形內(nèi)角，則，則.故選：C.命題點2周長與面積問題【典例01】（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設(shè)，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)，由題意，，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，，則，此時，即同向共線，根據(jù)向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設(shè)，根據(jù)萬能公式，，整理可得，，解得，根據(jù)二倍角公式，，又，故（2）由題設(shè)條件和正弦定理，又，則，進(jìn)而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周長為【典例02】（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.【解析】（1）由余弦定理可得：，則，，.（2）由三角形面積公式可得，則.命題點3三角形形狀的判斷【典例01】（2025·河南·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】由和余弦定理，可得，即，由正弦定理得，又因為中，，，所以，即，所以或，即或，即是等腰三角形或直角三角形，故選：C.【典例02】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定的【答案】A【解析】由余弦定理可得，則.因為，所以，所以是等腰三角形.故選：A命題點4實際應(yīng)用【典例01】（2025·山東聊城·模擬預(yù)測）山東文旅宣傳片以“東來山東，有山有水有風(fēng)景”為主題，通過融合地域特色與人文風(fēng)情，展現(xiàn)山東的自然景觀與文化底蘊.詩人李白的“日觀東北傾，兩崖夾雙石”，描寫的正是山東眾多聞名山水之一的泰山.如圖，某游客為了測量泰山主峰玉皇頂?shù)母叨華B（單位：米），在地面上選擇一個觀測點，在附近的山峰頂端選擇另一個測量點，在處測得處的仰角為，測得主峰玉皇頂最高點的仰角為山峰的高度CD為772.5米，且在處測得點的仰角為，點B，P，D在同一水平面的一條直線上，則玉皇頂?shù)母叨華B為（

）A．1030米 B．1545米 C．米 D．米【答案】B【解析】由題意知，，在直角中，，，可得米，在中，由正弦定理，可得米，在直角中，可得米.故選：B.【典例02】（2025·全國·模擬預(yù)測）某人在點觀察河對岸的建筑物（在同一水平面上，在同一鉛垂線上），已知在點觀察建筑物上的點和點的仰角分別為和，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，如圖所示，在中，，,由正弦定理可得，則，在中，.故選：D．考點二幾何圖形的計算《解題指南》1、分割補形，化整為零：將不規(guī)則多邊形分割為多個三角形，或補形為直角三角形、特殊三角形，利用公共邊、公共角建立各三角形間的聯(lián)系。2、定理聯(lián)用，邊角互化：在分割后的三角形中，結(jié)合已知條件選用正弦定理、余弦定理，實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化；搭配三角形面積公式輔助計算。3、設(shè)元建模，方程求解：對未知邊或角設(shè)未知數(shù)，根據(jù)定理列方程或方程組，通過代數(shù)運算求解；涉及實際問題時，注意單位統(tǒng)一與幾何意義驗證。4、活用幾何性質(zhì)：利用直角三角形、等腰三角形等特殊圖形的性質(zhì)，簡化計算步驟，提升解題效率。命題點1中線問題【典例01】（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．(1)若，求；(2)若，求．【解析】（1）方法1：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，則，，所以.方法2：在中，因為為中點，，，則，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，則，，過作于，于是，，所以.（2）方法1：在與中，由余弦定理得，整理得，而，則，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因為為中點，則，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.【典例02】（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）三角形三內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求角的大小；(2)若的面積等于，為邊的中點，當(dāng)中線的長最短時，求邊的長.【解析】（1）在中，由正弦定理得，.因為,，所以，所以，即，又，，則，所以.（2）由（1）得，所以，在中，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，此時，故.命題點2角平分線問題【典例01】（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．【答案】【解析】如圖所示：記，方法一：由余弦定理可得，，因為，解得：，由可得，，解得：．故答案為：．方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因為，所以，，又，所以，即．故答案為：．【典例02】（2025·湖北武漢·三模）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，角的角平分線交于點，且．(1)求的長；(2)求的面積．【解析】（1）由，則，因為，所以，所以，則，又是角的角平分線，則在中，由余弦定理得，即.（2）由（1）知，則，由，則，又是角的角平分線，由，則，則，解得，所以.命題點3高問題【典例01】（2025·陜西西安·二模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.(1)求角的大?。?2)若的周長為，求的邊上的高.【解析】（1）因為，所以，結(jié)合正弦定理可得，即，可得，因為，所以.（2）因為的周長為，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以又的面積，設(shè)邊上的高為，所以，解得.【典例02】（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．【解析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.【典例02】考點三最值與范圍問題《解題指南》1、三角函數(shù)法：利用正余弦定理實現(xiàn)邊角互化，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為單一角的三角函數(shù)形式

，結(jié)合角的取值范圍，依據(jù)三角函數(shù)有界性求最值。2、基本不等式法：針對邊長和、積的最值，結(jié)合余弦定理構(gòu)建等式，用基本不等求解，需驗證等號成立時是否滿足三角形三邊關(guān)系。3、函數(shù)單調(diào)性法：將目標(biāo)量表示為某一變量的函數(shù)，結(jié)合變量定義域，利用導(dǎo)數(shù)或函數(shù)單調(diào)性確定最值，適用于含復(fù)雜代數(shù)式的情況。4、數(shù)形結(jié)合法：借助三角形外接圓、幾何圖形特征分析，直觀確定邊長或角的范圍，簡化運算。命題點1周長、面積范圍問題【典例01】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角的大?。?2)若，求面積的最大值．【解析】（1）由正弦定理，因為，所以，化簡整理得，由余弦定理，，，．（2）由（1）知，，由正弦定理可得，面積，又，，又，其中，當(dāng)，即時，面積有最大值，為．【典例02】（2025·內(nèi)蒙古赤峰·一模）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.(1)求角的大?。?2)若，求周長的取值范圍.【解析】（1）（方法1）由正弦定理，得，，，，，，，，；（方法2）由余弦定理得，代入已知得：，，，，；（2）方法1由余弦定理，得.，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），由于，，周長的范圍為.（方法2轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值）由正弦定理，得，，，，，，，，，，周長的取值范圍為.命題點2銳角三角形問題【典例01】（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形且，求的取值范圍．【解析】（1）由，則，則，根據(jù)正弦定理得，，因為，所以，則，又，所以.（2）由正弦定理得，，則，，所以，，則，因為為銳角三角形，所以，解得，則，所以，設(shè)，，則，所以時，．【典例02】（2025·河南·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且.(1)若，求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，則，即，即，由，得，又，因此，即，由，得，解得，所以由正弦定理得.（2）在為銳角三角形中，由（1）得，則，由正弦定理得，所以的取值范圍是.命題點3直接法與坐標(biāo)法【典例01】（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知中，點D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時，．【答案】/【解析】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以當(dāng)取最小值時，.故答案為：.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當(dāng)取最小值時，，即.【典例02】（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解析】（1）方法一：直接法可得，則，即，注意到，于是，展開可得，則，又，.方法二：二倍角公式處理+直接法因為，即，而，所以；方法三：導(dǎo)數(shù)同構(gòu)法根據(jù)可知，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，，故，結(jié)合，解得.方法四：恒等變換化簡，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，，則，結(jié)合，解得.（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以由正弦定理得．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．高考預(yù)測題1．在中，為上一點，且平分，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則.設(shè)，因為平分，所以，因此有.，其中，由余弦定理可知：①，②，由①，②可知，故.故選：D2．在中，已知是邊上的中線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由余弦定理得：，再由余弦定理得：，則，故選：B3．已知的面積為，，，則（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由，得，所以的面積為，解得，在中，由余弦定理得，所以.故選:B．4．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點，，且，記．(1)證明：；(2)證明：；(3)記，若，求的值．【解析】（1）設(shè)，則．由余弦定理得，所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．（3）若，則，得，與已知矛盾．若，則，所以化為，即，整理得，即，解得．好題速遞1．（2025·江西·二模）在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【解析】A：，，，為鈍角且，有一解，故A錯誤；B：，，，為銳角，，則無解，故B錯誤；C：，，，為鈍角且，則無解，故C錯誤；D：，，，為銳角，，因，故有兩解，故D正確.故選：D2．（多選題）（2025·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則（

）A．的面積為 B．BC邊上的高為C．的最小值為 D．最大值為【答案】AD【解析】由可得，,故,即，對于A，，A正確，對于B，由于，故，其中為邊上的高，B錯誤，對于C，由可得，即，故，故，當(dāng)時，，故不是的最小值，故C錯誤，對于D，，，故，其中銳角滿足，因此的最大值為，即令則，故，因此最大值為，D正確，故選：AD3．（多選題）（2025·全國·模擬預(yù)測）已知三角形ABC三個內(nèi)角分別為A，B，C，且滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因為，所以，所以，所以，所以，化簡得，又，所以，故選項A正確；由得，所以，所以，故選項C正確；，故選項B錯誤；由及正弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又在上單調(diào)遞減，所以，故選項D正確.故選：ACD4．（2025·山東濱州·二模）在圓內(nèi)接四邊形中，，則，若，則的面積最大值為．【答案】【解析】在中，，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以；所以是四邊形外接圓直徑，，設(shè)，則，在中，，由正弦定理得，即，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最大值為.故答案為：；5．（2025·全國·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若平分，點在線段上，且，求的長．【解析】（1）由正弦定理得，又，故，即，所以，即，．又，故，所以，由正弦定理可得．（2）因為，由（1）得．由平分，得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，故，兩式相除得．設(shè)，由余弦定理，在中，所以①．在中，，所以②．又，②①得，則，所以．6．（2025·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別是，且．(1)求；(2)若，求的周長最大值．【解析】（1）方法1：由，得，可得到，根據(jù)射影公式得，則，即，因，所以．方法2：由法一知，由正弦定理得，即．因為，所以，故．又，所以．（2）因為（1）知，由余弦定理得，即．由基本不等式，代入上式，所以，即，得到（取得等號），又，故的周長的最大值是6．7．（2025·全國·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求A；(2)延長至，使，求的值.【解析】（1）由得，所以根據(jù)余弦定理得，，則.（2）如圖：因為，所以，則是正三角形，所以，在中，根據(jù)正弦定理，由題意，得，所以.8．（2025·全國·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)設(shè)D為邊的中點，若，的面積為14，求的長【解析】（1）由正弦定理可得，即.在中，由，得，所以，又，，所以，所以.（2）因為，，所以，所以，所以，即，因為，即，所以，在三角形中，由余弦定理可得，所以.9．（2025·全國·二模）的內(nèi)角的對邊分別為(1)求A；(2)若的面積為，求的周長.【解析】（1）由得，因為，所以，即，因為，所以，所以，所以，因為，所以；（2）因為三角形的面積為，所以，所以，由余弦定理知，即，所以，故，所以三角形的周長為.10．（2025·湖南·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角的對邊分別為且.(1)求A；(2)若，，求c的值.【解析】（1）由正弦定理邊化角得：，再由三角形內(nèi)角和定理得：，代入可得：，因為，所以，又因為，所以；（2）由正弦定理得：，再由余弦定理得：，解得或（舍去），所以高考闖關(guān)1．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，．(1)求；(2)若是的中點，，求的面積．【解析】（1）由及正弦定理得，由及余弦定理得，，所以，由正弦定理得，所以.（2）是的中點，在中，，，由余弦定理得，，所以，則，所以的面積為.2．（2025·廣東深圳·二模）在中，，BC邊上的高等于．(1)求的值；(2)若，求的周長．【解析】（1）設(shè)中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，由題意可得，即，由正弦定理得，又，所以．（2）由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以，所以的周長為．3．（2025·江西·二模）在銳角中，角、、所對應(yīng)的邊分別為、、.已知，.(1)若，求的面積；(2)求的周長的取值范圍.【解析】（1）由正弦定理可得，即，因為，所以，又，即，展開可得，即，即，又，所以，且，所以為等邊三角形，則.（2）由正弦定理可得，又因為為銳角三角形，則，解得，則，其中，所以，所以的周長.4．（2025·湖南長沙·二模）在中，已知，，．(1)求；(2)設(shè)BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，求．【解析】（1）由余弦定理得，則．由正弦定理得，則，解得．（2）設(shè)，，則b與c的夾角為，且，因為AM，BN為中線，所以有，，于是，則，，則．又，所以．5．（2025·天津南開·二模）在中，角的對邊分別為．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【解析】（1）因為，由正弦定理可