遼寧省阜蒙縣第二高級中學2026屆數(shù)學高二上期末調(diào)研試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)、分別是橢圓（）的左、右焦點，過的直線l與橢圓E相交于A、B兩點，且，則的長為（）A. B.1C. D.3．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢4．已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，直線FA與拋物線的準線交于點M，O為坐標原點.若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.45．已知數(shù)列滿足，則（）A.2 B.C.1 D.6．已知直線，兩個不同的平面，，則下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則7．德國數(shù)學家高斯是近代數(shù)學奠基者之一，有“數(shù)學王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學天才，10歲時，他在進行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.998．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則=（）A.8 B.16C.32 D.649．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.1111．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.412．兩圓x2+y2+4x-4y＝0和x2+y2+2x-12＝0的公共弦所在直線的方程為（）A.x+2y﹣6＝0 B.x﹣3y+5＝0C.x﹣2y+6＝0 D.x+3y﹣8＝0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與直線的夾角大小等于_______14．某天上午只排語文、數(shù)學、體育三節(jié)課，則體育不排在第一節(jié)課的概率為_________15．已知函數(shù)，設(shè)，且函數(shù)有3個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍為___________.16．已知5件產(chǎn)品中有2件次品、3件合格品，從這5件產(chǎn)品中任取2件，求2件都是合格品的概率_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線相交于、兩點.（1）當時，求；（2）是否存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．（12分）已知直線經(jīng)過點且斜率為（1）求直線的一般式方程（2）求與直線平行，且過點的直線的一般式方程（3）求與直線垂直，且過點的直線的一般式方程19．（12分）如圖，四邊形是某半圓柱的軸截面（過上下底面圓心連線的截面），線段是該半圓柱的一條母線，點為線的中點（1）證明：；（2）若，且點到平面的距離為1，求線段的長20．（12分）圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）求圓與圓的公共弦的長.21．（12分）在水平桌面上放一只內(nèi)壁光滑的玻璃水杯，已知水杯內(nèi)壁為拋物面型（拋物面指拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的面），拋物面的軸截面是如圖所示的拋物線.現(xiàn)有一些長短不一、質(zhì)地均勻的細直金屬棒，其長度均不小于拋物線通徑的長度（通徑是過拋物線焦點，且與拋物線的對稱軸垂直的直線被拋物線截得的弦），若將這些細直金屬棒，隨意丟入該水杯中，實驗發(fā)現(xiàn)：當細棒重心最低時，達到靜止狀態(tài)，此時細棒交匯于一點.（1）請結(jié)合你學過的數(shù)學知識，猜想細棒交匯點的位置；（2）以玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線頂點為原點，建立如圖所示直角坐標系.設(shè)玻璃水杯內(nèi)壁軸截面的拋物線方程為，將細直金屬棒視為拋物線的弦，且弦長度為，以細直金屬棒的中點為其重心，請從數(shù)學角度解釋上述實驗現(xiàn)象.22．（10分）已知直線恒過拋物線的焦點F（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，B兩點，且，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標為，進而根據(jù)題意得所求直線過點，，進而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點為設(shè)直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對稱的直線過點，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C2、C【解析】由橢圓的定義得：，，結(jié)合條件可得，即可得答案.【詳解】由橢圓的定義得：，，又，，所以，由橢圓知，所以.故選：C3、D【解析】根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，整理上面兩個算式，得：，解得，故選：4、D【解析】設(shè)，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點為，準線方程為.設(shè)，因為，所以，解得：.因為在拋物線上，則.所以，即，解得：.故選：D5、D【解析】首先得到數(shù)列的周期，再計算的值.【詳解】由條件，可知，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以周期為的周期數(shù)列，.故選：D6、C【解析】對于A,可能在內(nèi)，故可判斷A；對于B,可能相交，故可判斷B;對于C,根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定C;對于D,和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判斷D.【詳解】對于A,除了外，還有可能在內(nèi)，故可判斷A錯誤；對于B,，那么可能相交，故可判斷B錯誤；對于C,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，在內(nèi)一定存在和平行的直線，那么該直線也垂直于，所以，故判定C正確;對于D，，，則和可能平行，或斜交或在內(nèi)，故可判D.錯誤，故選：C.7、C【解析】令，利用倒序相加原理計算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C8、B【解析】由等比數(shù)列的下標和性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故選：B.9、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.10、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.11、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A12、C【解析】兩圓方程相減得出公共弦所在直線的方程.【詳解】兩圓方程相減得，即x﹣2y+6＝0則公共弦所在直線的方程為x﹣2y+6＝0故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)直線的傾斜角可得答案.【詳解】直線是與軸平行的直線，直線的斜率為1，即與軸的夾角為角，故直線與直線的夾角大小等于.故答案為：.14、【解析】寫出語文、數(shù)學、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況，利用概率公式計算即可.【詳解】所有可能結(jié)果如下：（語文，數(shù)學，體育）；（語文，體育，數(shù)學）；（數(shù)學，語文，體育）：（數(shù)學，體育，語文）；（體育，語文，數(shù)學）；（體育，數(shù)學，語文）,其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種，則體育不排在第一節(jié)課的概率15、【解析】由題意畫出函數(shù)圖象，把函數(shù)有3個不同的零點的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有3個交點的問題，分為和時分類討論即可.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，要使函數(shù)有3個不同的零點，則函數(shù)和函數(shù)有三個交點，由已知得函數(shù)恒過點,當時，過點時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點，將代入得，即，當時，與相切時，此時函數(shù)和函數(shù)有兩個交點，如圖所示，，設(shè)此時的切點為，則直線的斜率為，直線的方程為，將點代入得，解得，此時的斜率為，將逆時針旋轉(zhuǎn)至和平行時，即為的位置時，函數(shù)和函數(shù)有三個交點，此時，故的范圍為，綜上所述實數(shù)k的取值范圍為.故答案為：.16、##【解析】列舉總的基本事件及滿足題目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設(shè)5件產(chǎn)品中的次品為，合格品為，則從這5件產(chǎn)品中任取2件，有共10個基本事件，其中2件都是合格品的有共3個基本事件，故2件都是合格品的概率為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）當時，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得；（2）假設(shè)存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，設(shè)、，將直線與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結(jié)合韋達定理可得出，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)點、，當時，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，.【小問2詳解】解：假設(shè)存在實數(shù)，使以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，設(shè)、，聯(lián)立得，由題意可得，解得且，由韋達定理可知，因為以為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，則，所以，，整理可得，該方程無實解，故不存在.18、（1）（2）（3）【解析】（1）先寫點斜式方程，再化一般式，（2）根據(jù)平行設(shè)一般式，再代點坐標得結(jié)果，（3）根據(jù)垂直設(shè)一般式，再代點坐標得結(jié)果.【詳解】(1)(2)設(shè)所求方程為因為過點，所以(3)設(shè)所求方程為因為過點，所以【點睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）先證明，，利用判定定理證明平面，從而得到；（2）設(shè)，利用等體積法，由由，解出a.【詳解】（1）證明：由題意可知平面，平面∴∵所對為半圓直徑∴∴和是平面內(nèi)兩條相交直線∴平面平面∴（2）設(shè)，因為，且所以，設(shè)，在等腰直角三角形中，取BC的中點E,連結(jié)AE,則，取BC1的中點為P，連結(jié)DP，∵，∴，又為的中點，∴,∴，即的高為∴，∵，且∴平面，∵平面，且即到平面的距離為1，而由，即解得：，即.【點睛】立體幾何解答題(1)第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；(2)第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離）.如果求體積，常用的方法有：(1)直接法；(2)等體積法；(3)補形法；(4)向量法.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓的方程為，代入所過的點后可求，從而可求圓的方程.（2）利用兩圓的方程可求公共弦的方程，利用垂徑定理可求公共弦的弦長.【小問1詳解】設(shè)圓的方程為，，，所以圓的方程為；【小問2詳解】由圓的方程和圓的方程可得公共弦的方程為：，整理得到：，到公共弦距離為，故公共弦的弦長為：.21、（1）拋物線的焦點或拋物面的焦點（2）答案見解析【解析】（1）結(jié)合通徑的特點可猜想得到結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為當時，只要過點，則中點到的距離最小，根據(jù)，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)論.【小問1詳解】根據(jù)通徑的特征，知通徑會經(jīng)過拋物線的焦點達到靜止狀態(tài)，則可猜想細棒交匯點位置為：拋物線焦點或拋物面的焦點.【小問2詳解】解釋上述現(xiàn)象，即證：當（為拋物線通徑）時，只要過點，則中點到的距離最?。蝗鐖D所示，記點在拋物線準線上的射影分別是，，由拋物線定義知：，當過拋物線焦點時，點到準線距離取得最小值，最小值為的一半，此時